24 marzo 2025

[A25-24] Nella mandorla

Un esercizio dedicato al tema dell'esplorazione in matematica.

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Due circonferenze di raggio 1 passano ciascuna per il centro dell’altra.

Trovate nella figura cinque segmenti lunghi rispettivamente √1,√2,√3,√4,√5.
Se volete, cercate altri cinque segmenti lunghi √6,√7,√8,√9,√10.

Potete fare delle costruzioni semplicissime che partano da punti già presenti nella figura e che permettano di trovare alti punti.

Mandorla

21 marzo 2025

[A25-23] Perché si studia Matematica

Breve cenno...

Negli ultimi anni, molti esperti di matematica e del suo insegnamento hanno mostrato come questa disciplina possa contribuire alla fioritura personale umana se si fanno vivere i suoi legami profondi con valori come l'esplorazione, l'equità, l'umorismo, il gioco, la collaborazione, l'immaginazione, la libertà, la coerenza, la fatica, la permanenza, la verità, la bellezza e l'amore.
Se inserirete tutti questi valori nel vostro insegnamento, le persone fioriranno. Il loro atteggiamento nei confronti della matematica migliorerà sicuramente.
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Avrete certamente notato il riferimento alle idee di Francis Su, ma anche Gabriele Lolli, Lorella Carimali, David Bessis, Claudio Marini, Daniele Gouthier, Chiara Valerio, ... e molti altri hanno contribuito a questa impostazione.

Ho aggiornato il mio schema classico.

Matematica

18 marzo 2025

[A25-22] Le Nuove Indicazioni 2025

Pubblicato il testo delle "Nuove indicazioni per la scuola dell’infanzia e primo ciclo di istruzione 2025" - Materiali per il dibattito pubblico
Martedì 11 marzo 2025

Nel pieno e sincero rispetto per il lavoro delle Commissioni, desidero citare 7 frasi tratte dalla premessa intitolata:
Perché si studia matematica.
Ogni frase è accompagnata da un mio umile e bonario pensierino.

"Secondo la Meccanica Quantistica, la Matematica è intrinsecamente legata alla realtà che ci circonda: la natura collassa in uno stato specifico, potremmo dire nella realtà che siamo abituati ad osservare, solo a seguito di un esperimento."
[Ammetto che questa non l'avevo capita, ma l'A.I. me l'ha spiegata così: la tua gatta mentale collassa nello stato di "gatta viva" oppure "gatta morta" solo se le schiacci la coda mentre reciti la tabellina del 9.]
"Gli infanti sono in grado di valutare la numerosità di oggetti fino a tre e sanno perfino eseguire addizioni e sottrazioni."
[Di questo prendo atto e deduco che possono eseguire le addizioni 1+1, 2+1, 1+2 e le sottrazioni 3-1, 3-2, 2-1, mi è sfuggito qualcosa?]
"Ennio De Giorgi ha parlato di mistero."
[Ennio, ti prego di perdonarli.]
"La Matematica è, inoltre, un linguaggio formale capace di distinguere il vero dal falso."
[Credevo che il criterio della Matematica, come linguaggio formale, fosse la coerenza, non la verità.]
"Il Teorema di Pitagora, ad esempio, era vero 2500 anni fa, è vero oggi e lo sarà per l’eternità."
[Credevo che fosse "vero" anche prima di Pitagora, ma apprendo che l'eternità dei teoremi vale solo in avanti.
E poi, siamo sicuri che è "vero"? Non si sa mai... nella Fisica quantistica...]
"Abituare lo studente, e quindi il cittadino di domani, a ragionare e a distinguere fra vero e falso, è senza dubbio una delle competenze più rilevanti e attuali di questa disciplina."
[Credevo che gli studenti fossero cittadini già nel loro presente]
"L’opera più importante, la Divina Commedia di Dante, si poggia anch’essa sulla Matematica e sui numeri (le tre cantiche, con 33 canti ciascuna, le tre fiere, i nove gironi, i nove cieli, e così via)."
[Credevo che la prima cantica avesse 34 canti, così in tutto fanno 100, che è un bel numero. Saper contare è una competenza matematica importante.
Credevo inoltre che tutto questo fosse numerologia di ispirazione pitagorica, non matematica.]

14 marzo 2025

[A25-21] Se il Mondo fosse granulare, che ne sarebbe di π?

Ecco alcuni cerchi ottimi creati per gli appassionati di Minecraft, un mondo fatto di blocchi.

