[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

La vera curva di Peano
spiegata a me stesso

Cosa scrisse veramente Giuseppe Peano
a proposito della sua famosa curva frattale?

Introduzione

Nel 1890 Giuseppe Peano (1858–1932) pubblicò un articolo intitolato “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane” sui Mathematische Annalen.

In quell'articolo egli descrisse una funzione continua f(x) che ha la strana proprietà di riempire un quadrato. Per la precisione, al variare di x nell'intervallo [0;1], la funzione assume tutti i valori dell'insieme [0;1] x [0;1].

Com'é fatta questa curva?

Ho cercato su Internet ma le idee non mi si sono chiarite. Infatti sotto il nome di "curva di Peano" si descrivono varie curve che hanno la proprietà di riempire una porzione di piano.

Ovviamente non è possibile disegnarle (a meno che non si disegni un quadrato tutto nero), perciò in genere sono disegnate attraverso stadi successivi di approssimazione descritti per mezzo di un particolare linguaggio di programmazione chiamato Lindenmayer system o L-system o L-sistema.

Ma non è questo che m'interessa qui ed ora.

Qui vorrei capire come fece Giuseppe Peano a costruire questa sua straordinaria funzione.

Il modo migliore per farlo è studiare il suo articolo originale.

Lo riporto qui di seguito diviso in varie parti, assieme alle mie riflessioni.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Qui scopriamo che in realtà la curva continua è il luogo dei punti le cui coordinate sono due funzioni continue di una variabile T nell'intervallo [0;1].

x = X(T)

y = Y(T)

In pratica queste due funzioni descrivono il moto di un punto nel quadrato

0 <= x <= 1

0 <= y <= 1

Poiché le funzioni sono continue, anche la traiettoria del punto sarà continua.

Le sequenze T e l'operatore k

Calma e gesso. Sembra difficile ma è facilissimo, per ora.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Praticamente Peano qui anticipa che i valori della variabile T e delle funzioni X(T) e Y(T) saranno espresse sotto forma di "numeri con la virgola" in base 3.

Inoltre introduce un operatore k che opera sui numeri T nel seguente modo:

Definizione dell'operatore k

Esempi.

Che cosa accade se applichiamo più volte l'operatore k ad un numero a?

k22 = kk2 = k(k2) = k0 = 2

k32 = kkk2 = k(k(k2)) = k(k0) = k2 = 0

In conclusione (importante!):

Perché Peano si è inventato questo k?

Perché serve a definire le funzioni X(T) e Y(T), che vedremo subito.

Ma come ha fatto a venirgli in mente?

Questo è tutto un altro argomento, interessante, però!

Ecco un esempio di sequenza di tutti i T aventi 2 cifre significative (si intende che tutte le cifre dalla quinta dopo la virgola in avanti sono zeri)

0,00

0,01

0,02

0,10

0,11

0,12

0,20

0,21

0,22

Nota. Per generare una lista T formata da tutti i numeri con n cifre significative, ho utilizzato il seguente programma in Decimal BASIC

LET n=2

FOR i = 0 TO 3^n-1

LET t =tb3(i)

LET t$=STR$(t)

LET l=LEN(t$)

LET diff=n-l

FOR k=1 TO diff

LET t$="0"&t$

NEXT k

PRINT t$

NEXT i

END

Nota. Il programma utilizza la seguente funzione tb3(n).

!'Converte un numero da base10 a base3

FUNCTION tb3(n)

LET ris$=""

DO

LET resto = MOD(n , 3)

LET quoz = INT(n/3)

LET ris$ = STR$(resto) & ris$

LET n = quoz

IF quoz <3 THEN

LET ris$ = STR$(quoz) & ris$

EXIT DO

END IF

LOOP

LET tb3 = VAL(ris$)

END FUNCTION

Le funzioni X(T) e Y(T)

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Praticamente qui Peano spiega come ottenere, per ogni T, i valori delle due funzioni X(T) e Y(T).

Facciamo un esempio, con un T di 4 cifre significative.

T= 0,2122

a1 = 2

a2 = 1

a3 = 2

a4 = 2

Applicando le relazioni descritte da Peano, si ricava:

b1 = a1 = 2

b2 = ka2a3 = k12 = k2 = 0

c1 = ka1a2 = k21 = 1

c2 = ka1+a3a4 = k2+22 = k42 = 2

In conclusione:

X(T) = 0,20

Y(T) = 0,12

Facciamo un altro esempio, con un T di 8 cifre significative.

