[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Ricreazioni di Gennaio 2001 - Febbraio 2001

20. Il gioco dei 16 bastoncini
inviato da Eugenio N.
Vi propongo il mio dilemma (il gioco è famosissimo, ma non so come si chiami...).

1. Si forma una piramide di 4 righe contenenti i primi 4 numeri primi, in questo modo:

|
| | |
| | | | |
| | | | | | |

2. Ogni giocatore toglie a turno dei bastoncini in senso orizzontale (ma non in senso verticale o obliquo), da una sola fila alla volta, ad esempio:

|
| | |
| + + + +
| | | | | | |

(quattro dalla penultima fila)

3. Perde chi toglie l'ultimo bastonicino.

Ebbene: esiste il modo per vincere sempre (a patto che l'altro giocatore non conosca il trucco a sua volta, nel qual caso perde chi fa la prima mossa), ma non sono riuscito a capire qual sia.

Avete qualche suggerimento da darmi?

>>> Risposte & riflessioni

Andrea B.
Ha ragione Eugenio, esiste efettivamente un modo per vincere sempre al gioco dei bastoncini e consiste nel lasciare l'avversario in una delle tre situazioni sotto disegnate.
Ricordo che da una stessa fila si possono togliere i bastoncini che si vogliono. Il "trucco" funziona solo se l'avversario non lo conosce!!!
Si vince se si lascia l'altro così:
a)
I
I I
I I I
 
b)
I I I
I I I

c)
I I
I I

Cioè, nel caso l'impaginazione scombinasse tutto:
a) considerando tre file bisogna lasciare 1 bastoncino nella prima, 2 nella seconda e 3 nella terza
b)considerando due file lasciare 3 bastoncini sia in una che nell'altra
c)considerando due file lasciare 2 bastoncini sia nell'una che nell'altra

Naturalmente le possibili varianti per vincere sono tre ed occorre scegliere di volta in volta quale applicare a seconda delle mosse di chi gioca contro di noi.

N.d.R.
Questa soluzione promette bene, ma mi sembra ancora incompleta
Perciò chiedo all'autore di precisarla meglio ed in particolare:
1) date le tre situazioni date per vincenti, come si procede per
vincere effettivamente?
2) e questo è più importante: come si deve condurre il gioco per portare
l'avversario in una di quelle tre situazioni?

Francesco V.
Questo gioco è molto famoso ed è conosciuto col nome di NIM, forse da una parola arcaica inglese che significa portar via, tuttavia nella versione originale chi prende l'ultimo fiammifero vince.
Il gioco può iniziare da qualunque combinazione casuale di fiammiferi, su qualunque numero di righe, e per la quasi totalità delle partite, il primo giocatore può vincere, indipendentemente dalle mosse dell'avversario.
Per prima cosa introduco il concetto di somma nim: il primo passo per l'analisi del gioco consiste nello riscrivere il numero di fiammiferi per ogni riga in base 2; quindi questi devono essere sommati decimalmente.
Esempio:
1+
1 1+
1 0 1+
1 1 1=
2 2 4
Dal momento che tutte la cifre del totale sono pari, questa è una delle poche combinazioni per le quali il primo giocatore non ha una strategia vincente, infatti se l'avversario conosce il "trucco", è lui ad avere la certezza della vittoria.
Nella versione tradizionale, la strategia è semplice: quando il giocatore si trova davanti una combinazione in cui anche una delle cifre della somma nim sia dispari, deve fare in modo che queste diventino tutte pari.
Esempio:
Ipotizziamo che la situazione di partenza sia 3 4 5
La somma nim è
1 1+
1 0 0+
1 0 1=
2 1 2
Per rendere tutte le cifre pari il primo giocatore deve trasformare l'uno centrale in 0, togliendo 2 fiammiferi dalla prima fila, in questo modo il secondo giocatore si troverà una combinazione in cui, qualunque mossa farà, lascerà sempre almeno una cifra dispari.
Il gioco va avanti sino all'esaurimento dei fiammiferi, e l'ultimo di essi sarà preso senza dubbio dal primo giocatore.
Naturalmente se la combinazione iniziale ha una somma nim pari, i ruoli si invertono, quindi vincerà il secondo giocatore(sempre che conosca la strategia).

