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18 febbraio 2025

[A25-15] Numero quadratoso

Definizione. Un numero intero si chiama “numero quadratoso” quando la somma delle sue cifre è un quadrato perfetto.

Per esempio i numeri 243 e 10 sono quadratosi, poiché 2+4+3 = 3² e 1+0 = 1².

Il numero di quest'anno, 2025, è quatratoso ed è anche un quadrato perfetto.

Domande.

Qual è il più piccolo numero quadratoso maggiore di 2025?
Qual è il più grande numero quadratoso senza cifre ripetute?

15 febbraio 2025

[A25-14] Illuminazione

Due quadrati uniti lungo un lato.
Quanto vale l'area verde?

Area di due quadrati uniti

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Questo problema è semplicissimo, ma richiede una piccola illuminazione che vi sorprenderà.

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Fonte del problema: Masahiro Matsuno su Facebook.

11 febbraio 2025

[A25-13] Una coincidenza sul problema 5008

Il classico puzzle con gli stecchini 508 in origine era 5008.
L'ho visto per la prima volta nel 2015 su Brilliant.org.

Negli anni successivi il 5008 si è trasformato in 508 che è più semplice ma altrettanto interessante.

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Puzzle 5008

Problema. Muovi 2 stecchini per ottenere il numero più grande possibile

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In quegli anni era diffusa la prima generazione dell'autovettura Peugeot 5008 che successivamente ha avuto varie edizioni, fino ad oggi.

Nel 2018 c'è stata la seconda generazione di un altro modello, la Peugeot 508. E anche il puzzle ha avuto una seconda versione.

Insomma, questo puzzle ha un formato SUV e un formato berlina sport.

E' solo una coincidenza?

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Postato su BASE Cinque l'articolo:
Il problema 508.

Un esercizio di fantasia e libertà matematica.

8 febbraio 2025

[A25-12] Il paradosso del rapporto

Il libro di Gabriele Lolli dedicato alla creatività in matematica è molto interessante e istruttivo ma altrettanto impegnativo.
Come molti altri libri di Lolli, ti dice quello che non ti dicono a scuola, neanche all'università, a meno che non segui un corso di Logica Matematica.
Però ci sono anche aneddoti facili e illuminanti.
Eccone uno, rielaborato un po'.

Dati due numeri distinti, a, b, tali che a<b,
è possibile che
a : b = b : a ?

Che ne dite?

Nota: il simbolo ":" rappresenta la normale divisione o, se volete, il rapporto.

6 febbraio 2025

[A25-11] Numeri primi del tipo n²-1

Ok, trovare quanti sono i numeri primi del tipo n²+1 è un problema difficile, però ce n'é uno più facile, per cominciare ad allenarsi:

Quanti sono i numeri primi del tipo n²-1?

4 febbraio 2025

[A25-10] Il più grande fattore primo di n²+1

I numeri del tipo n²+1, con n naturale, formano la sequenza:

2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, ...

Ecco una domanda molto difficile, ancora senza risposta:

Quanti sono i numeri primi del tipo n²+1?

La mia domanda, qui, è più semplice.

Usate il vostro linguaggio di programmazione preferito per trovare ed elencare i numeri primi p del tipo p = n²+1.

E se n²+1 non è primo, quanto è grande il suo fattore più grande? (così almeno sapete a che punto fermarvi facendo il test di primalità).

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Nota. Sembra che l'abbia trovato Hector Pasten, The largest prime factor of
n²+1 and improvements on subexponential ABC. Inventiones mathematicae 236, 373–385 (2024)

1 febbraio 2025

[A25-9] Un array di tre birre

Questa vignetta è vecchia di almeno 8 anni ma è istruttiva e sempre simpatica!

Tre programmatori entrano in un bar...