T = 0,12110102

X(T) = 0,1120

Y(T) = 0,0112

Ancora un esempio con un T di 5 cifre significative.

T = 0,21102

X(T) = 0,210

Y(T) = 0,12

Nota. Le due funzioni in Decimal Basic che, data una sequenza T, ricavano le due sequenze X(T) e Y(T), sotto forma di stringhe, sono le seguenti.

!'Dato T$, ricava X$

FUNCTION XT$(n$,nc)

LET l=LEN(n$)

LET diff=nc-l

FOR k=1 TO diff

LET n$="0"&n$

NEXT k

LET x$=n$(1:1)

FOR k=2 TO l-1 STEP 2

LET a1=0

FOR k2=2 TO k STEP 2

LET a1=a1+VAL(n$(k2:k2))

NEXT k2

LET a2=VAL(n$(k+1:k+1))

LET x=KNA(a1,a2)

LET x$=x$&STR$(x)

NEXT k

LET XT$=x$

END FUNCTION

!'Dato T$, ricava Y$

FUNCTION YT$(n$,nc)

LET l=LEN(n$)

LET diff=nc-l

FOR k=1 TO diff

LET n$="0"&n$

NEXT k

LET y$=""

LET l=LEN(n$)

IF l>1 THEN

LET a1=VAL(n$(1:1))

LET a2=VAL(n$(2:2))

LET y=KNA(a1,a2)

LET y$=STR$(y)

FOR k=3 TO l-1 STEP 2

LET a1=0

FOR k2=1 TO k STEP 2

LET a1=a1+VAL(n$(k2:k2))

NEXT k2

LET a2=VAL(n$(k+1:k+1))

LET y=KNA(a1,a2)

LET y$=y$&STR$(y)

NEXT k

END IF

IF y$<>"" THEN LET YT$=y$

END FUNCTION

Nota. Le due funzioni precedenti, a loro volta, utilizzano la funzione KNA(n,a) che applica l'operatore k.

!'Funzione k^n(a)

FUNCTION KNA(n,a)

IF MOD(n , 2 ) = 0 THEN LET kna=a

IF MOD(n , 2 ) = 1 THEN

IF a = 0 THEN LET kna = 2

IF a = 1 THEN LET kna = 1

IF a = 2 THEN LET kna = 0

END IF

END FUNCTION

La conclusione di Peano

A questo punto Peano chiede di interpretare le sequenze di numeri T, X(T) e Y(T) come numeri decimali in base 3.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Dopo alcune importanti precisazioni, conclude.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Disegni della curva di Peano

Bene, ma come appare la curva di Peano disegnata sul piano?

Per farmi un'idea, ho seguito due approcci.

Ma quanti e quali punti disegnare?

E in quale ordine collegarli?

Ho proceduto per approssimazioni successive basate sulla lunghezza di T.

Inoltre ho collegato i punti nell'ordine in cui si trovano al crescere di T.

Grafico per punti, prima approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Punto T X(T) Y(T)
1 0,00 0,0 0,0
2 0,01 0,0 0,1
3 0,02 0,0 0,2
4 0,10 0,1 0,2
5 0,11 0,1 0,1
6 0,12 0,1 0,0
7 0,20 0,2 0,0
8 0,21 0,2 0,1
9 0,22 0,2 0,2

Grafico per punti, seconda approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico per punti, quarta approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, prima approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, seconda approssimazione.

La linea parte dal vertice in basso a sinistra (origine degli assi).

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, terza approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, quarta approssimazione.

Le imprecisioni sono dovute alla bassa risoluzione grafica che ho utilizzato per fare il disegno.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafici delle funzioni X(T) e Y(T)

A questo punto mi è venuta la curiosità. Come sono i grafici delle funzioni continue X(T) e Y(T)?

Grafico a linee, Y(T) in funzione di T seconda approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, X(T) in funzione (inversa) di T seconda approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, Y(T) in funzione di T terza approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Grafico a linee, X(T) in funzione (inversa) di T terza approssimazione.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

I due grafici, Y(T) e X(T) assieme, terza approssimazione.

Se immaginiamo le due curve come le due componenti X e Y del moto di una particella, possiamo dire che la loro combinazione dà la curva di Peano.