Sono creati con un algoritmo che dà risultati in accordo con la sequenza OEIS - A124623.

Le terne di numeri indicano diametro, perimetro, area in pixel dei cerchi ottimi pixellati.

Cerchi pixellati

I cerchi nel micromondo si comportano in modo poco circolare, ma se aumentiamo il diametro, allora le cose diventano più familiari.

C'è forse un'analogia con la meccanica quantistica?

Cerchio pixxellato

101,284,8021

OEIS - A124623 - Number of unit squares having center within inscribed circle of an n × n integer square.
1, 4, 9, 12, 21, 32, 37, 52, 69, 80, 97, 112, 137, 156, 177, 208, ...

8 marzo 2025

[A25-20] Con un solo trattino

In alcune situazioni della vita, basterebbe un piccolo gesto per risolvere questioni che appaiono completamente sbagliate o insormontabili.
Ma, a volte è difficile trovare quel gesto perché...
Ecco, appunto: perché?
Vale anche in Matematica.

Provate a fare questo piccolo gioco matematico che contiene anche un po' di psicologia.

Correggi con un trattino

4 marzo 2025

[A25-19] Definizioni

Definizione. Diciamo che un numero intero è “ostinato” quando tutte le sue potenze con esponente intero positivo terminano con la stessa cifra.

Per esempio, 10 è un numero ostinato.

Quanti e quali numeri di 1 cifra sono ostinati?
Aiuto. Nei numeri di 1 cifra c’è anche lo 0.
Quanti e quali numeri di 2 cifre sono ostinati?
Quanti numeri di 3 cifre sono ostinati?
Usa i risultati degli esercizi precedenti per scoprire quanti numeri di n cifre sono ostinati. Cerca di scrivere una regola o una formula matematica per calcolare quanti sono.

28 febbraio 2025

[A25-18] Somma vuota e prodotto vuoto

Alcuni pensieri, forse giusti, forse imprecisi, forse sbagliati. Ma mi convincono.

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Una somma vuota è una somma senza addendi.
La somma vuota è uguale all'identità additiva, che è 0.

La somma vuota si può esprimere sotto forma di moltiplicazione per 0.

a ∙ 0 = 0 (indica una somma di zero addendi uguali ad a).

0 ∙ 0 = 0 (indica una somma di zero addendi uguali a 0).

Visto che la somma non ha addendi, il valore di a è del tutto indifferente.

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Un prodotto vuoto è un prodotto senza fattori.

Il prodotto vuoto è uguale all'identità moltiplicativa, che è 1.

Il prodotto vuoto si può esprimere sotto forma di potenza con esponente 0.

a⁰ = 1 (indica un prodotto di 0 fattori uguali ad a).

0⁰ = 1 (indica un prodotto di 0 fattori uguali a 0).

Visto che il prodotto non ha fattori, il valore di a è del tutto indifferente.

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24 febbraio 2025

[A25-17] David Bessis

"Capire la Matematica è seguire un percorso segreto che ci riporta alla plasticità della nostra mente infantile. E' imparare a riattivarla e a prendere confidenza con essa. E' scegliere di farla vivere."

"Questa esperienza ha ben poco a che fare con tutto ciò che ci insegnano a scuola." David Bessis.

Se questo percorso vi attira, allora il libro di David Bessis è una buona guida.

David Bessis, Mathematica

David Bessis, Mathematica. Une aventure au coeur de nous-mêmes, 2022, Seuil. (368 pagine).
David Bessis, Mathematica. Un’avventura alla ricerca di noi stessi, 2023, Neri Pozza. (288 pagine).

L'edizione italiana usa un carattere tipografico più piccolo di quella francese per risparmiare ben 80 pagine su 368 (circa il 22%). Risultato: lettura faticosissima, per me.

20 febbraio 2025

[A25-16] Perché 0⁰ = 1 nell'Aritmetica di Peano

Il motivo è semplice: deriva direttamente dalla definizione di elevamento a potenza. Per dimostrarlo basta applicare tale definizione.

Ecco la definizione, tratta dall'ultima edizione del Formulario (1908).

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Peano, definizione di 0^0

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In notazione più attuale.

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Siano a, b numeri naturali. Allora:

a⁰ = 1 (caso base)

a^(b+1) = (a^b) ∙ a (passo induttivo)

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Poiché a è un qualunque numero naturale, sostituendo a = 0, si ha: 0⁰ = 1

Inoltre, per induzione, ogni potenza di 0 con esponente n>0 vale 0.

