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La pagina aperta del 153

Un particolare ringraziamento a Peppe che ha posto il problema nel Forum
e a Sprmnt21, Enrico Delfini,... per i loro illuminanti interventi.

Nell'ultimo capitolo del Vangelo di Giovanni si legge di una pesca miracolosa:

"Ascendit Simon Petrus et traxit rete in terram plenum magnis piscibus, centum quinquaginta trium." (Iohannem, 21, 11)

"Simon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci."

Il nostro amico Peppe si chiede:
Che cosa c'è di speciale, matematicamente parlando, nel 153?
Per incominciare è la somma dei numeri da 1 a 17 compreso, niente di speciale. Si puo' scrivere come somma:
153 = 1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+(1x2x3x4x5)
ossia usando il fatoriale(!):
153 = 1!+2!+3!+4!+5!
Però la cosa veramente curiosa, e che vorrei che qualcuno mi chiarisse è la seguente:
153=1^3+5^3+3^3, ossia le singole cifre, 1, 5, 3 che compongono il numero 153, elevate al cubo e sommate fra loro danno 153 come risultato.
Da notare che 153 è un multiplo di 3 e che secondo l'israeliano Phil Kohn, il 153 si trova "dormiente" nel 3 e in ogni multiplo di 3.
Infatti prendete un multiplo qualsiasi di 3 ad esempio 27.
Sommate i cubi delle cifre 2 e 7, otterrete 8+43 = 351.
Fate lasomma dei cubi delle cifre del numero ottenuto: 27+125+1 = 153.
Mi sono spiegato?
Provate con qualsiasi altro multiplo di 3, alla fine otterrete sempre 153.
Chi sa spiegarmi questo mistero?


Risposte & riflessioni

Gianfranco Bo
Sono rimasto particolarmente impressionato dalla frase dell'israeliano Phil Kohn:
"Il 153 si trova "dormiente" nel 3 e in ogni multiplo di 3"
Qual è il significato profondo di quest'affermazione?

Lascio questa pagina dedicata al 153 aperta a tutti i contributi che possano svelare il mistero.

Il 23 febbraio 2002 ho inserito tre programmi in Javascript utili per indagare questo problema.
Potete salvare questa pagina sul vostro computer e utilizzare i programmi senza essere collegati ad Internet.
Se avete problemi o trovate dei "bugs", vi prego di farmelo sapere. Sono un principiante di Javascript.
N.B. Siccome mi interessa soltanto l'algoritmo matematico, non ho introdotto nessun controllo dell'input. Per cui fate attenzione a quello che digitate nelle caselle di input.


Primo programma: il classico

Sequenze generate calcolando ripetutamente
la somma dei cubi delle cifre di un numero

Che cosa fa questa funzione?
Dato un numero, ad esempio 154, la funzione calcola la somma dei cubi delle cifre, cioè: 1^3 + 5^3 + 4^3 = 190.
Poi calcola nuovamente la somma delle cifre del numero ottenuto, cioè: 1^3 + 9^3 + 0^3 = 730.
Applica la stessa procedura fino a quando trova un numero che è già stato ottenuto in precedenza, quindi si ferma e stampa la sequenza.
In questo caso si ferma a 370 e stampa: 154-190-730-[370]-370-...
Le parentesi quadre delimitano il numero o la parte di sequenza che si ripete all'infinito.
Il programma chiede un numero di partenza e calcola le sequenze generate da quel numero e dai 100 successivi.

Inserisci il numero di partenza


Secondo programma: una possibile generalizzazione

Sequenze generate calcolando ripetutamente
la somma delle potenze (2, 3, 4, 5) delle cifre di un numero

Che cosa fa questa funzione?
E' simile a quella precedente, ma consente di scegliere anche un esponente a cui elevare le singole cifre prima di calcolare la somma.
L'esponente si seleziona con i "radio buttons", i bottoni circolari.
Se ad esempio scegliete come numero di partenza 21 e come esponente il quadrato, otterrete la stampa di tutte le sequenze da 21 a 121.
Ecco la prima:
21-5-25-29-85-[89-145-42-20-4-16-37-58]-89-...
Le parentesi quadre delimitano la parte di sequenza che si ripete all'infinito.

