[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Un dipinto di Bogdanov-Belsky

Nel 1895 il pittore russo Nicolai Bogdanov-Belsky dipinse una lezione di un tale prof. Rachinsky, che, lasciato l'insegnamento di scienze naturali all'università, si dedicò all'insegnamento della matematica nella scuola del suo piccolo paese, con un'attenzione particolare al calcolo "a mente", basato sull'applicazione delle proprietà dei numeri.

Ecco il quadro.

Nikolai Bogdanov-Belsky, "L'aritmetica nella scuola di carità di S.A. Rakinski"

Nicolai Petrovich Bogdanov Belski (1868-1945)
"Un esercizio complicato", ovvero
"L'aritmetica nella scuola di carità di S.A. Rachinski" (1895)

Ok, non si vede moltissimo la lavagna, quindi vi riporto il calcolo mentale che il prof. aveva posto ai suoi studenti:

(10^2 +11^2 +12^2 +13^2 +14^2)/365

Vi dico che il risultato è 2, e sta a voi scoprire quale proprietà di questi numeri possa essere stata utilizzata per risolvere il calcolaccio a mente.

E poi, se volessimo generalizzare... sarà questa l'unica successione di 5 termini consecutivi che godono della stessa proprietà?

Un particolare ringraziamento a Simona (Mathmum) per aver inviato questo interessante messaggio al Forum!


Risposte & riflessioni

Questo problema ha suscitato una lunga discussione con tanti messaggi davvero interessanti.

Qui riporto soltanto due soluzioni: quella di Enrico Delfini che spiega come risolvere il problema in modo puramente mentale e quella un più dettagliata di Simona.

Enrico Delfini.

Io faccio i conti così.

Approssimativamente il numeratore è la somma di 5 addendi abbastanza simili.

100 + 121 + 144 + 169 + 196

In prima approsimazione è come moltiplicare l'addendo centrale per 5.

Per fare prima, divido per 2 e moltiplico per 10:

144 x 5 = 144 : 2 x 10 = 720

Adesso devo arrotondare per via del fatto che i 5 addendi non sono uguali:

I due membri delle due coppie di addendi differiscono di +2 e +8, infatti:

25-23 = 2

52-44 = 8

per cui il bilancio dell'arrotondamento è di +10.

720 + 10 = 730, che è il doppio di 365.

Sono tutti conti che si possono davvero fare senza carta e penna

Simona

Se date un'occhiata al quadro, gli studenti (per quanto russi e quindi per definizione ben-educati alla matematica) sembrano "alquanto giovincelli" e quindi probabilmente "poco avvezzi" al calcolo polinomiale (oh, ma come parlo stamattina? sono invecchiata di colpo di 100 anni! )

Come dicevo, l'intento del prof. era insegnare ai suoi studenti come sfruttare le proprietà di certi numeri, in modo da semplificare il calcolo a mente.

Nel nostro caso, i numeri 10, 11, 12, 13 e 14 hanno la caratteristica che

102 + 112 + 122 = 132 + 142

Se scomponiamo adeguatamente il denominatore 365 = 100+121+144 ci accorgiamo in un attimo che il calcolo proposto ha come risultato 2.

La generalizzazione della proprietà utilizzata ci pone il problema: è questa l'unica successione di 5 interi consecutivi, tale che la somma dei quadrati dei primi 3 è uguale alla somma dei quadrati degli ultimi 2?

E qui naturalmente ci basta risolvere un'equazione, come ad esempio:

(x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2

per avere come soluzione, oltre alla quintupla di cui sopra, anche la quintupla -2, -1, 0, 1, 2.

Queste due quintuple sono anche dette sequenze di Rachinsky.

Data creazione: luglio 2008

Ultimo aggiornamento: luglio 2008

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