0ⁿ = 0, con n>0

18 febbraio 2025

[A25-15] Numero quadratoso

Definizione. Diciamo che numero intero è “quadratoso” quando la somma delle sue cifre è un quadrato perfetto.

Per esempio il numero 243 è quadratoso perché 2 + 4 + 3 = 9 = 3².

Domande.

1) Qual è il più piccolo numero quadratoso maggiore di 2025?

2) Qual è il più grande numero quadratoso senza cifre ripetute?

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Questo problema mi piace perché per rispondere alla domanda 2) in modo semplicissimo, serve una piccola illuminazione matematica.

Nota. Il problema è tratto dalla Olimpiada Brasileira de Matematica, 2021, Livello 1, che corrisponde alla nostra Scuola Secondaria di 1° grado (scuola media).

15 febbraio 2025

[A25-14] Illuminazione

Due quadrati uniti lungo un lato.
Quanto vale l'area verde?

Area di due quadrati uniti

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Questo problema è semplicissimo, ma richiede una piccola illuminazione che vi sorprenderà.

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Fonte del problema: Masahiro Matsuno su Facebook.

11 febbraio 2025

[A25-13] Una coincidenza sul problema 5008

Il classico puzzle con gli stecchini 508 in origine era 5008.
L'ho visto per la prima volta nel 2015 su Brilliant.org.

Negli anni successivi il 5008 si è trasformato in 508 che è più semplice ma altrettanto interessante.

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Puzzle 5008

Problema. Muovi 2 stecchini per ottenere il numero più grande possibile

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In quegli anni era diffusa la prima generazione dell'autovettura Peugeot 5008 che successivamente ha avuto varie edizioni, fino ad oggi.

Nel 2018 c'è stata la seconda generazione di un altro modello, la Peugeot 508. E anche il puzzle ha avuto una seconda versione.

Insomma, questo puzzle ha un formato SUV e un formato berlina sport.

E' solo una coincidenza?

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Postato su BASE Cinque l'articolo:
Il problema 508.

Un esercizio di fantasia e libertà matematica.

8 febbraio 2025

[A25-12] Il paradosso del rapporto

Il libro di Gabriele Lolli dedicato alla creatività in matematica è molto interessante e istruttivo ma altrettanto impegnativo.
Come molti altri libri di Lolli, ti dice quello che non ti dicono a scuola, neanche all'università, a meno che non segui un corso di Logica Matematica.
Però ci sono anche aneddoti facili e illuminanti.
Eccone uno, rielaborato un po'.

Dati due numeri distinti, a, b, tali che a<b,
è possibile che
a : b = b : a ?

Che ne dite?

Nota: il simbolo ":" rappresenta la normale divisione o, se volete, il rapporto.

6 febbraio 2025

[A25-11] Numeri primi del tipo n²-1

Ok, trovare quanti sono i numeri primi del tipo n²+1 è un problema difficile, però ce n'é uno più facile, per cominciare ad allenarsi:

Quanti sono i numeri primi del tipo n²-1?

4 febbraio 2025

[A25-10] Il più grande fattore primo di n²+1

I numeri del tipo n²+1, con n naturale, formano la sequenza:

2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, ...

Ecco una domanda molto difficile, ancora senza risposta:

Quanti sono i numeri primi del tipo n²+1?

La mia domanda, qui, è più semplice.

Usate il vostro linguaggio di programmazione preferito per trovare ed elencare i numeri primi p del tipo p = n²+1.

E se n²+1 non è primo, quanto è grande il suo fattore più grande? (così almeno sapete a che punto fermarvi facendo il test di primalità).

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Nota. Sembra che l'abbia trovato Hector Pasten, The largest prime factor of
n²+1 and improvements on subexponential ABC. Inventiones mathematicae 236, 373–385 (2024)

1 febbraio 2025

[A25-9] Un array di tre birre

Questa vignetta è vecchia di almeno 8 anni ma è istruttiva e sempre simpatica!

Tre programmatori entrano in un bar...

Tre birre

Si può interpretare in almeno 2 modi diversi:
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0) le due dita indicano il numero 3 che in binario si scrive 11 (leggi uno-uno);
1) le due dita indicano il numero 2 che esprime un array di 3 birre perché gli indici degli array cominciano da 0, birra(0), birra(1), birra(2).
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30 gennaio 2025

[A25-8] Il dottor Jekyll e mister Hyde

Ancora sul cosiddetto PEMDAS.