Inserisci il numero di partenza

Seleziona un esponente

   






Terzo programma

Studio di casi singoli

Che cosa fa questa funzione?
E' simile a quella precedente, ma consente di esaminare la sequenza generata da un numero singolo.
Nei casi precedenti le funzioni applicano l'algoritmo fino ad un massimo di 50 volte e in certi casi non trovano un ciclo che si ripete.
Questi casi possono essere analizzati singolarmente nello schema seguente dove l'algoritmo viene applicato fino ad un massimo di 200 volte.
Sono inoltre disponibili gli esponenti fino al 7° livello.
Se Javascript regge, onore e gloria a Netscape!

Inserisci il numero Seleziona un esponente    






Sprmnt21, 21:39:19 12/04/01 Tue [1]

Una veloce/parziale riflessione sulla questione.

Se con SCC(N) indichiamo la somma dei cubi delle cifre del numero N, si ha che se N e' un numero ad n cifre N>=10^(n-1) allora SCC(N)<=n*9^3<n*10^3. Percio' i possibili n per cui SCC(N)=N sono quelli per cui 10^(n-1)<n*10^3 cioe' 10^(n-4)<n quindi n=1, 2, 3, 4.
La ricerca dei numeri N che sono uguali alla somma dei cubi delle proprie cifre e' limitata ai numeri a 4 cifre. Si puo' facilmente limare ancora qualcosa considerando che 4*9^3=2916 e' il massimo numero teorico raggiungibile come somma di 4 cubi di una cifra. E ancora, il numero sotto 2916 con la piu' grande SCC(N) e' 1999, precisamente SCC(1999)=2188.

Pertanto la ricerca da fare, ad esempio con l'aiuto di un software, si puo' limitare agli N<1999.
Probabilmente si puo ancora scendere ma non credo ne valga la pena.
Non credo che siano molti. Abbiamo 0, 1, 153, e qualcun altro.

Per quanto riguarda la convergenza dell'algoritmo che applica iterativamente la funzione SCC(.) a partire da un multiplo di 3, possiamo dire che ad ogni passo otteniamo ancora un multiplo di 3. Infatti se N e' multiplo di 3 la somma delle sue cifre e' multipla di 3. E dato che per il piccolo teorema di Fermat a^3==a (mod 3) si ha che la somma dei cubi di un insieme di numeri e' congrua alla somma dei numeri. Cioe' se a, b, c,... sono le cifre di n si ha che a^3+b^3+c^3+...==a+b+c+... ==0 (mod 3) cioe' SCC(abc...) e' un multiplo di 3.

Un'altra cosa che si puo' dire che qualunque sia il numero di partenza l'applicazione ripetuta di SCC(.) riduce via via il numero fino ad un numero con non piu' di 4 cifre.

La successione ha i suoi punti fissi per gli N tali che N=SCC(N). Quindi se arriva in uno dei numeri 0, 1, 153, (e gli altri eventuali che qualcuno spero vorra' trovare/calcolare) la successione diventa stazionaria. Ma per l'osservazione precedente, partendo da un numero multiplo di 3, la nostra vicenda puo' avere come stazione d'arrivo solo i multipli di 3 fra 0, 1, 153,...
Ora io credo che l'unico multiplo di 3 fra questi sia il 153. Pertanto ... mi fermo qua.

Potrebbe sembrare che se trovassimo tutti gli N tali che SCC(N)=N e risultasse, come io credo, che 153 e' l'unico multiplo di 3, allora la prova e' completa. Purtroppo non e' cosi'.

Cosa manca per completare la prova oltre a trovare che 153 e' l'unico N=SCC(N) multiplo di 3?
Cioe' qual e' la situazione che pur rispettando tutte le condizione che ho trovato non assicura la convergenza a 153?

Sprmnt21, 12:45:05 12/29/01 Sat [1]

Queste sono le due righe del programma di Mathematica

f[x_] := Apply[Plus, #^3 &[IntegerDigits[x]]]
Do[Print[FixedPointList[f, i, 15]], {i, 1999}]


Questo e' uno stralcio di un file di solo testo (97Kbytes).