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Il problema dei numeri T periodici

Ricordate la perplessità che nasce alle scuole medie quando si studiano i numeri periodici?

Si ha ad esempio che:

4,99999999..... = 5,00000... = 5

3,59999999..... = 3,60000... = 3,6

In questi casi accade che uno stesso numero razionale è rappresentato da due diverse sequenze di cifre decimali. Ciò accade quando ci sono infiniti 9 dopo la virgola, cioè quando il periodo è 9.

La stessa cosa succede con i numeri in base 3 utilizzati da Peano e per la precisione con quei numeri che terminano con una sequenza infinita di 2, ovvero che hanno periodo uguale a 2.

Esempio.

Numero T X(T) Y(T)
a = 0,12100222222222222222... 0,1102222222... 0,0022222222...
b = 0,12101000000000000000... 0,1110000000... 0,0022222222...

In questo esempio:

a = b

anche se sono rappresentati con due diverse sequenza di cifre.

Allora il problema è questo:

se a = b, allora sarà anche e in ogni caso X(a) = X(b) e Y(a) = Y(b)?

Nell'esempio è proprio così, perché

0,1102222222... = 0,1110000000...

0,0022222222... = 0,0022222222...

Peano dimostra che questo fatto è vero in ogni caso.

Questa dimostrazione è necessaria perché in caso contrario potrebbe accadere che la funzione di uno stesso numero abbia due valori distinti.

La curva di Peano descritta in un L-sistema e in Turtle graphics

La curva di Peano descritta in un L-sistema

Peano {

axiom x

x=XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX

y=YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY

angle 4

}

La curva di Peano descritta in Turtle graphics. Il linguaggio utilizzato è il solito Decimal BASIC. La procedura fa riferimento a tre sotto-procedure chiamate RT(x) - ruota a destra, LT(x), ruota a sinistra e FD(x), avanti.

PICTURE Peano (n,a,h)

IF n >= 0 THEN

CALL RT(a)

DRAW Peano (n - 1,-a,h)

CALL FD(h)

DRAW Peano (n - 1,a,h)

CALL FD(h)

DRAW Peano (n - 1,-a,h)

CALL LT(a)

END if

END PICTURE

L'articolo completo di Giuseppe Peano

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Dall'articolo originale di Giuseppe Peano

Appendice

Questo è il programma in Decimal BASIC che ho utilizzato per studiare la curva di Peano e disegnare i grafici.

!'Curva di Peano

!'--------------------------------------

!'Converte un numero da base10 a base3

FUNCTION tb3(n)

LET ris$=""

DO

LET resto = MOD(n , 3)

LET quoz = INT(n/3)

LET ris$ = STR$(resto) & ris$

LET n = quoz

IF quoz <3 THEN

LET ris$ = STR$(quoz) & ris$

EXIT DO

END IF

LOOP

LET tb3 = VAL(ris$)

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'Converte un numero da base3 a base10

FUNCTION invtb3(n)

LET ris=0

LET n$=STR$(n)

LET l=LEN(n$)

FOR k=1 TO l

LET cf=VAL(n$(l-k+1:l-k+1))

LET ris=ris+cf*3^(k-1)

NEXT k

LET invtb3 = ris

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'Converte un numero del tipo 0,abcd... da base3 a base10

FUNCTION INVTB03(n$,nc)

LET ris=0

LET l=LEN(n$)

LET diff=nc-l

FOR k=1 TO diff

LET n$="0"&n$

NEXT k

!'PRINT n$

FOR k=1 TO nc

LET cf=VAL(n$(k:k))

LET ris=ris+cf/(3^k)

NEXT k

!'PRINT ris

LET invtb03 = ris

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'Funzione k^n(a)

FUNCTION KNA(n,a)

IF MOD(n , 2 ) = 0 THEN LET kna=a

IF MOD(n , 2 ) = 1 THEN

IF a = 0 THEN LET kna = 2

IF a = 1 THEN LET kna = 1

IF a = 2 THEN LET kna = 0

END IF

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'Dato T$, ricava X$

FUNCTION XT$(n$,nc)

LET l=LEN(n$)

LET diff=nc-l

FOR k=1 TO diff

LET n$="0"&n$

NEXT k

LET x$=n$(1:1)

FOR k=2 TO l-1 STEP 2

LET a1=0

FOR k2=2 TO k STEP 2

LET a1=a1+VAL(n$(k2:k2))

NEXT k2

LET a2=VAL(n$(k+1:k+1))