Questo insieme di regole convenzionali è una delle poche occasioni che i ragazzi trovano a scuola per lavorare davvero con un linguaggio formale.

Ma a quanto pare c'è un po' di foschia su questo argomento.

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Da che parte state: con il dottor Jekyll o con mister Hyde?

Dottor Jekyll e mister Hyde

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Ho proposto questa semplice espressione aritmetica sui "social" ottenendo la maggioranza delle risposte a favore di Mr Hyde.

Credevo che fosse un semplice esercizio sul PEMDAS e invece si è rivelata una specie di illusione ottica-culturale.

Da meditare.

Nel frattempo segnalo alcuni articoli sull'argomento. Si trovano in rete.

Nels Johann Lennes, Relating to the order of operations in algebra, The American Mathematical Monthly, Vol. 24, No. 2 (Feb., 1917), pp. 93-95.
Nota. E' di 108 anni fa!
Hung-Hsi Wu, "Order of operations" and other oddities in school mathematics, UC Berkeley, 2007.
Olga Kosheleva, Vladik Kreinovich, Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, 2016.
Joshua Evan Naddor, Order of Operations: Please Excuse My Dear Aunt Sally as Her Rule Is Deceiving, University of Georgia ProQuest Dissertations & Theses, 2020.

26 gennaio 2025

[A25-7] Precedenza × di su + nei linguaggi di programmazione

Non c'è un sistema di regole condiviso sulla precedenza delle operazioni per calcolare il valore di una espressione matematica.

Per esempio.

Python segue la convenzione comune.

Codice: print(7+4*5+3*2)

Output: 33

Svolgimento:

7+4*5+3*2

= 7+20+6

= 33

APL fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da destra a sinistra.

Codice: ⎕←7+4×5+3×2

Output: 51

Svolgimento:

7+4×5+3×2

= 7+4×5+6

= 7+4×11

= 7+44

= 51

Smalltalk fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da sinistra a destra.

Codice: Transcript show: (7+4*5+3*2) printString.

Output: 116

Svolgimento:

= 7+4*5+3*2

= 11*5+3*2

= 55+3*2

= 58*2

= 116

23 gennaio 2025

[A25-6] La precedenza × di su +

Secondo alcuni storici, la precedenza della moltiplicazione sull'addizione potrebbe avere origini antiche derivanti da usi linguistici.

Non lo so ma faccio alcune prove con l'italiano.

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- Quante uova vuoi?
- Dammene cinque più due dozzine.
La frase tradotta in espressione aritmetica è:

5+2×12

Si intende:

5+24 = 29 (precedenza alla moltiplicazione)

E non:

7×12 = 84

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Quanto è di più: mezza dozzina di dozzine o sei dozzine di dozzine?

"mezza dozzina di dozzine"

Si intende:

12÷2×12 = 6×12 = 72

(÷ e ×, si eseguono nell'ordine da sinistra a destra)

"sei dozzine di dozzine"

Si intende:

6×12² = 6×144 = 864

(l'elevamento a potenza ha la precedenza sulla moltiplicazione)

E non:

72² = 5184

18 gennaio 2025

[A25-5] Simmetrie con tetramini asimmetrici

Simmetrie con tetramini asimmetrici.

In questo laboratorio di geometria useremo alcuni tetramini asimmetrici per cercare di costruire forme che abbiano uno o due assi di simmetria.

Gli obiettivi didattici principali sono:

Vedere simmetrie assiali in situazioni non standard, cioè, per esempio, quando gli assi di simmetria non sono né orizzontali né verticali.
Costruire forme simmetriche.
Capire quanto è difficile mettere assieme pezzi asimmetrici per costruire una forma simmetrica, anche quando i pezzi sono pochi.

Tetramini asimmetrici

13 gennaio 2025

[A25-4] Gabriele Lolli

Il 13 gennaio 2025 Gabriele Lolli ci ha lasciati. Per me è stato un punto di riferimento nella Logica Matematica, un mito irraggiungibile, una fonte di conoscenza.
Mi piace pensare che ora è nel Paradiso dei matematici.
Ho imparato tantissime cose leggendo i suoi libri, e tante altre erano al di sopra delle mie capacità. E' stato correlatore della mia umile tesi di laurea.
Il suo ultimo libro che sto leggendo è La creatività in matematica.

Collego questo suo libro, nella mia rete personale di conoscenze, all'opera di Jacques Hadamard, La psicologia dell'invenzione in campo matematico e a quella di Francis Su, La Matematica per il fiorire dell'essere umano, che contiene un capitolo dedicato alla Creatività come bisogno fondamentale della Matematica e dell'umanità.