Tre birre

Si può interpretare in almeno 2 modi diversi:
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0) le due dita indicano il numero 3 che in binario si scrive 11 (leggi uno-uno);
1) le due dita indicano il numero 2 che esprime un array di 3 birre perché gli indici degli array cominciano da 0, birra(0), birra(1), birra(2).
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30 gennaio 2025

[A25-8] Il dottor Jekyll e mister Hyde

Ancora sul cosiddetto PEMDAS.

Questo insieme di regole convenzionali è una delle poche occasioni che i ragazzi trovano a scuola per lavorare davvero con un linguaggio formale.

Ma a quanto pare c'è un po' di foschia su questo argomento.

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Da che parte state: con il dottor Jekyll o con mister Hyde?

Dottor Jekyll e mister Hyde

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Ho proposto questa semplice espressione aritmetica sui "social" ottenendo la maggioranza delle risposte a favore di Mr Hyde.

Credevo che fosse un semplice esercizio sul PEMDAS e invece si è rivelata una specie di illusione ottica-culturale.

Da meditare.

Nel frattempo segnalo alcuni articoli sull'argomento. Si trovano in rete.

Nels Johann Lennes, Relating to the order of operations in algebra, The American Mathematical Monthly, Vol. 24, No. 2 (Feb., 1917), pp. 93-95.
Nota. E' di 108 anni fa!
Hung-Hsi Wu, "Order of operations" and other oddities in school mathematics, UC Berkeley, 2007.
Olga Kosheleva, Vladik Kreinovich, Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, 2016.
Joshua Evan Naddor, Order of Operations: Please Excuse My Dear Aunt Sally as Her Rule Is Deceiving, University of Georgia ProQuest Dissertations & Theses, 2020.

26 gennaio 2025

[A25-7] Precedenza × di su + nei linguaggi di programmazione

Non c'è un sistema di regole condiviso sulla precedenza delle operazioni per calcolare il valore di una espressione matematica.

Per esempio.

Python segue la convenzione comune.

Codice: print(7+4*5+3*2)

Output: 33

Svolgimento:

7+4*5+3*2

= 7+20+6

= 33

APL fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da destra a sinistra.

Codice: ⎕←7+4×5+3×2

Output: 51

Svolgimento:

7+4×5+3×2

= 7+4×5+6

= 7+4×11

= 7+44

= 51

Smalltalk fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da sinistra a destra.

Codice: Transcript show: (7+4*5+3*2) printString.

Output: 116

Svolgimento:

= 7+4*5+3*2

= 11*5+3*2

= 55+3*2

= 58*2

= 116

23 gennaio 2025

[A25-6] La precedenza × di su +

Secondo alcuni storici, la precedenza della moltiplicazione sull'addizione potrebbe avere origini antiche derivanti da usi linguistici.

Non lo so ma faccio alcune prove con l'italiano.

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- Quante uova vuoi?
- Dammene cinque più due dozzine.
La frase tradotta in espressione aritmetica è:

5+2×12

Si intende:

5+24 = 29 (precedenza alla moltiplicazione)

E non:

7×12 = 84

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Quanto è di più: mezza dozzina di dozzine o sei dozzine di dozzine?

"mezza dozzina di dozzine"

Si intende:

12÷2×12 = 6×12 = 72

(÷ e ×, si eseguono nell'ordine da sinistra a destra)

"sei dozzine di dozzine"

Si intende:

6×12² = 6×144 = 864

(l'elevamento a potenza ha la precedenza sulla moltiplicazione)

E non:

72² = 5184

18 gennaio 2025

[A25-5] Simmetrie con tetramini asimmetrici

Simmetrie con tetramini asimmetrici.

In questo laboratorio di geometria useremo alcuni tetramini asimmetrici per cercare di costruire forme che abbiano uno o due assi di simmetria.

Gli obiettivi didattici principali sono:

Vedere simmetrie assiali in situazioni non standard, cioè, per esempio, quando gli assi di simmetria non sono né orizzontali né verticali.
Costruire forme simmetriche.
Capire quanto è difficile mettere assieme pezzi asimmetrici per costruire una forma simmetrica, anche quando i pezzi sono pochi.