{1, 1}
{2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{3, 27, 351, 153, 153}
{4, 64, 280, 520, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250}
{5, 125, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153, 153}
{7, 343, 118, 514, 190, 730, 370, 370}
{8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{9, 729, 1080, 513, 153, 153}
{10, 1, 1}
{11, 2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{12, 9, 729, 1080, 513, 153, 153}
{13, 28, 520, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133}
...

{33, 54, 189, 1242, 81, 513, 153, 153}
{34, 91, 730, 370, 370}
{35, 152, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{36, 243, 99, 1458, 702, 351, 153, 153}
{37, 370, 370}
...
{89, 1241, 74, 407, 407}
{90, 729, 1080, 513, 153, 153}
{91, 730, 370, 370}
{92, 737, 713, 371, 371}
{93, 756, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
...

{1193, 758, 980, 1241, 74, 407, 407}
{1194, 795, 1197, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1195, 856, 853, 664, 496, 1009, 730, 370, 370}
{1196, 947, 1136, 245, 197, 1073, 371, 371}
{1197, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1198, 1243, 100, 1, 1}
...
{1534, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352, 160}

...
{1995, 1584, 702, 351, 153, 153}
{1996, 1675, 685, 853, 664, 496, 1009, 730, 370, 370}
{1997, 1802, 521, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{1998, 1971, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1999, 2188, 1033, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55}.

Come si puo' notare non in tutti i casi l'algoritmo converge ad un punto fisso. I soli casi sono 1,153,370,371, 407. Di questi solo il 153 e' un multiplo di 3.

C'e' pure la risposta al quesito che avevo posto: cosa manca per completare la prova che avevo abbozzato?
Si nota che per alcuni numeri si forma un ciclo. Ad esempio partendo da 1999 si resta "bloccati" nel ciclo 55, 250, 133.

Si potrebbe cercare di provare (a prescindere dall'ispezione di tutti i casi elencati, che in effetti da' questo risultato) che partendo da un multiplo di 3 non si arriva ad alcun ciclo del tipo precedente.

Enrico Delfini
Scrivo a proposito del 153, numero per certi versi magico e caricato di significati simbolici.
La sua presenza, davvero insolita, nelle pagine del Nuovo Testamento fu inevitabilmente spunto di interpretazioni numerologiche da parte dei primi Padri della Chiesa.
Anche S. Agostino (devo dire in alcune sue pagine non delle più memorabili) gli attribuisce la particolarità di essere un numero "triangolare", e precisamente il diciassettesimo, e diciassette è "speciale" essendo la somma dei dieci comandamenti (Vecchio Testamento) e dei sette doni dello Spirito Santo (N.T.).
Riguardo al procedimento iterativo di somma dei cubi delle cifre, a parte 153-370-371 e 407, si possono notare due "cicli a due" formati da 136-244 e da 919-1459.
Ci sono poi due "cicli a tre": 55-250-133 e 160-217-352.
Al grande matematico G. H. Hardy fu chiesto un esempio di teoremi "non seri". La sua risposta chiamò in causa la dimostrazione che 8712 e 9801 sono i soli numeri di quattro cifre che sono multipli del numero composto dalle quattro cifre scritte da destra a sinistra.
Come secondo esempio Hardy cita la dimostrazione che ci sono solo quattro numeri che sono la somma dei cubi delle loro cifre, commentando:
"Questi sono fatti strani, utili per giochini da pubblicare e per divertire dei dilettanti, ma non c'è niente in essi che attira i matematici. Le dimostrazioni non sono nè difficili nè interessanti, solo un po' stancanti. I teoremi non sono seri, e la spiegazione sta nel fatto che sia l'enunciato che la dimostrazione sono estremamente particolari e non sono capaci di nessuna significativa generalizzazione."
A parte un richiamo al celebre problema dei ponti di Koenisberg affrontato da Eulero, o al gioco dei dadi e B. Pascal, o ai conigli di Fibonacci, mi pare che l'esistenza o meno di significativa possibilità di generalizzazione sia materia non certo suscettibile di prova.

Se volete leggere la quaestio 57. - De centum quinquaginta tribus piscibus, tratta da: DE DIVERSIS QUAESTIONIBUS OCTOGINTA TRIBUS di Sant'Agostino, visitate la pagina:
Sui 153 pesci di S. Agostino


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