Lolli 2025

8 gennaio 2025

[A25-3] Perché la moltiplicazione ha la precedenza sull'addizione?

L'addizione e moltiplicazione sono operazioni binarie che si esprimono generalmente così, in notazione infissa:

a+b = c, a∙b = c
Devono avere due argomenti, perciò una scrittura del tipo:
3+2∙7

non ha senso.

Per avere senso deve essere scritta con le parentesi, così:

(3+2)∙7, se vogliamo eseguire prima l'addizione;
3+(2∙7), se vogliamo eseguire prima la moltiplicazione.

Se però vogliamo ridurre il numero di parentesi, possiamo stabilire convenzionalmente una regola di precedenza tra le operazioni.

3+2∙7 = 5∙7 = 35, se diamo la precedenza all'addizione;
3+2∙7 = 3+14 = 17, se diamo la precedenza alla moltiplicazione.

La domanda è: considerate le espressioni più comuni usate in Matematica, a quale operazione conviene dare la precedenza per scrivere meno parentesi possibile?

Se per esempio consideriamo la scrittura dei polinomi in Algebra o le sommatorie in Analisi, conviene decisamente dare la precedenza alla moltiplicazione.

Esempio:

a∙x³+b∙x²+c∙x+d, precedenza alla moltiplicazione.
(a∙x³)+(b∙x²)+(c∙x)+d, precedenza all'addizione.

3 gennaio 2025

[A25-2] Una canzone per te, chiunque tu sia

Una donna musicista di strada e una donna ricca parlano di musica.

La musicista di strada dice: - Se mi dici un qualunque nome di persona, io posso trovare una canzone che contiene quel nome.

La donna ricca risponde: - OK, se conosci una canzone con il nome di mio figlio, ti darò mille dollari. Si chiama Demarcus-Jabari.

La musicista di strada ci pensa un po' su, poi sorride e canta la canzone.

Subito dopo diventa mille dollari più ricca.

Quale canzone ha cantato?

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Soluzione: "Tanti auguri a te" o, se volete, "Happy Birthday to You".

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Cosa c'è di matematico in questa storia?

Non lo so, ma sento che qualcosa c'è.

Ditelo voi.

1 gennaio 2025

[A25-1] Buon anno!

Cari amici, buon anno a tutti!

Vi auguro incontri, come quelli illustrati nella figura, che portino pace e bene nei vostri cuori per tutta la vita.

Riporto la descrizione data da Bruno che è l'autore del disegno.

Due essenze erbacee differenti (sia pure limitatamente, condividendo lo stesso volume radicale) si incontrano.
Ogni incontro promette un arricchimento e un nuovo passo evolutivo.
Vedere ciò e coglierlo, dipende da noi.
Se questo 2025 ci portasse a dare più valore e spazio agli incontri, continuerebbe a illuminare il nostro viaggio per molto tempo, forse per tutto il resto della nostra vita

Auguri Bruno 2025

[A25-24] Nella mandorla

[A25-23] Perché si studia Matematica

[A25-22] Le Nuove Indicazioni 2025

[A25-21] Se il Mondo fosse granulare, che ne sarebbe di π?

[A25-20] Con un solo trattino

[A25-19] Definizioni

[A25-18] Somma vuota e prodotto vuoto

[A25-17] David Bessis

[A25-16] Perché 00 = 1 nell'Aritmetica di Peano

[A25-15] Numero quadratoso

[A25-14] Illuminazione

[A25-13] Una coincidenza sul problema 5008

[A25-12] Il paradosso del rapporto

[A25-11] Numeri primi del tipo n2-1

[A25-10] Il più grande fattore primo di n2+1

[A25-9] Un array di tre birre

[A25-8] Il dottor Jekyll e mister Hyde

[A25-7] Precedenza × di su + nei linguaggi di programmazione

[A25-6] La precedenza × di su +

[A25-5] Simmetrie con tetramini asimmetrici

[A25-4] Gabriele Lolli

[A25-3] Perché la moltiplicazione ha la precedenza sull'addizione?

[A25-2] Una canzone per te, chiunque tu sia

[A25-1] Buon anno!

Appunti precedenti

[A25-16] Perché 0⁰ = 1 nell'Aritmetica di Peano

[A25-11] Numeri primi del tipo n²-1

[A25-10] Il più grande fattore primo di n²+1