Tetramini asimmetrici

13 gennaio 2025

[A25-4] Gabriele Lolli

Il 13 gennaio 2025 Gabriele Lolli ci ha lasciati. Per me è stato un punto di riferimento nella Logica Matematica, un mito irraggiungibile, una fonte di conoscenza.
Mi piace pensare che ora è nel Paradiso dei matematici.
Ho imparato tantissime cose leggendo i suoi libri, e tante altre erano al di sopra delle mie capacità. E' stato correlatore della mia umile tesi di laurea.
Il suo ultimo libro che sto leggendo è La creatività in matematica.

Collego questo suo libro, nella mia rete personale di conoscenze, all'opera di Jacques Hadamard, La psicologia dell'invenzione in campo matematico e a quella di Francis Su, La Matematica per il fiorire dell'essere umano, che contiene un capitolo dedicato alla Creatività come bisogno fondamentale della Matematica e dell'umanità.

Lolli 2025

8 gennaio 2025

[A25-3] Perché la moltiplicazione ha la precedenza sull'addizione?

L'addizione e moltiplicazione sono operazioni binarie che si esprimono generalmente così, in notazione infissa:

a+b = c, a∙b = c
Devono avere due argomenti, perciò una scrittura del tipo:
3+2∙7

non ha senso.

Per avere senso deve essere scritta con le parentesi, così:

(3+2)∙7, se vogliamo eseguire prima l'addizione;
3+(2∙7), se vogliamo eseguire prima la moltiplicazione.

Se però vogliamo ridurre il numero di parentesi, possiamo stabilire convenzionalmente una regola di precedenza tra le operazioni.

3+2∙7 = 5∙7 = 35, se diamo la precedenza all'addizione;
3+2∙7 = 3+14 = 17, se diamo la precedenza alla moltiplicazione.

La domanda è: considerate le espressioni più comuni usate in Matematica, a quale operazione conviene dare la precedenza per scrivere meno parentesi possibile?

Se per esempio consideriamo la scrittura dei polinomi in Algebra o le sommatorie in Analisi, conviene decisamente dare la precedenza alla moltiplicazione.

Esempio:

a∙x³+b∙x²+c∙x+d, precedenza alla moltiplicazione.
(a∙x³)+(b∙x²)+(c∙x)+d, precedenza all'addizione.

3 gennaio 2025

[A25-2] Una canzone per te, chiunque tu sia

Una donna musicista di strada e una donna ricca parlano di musica.

La musicista di strada dice: - Se mi dici un qualunque nome di persona, io posso trovare una canzone che contiene quel nome.

La donna ricca risponde: - OK, se conosci una canzone con il nome di mio figlio, ti darò mille dollari. Si chiama Demarcus-Jabari.

La musicista di strada ci pensa un po' su, poi sorride e canta la canzone.

Subito dopo diventa mille dollari più ricca.

Quale canzone ha cantato?

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Soluzione: "Tanti auguri a te" o, se volete, "Happy Birthday to You".

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Cosa c'è di matematico in questa storia?

Non lo so, ma sento che qualcosa c'è.

Ditelo voi.

1 gennaio 2025

[A25-1] Buon anno!

Cari amici, buon anno a tutti!

Vi auguro incontri, come quelli illustrati nella figura, che portino pace e bene nei vostri cuori per tutta la vita.

Riporto la descrizione data da Bruno che è l'autore del disegno.

Due essenze erbacee differenti (sia pure limitatamente, condividendo lo stesso volume radicale) si incontrano.
Ogni incontro promette un arricchimento e un nuovo passo evolutivo.
Vedere ciò e coglierlo, dipende da noi.
Se questo 2025 ci portasse a dare più valore e spazio agli incontri, continuerebbe a illuminare il nostro viaggio per molto tempo, forse per tutto il resto della nostra vita

Auguri Bruno 2025