LET x=KNA(a1,a2)

LET x$=x$&STR$(x)

NEXT k

LET XT$=x$

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'Dato T$, ricava Y$

FUNCTION YT$(n$,nc)

LET l=LEN(n$)

LET diff=nc-l

FOR k=1 TO diff

LET n$="0"&n$

NEXT k

LET y$=""

LET l=LEN(n$)

IF l>1 THEN

LET a1=VAL(n$(1:1))

LET a2=VAL(n$(2:2))

LET y=KNA(a1,a2)

LET y$=STR$(y)

FOR k=3 TO l-1 STEP 2

LET a1=0

FOR k2=1 TO k STEP 2

LET a1=a1+VAL(n$(k2:k2))

NEXT k2

LET a2=VAL(n$(k+1:k+1))

LET y=KNA(a1,a2)

LET y$=y$&STR$(y)

NEXT k

END IF

IF y$<>"" THEN LET YT$=y$

END FUNCTION

!'--------------------------------------

!'PROGRAMMA PRINCIPALE

!'--------------------------------------

!'Genera T (numeri in base 3)

OPTION BASE 0

SET WINDOW -0.1, 1.1, -0.1, 1.1

SET LINE COLOR "yellow"

PLOT LINES : 0,0;1,0;1,1;0,1;0,0

SET AREA COLOR "yellow"

FLOOD 0.5, 0.5

DRAW axes

SET LINE COLOR 1

LET n=6

SET LINE COLOR 1

SET LINE width 1

SET TEXT FONT "arial narrow",8

!'Costruisce una tabella in HTML

!'PRINT "<table>"

!'PRINT "<caption></caption>"

!'PRINT "<tbody>"

FOR i = 0 TO 3^n-1

LET t = tb3(i)

LET t$=STR$(t)

LET l=LEN(t$)

LET diff=n-l

FOR k=1 TO diff

LET t$="0"&t$

NEXT k

LET x$=XT$(t$,n)

LET y$=YT$(t$,n)

!'PRINT t$

!' PRINT "0,";t$;" ";"0,";x$;" ";"0,";y$

!' PRINT "<tr>"

!' PRINT "<td>";"0,";t$;"</td>"

!' PRINT "<td>";"0,";x$;"</td>"

!' PRINT "<td>";"0,";y$;"</td>"

!' PRINT "</tr>"

!'SET LINE COLOR (INT((INVTB3(t)-1)/8))+1

PLOT LINES: INVTB03(x$,n/2),INVTB03(y$,n/2);

!'PLOT TEXT, AT INVTB03(x$,n/2),INVTB03(y$,n/2): STR$(i+1)

NEXT i

!'PRINT "</tbody>"

!'PRINT "</table>"

PLOT LINES

!'--------------------------------------

!'Questo serve per produrre un secondo grafico sovrapposto al primo

GOTO 100

LET n=8

!'SET LINE COLOR 4

!'SET LINE STYLE 3

SET LINE width 2

FOR i = 0 TO 3^n-1

LET t = tb3(i)

LET t$=STR$(t)

LET l=LEN(t$)

LET diff=n-l

FOR k=1 TO diff

LET t$="0"&t$

NEXT k

LET x$=XT$(t$,n)

LET y$=YT$(t$,n)

!'PRINT "0,";t$;" ";x$;" ";y$

!'SET LINE COLOR (INT((INVTB3(t)-1)/8))+1

PLOT LINES: INVTB03(x$,n/2),INVTB03(t$,n/2);

NEXT i

!'--------------------------------------

!'Questo serve per produrre un terzo grafico sovrapposto ai primi due

GOTO 100

LET n=6

SET LINE COLOR 4

!'SET LINE STYLE 3

SET LINE width 1

FOR i = 0 TO 3^n-1

LET t = tb3(i)

LET t$=STR$(t)

LET l=LEN(t$)

LET diff=n-l

FOR k=1 TO diff

LET t$="0"&t$

NEXT k

LET x$=XT$(t$,n)

LET y$=YT$(t$,n)

!'PRINT "0,";t$;" ";x$;" ";y$

!'SET LINE COLOR (INT((INVTB3(t)-1)/8))+1

PLOT LINES: INVTB03(x$,n/2),INVTB03(y$,n/2);

NEXT i

100 END

Data creazione: giugno 2008

Ultimo aggiornamento: luglio 2008

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