Il passaggio da questa versione a quella proposta, è semplicissimo: basta giocare come nella versione tradizionale sino a quando non si presenta una combinazione in cui vi sia una fila sola con più di 1 fiammifero, e tutte le altre con 1 o 0 fiammiferi.
È chiaro che la somma nim di questa combinazione avrà cifre dispari, quindi quando si verificherà, toccherà al primo giocatore, questi deve togliere tutti i fiammiferi, o tutti tranne uno, dall'unica fila più grande, in modo da lasciare un numero dispari di file da 1 fiammifero.
Esempio:
Se la combinazione è 1 1 3 1
si dovranno togliere tutti e tre i fiammiferi;
se invece è 1 1 1 8 1
si dovranno togliere 7 fiammiferi.

Un'altra variante del gioco consente di togliere fiammiferi da un numero qualsiasi di righe, purché non superiore ad un numero fissato k, anche in questo caso la strategia funziona, basta fare in modo che la somma nim dia cifre esattamente divisibili per k+1.

A chi fosse interessato consiglio il libro "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner, ed. Bur.
:-)

19. I cinque cappelli
inviato da Fabio Arceri
In un regno viveva un re burlone e sadico. Egli aveva tre prigionieri e aveva dato ordine al comandante del suo esercito di ucciderli tutti e tre.
Uno dei tre, quando ebbe sentito la triste sentenza, si fece avanti dicendo al sovrano:
<< Sire, io conosco la vostra natura giocherellona e sadica, dunque vi propongo un gioco. Guardate le vostre guardie e i cappelli posti sui loro capi: sono tre cappelli rossi. Ora guardate quelli dei suoi due consiglieri: sono due cappelli verdi. Io vi propongo di darci la possibilità di salvarci in questa maniera: prendete tre cappelli a caso e poneteli sopra i nostri tre capi. Se io, ad occhi bendati, solo sentendo ciò che dicono i miei compagni, riesco ad indovinare il mio cappello, voi ci libererete. Diversamente ci ucciederete dopo esservi divertito a torturare le nostre mogli davanti a noi e almeno avrete soddisfatto il vostro senso della burloneria e sadicità. >>  
Il re, che era proprio un gran giocherellone e un vero e proprio pazzo, accettò subito l'invito da parte di quel misterioso prigioniero, quasi sicuro della poca probabilità di indovinare, e vennero posti di quei cinque cappelli (tre rossi e due verdi) tre in testa ai tre prigionieri.
Il terzo prigioniero fu, come pattuito antecedentemente, bendato.

Quando venne chiesto al primo prigioniero di parlare, disse:
<< Non posso dire con certezza il colore del mio cappello. >>

Quando venne chiesto al secondo prigioniero di parlare, disse:
<< Neanche io posso dire con certezza il colore del mio cappello.>>

Quando venne chiesto al prigioniero bendato di parlare, disse:
<< Posso affermare con certezza che il colore del mio cappello è rosso.>>

Il re spalancò gli occhi e, come pattuito, mantenne la promessa e liberò i tre prigionieri.

Più avanti si venne a sapere che quel prigioniero era un grande matematico che viveva nel regno e che sarebbe stato sicuro di indovinare il colore del suo cappello in OGNI caso.

Qualcuno sa spiegare il perché?

>>> Risposte & riflessioni
-1- Ricordiamoci che...

-2- Il primo prigioniero non sa dire il colore del suo cappello perché evidentemente non vede, in testa agli altri due, due cappelli verdi. Infatti se lui vedesse due cappelli verdi sarebbe sicuro che il suo è rosso e gli altri due indovinerebbero il  proprio colore (che è verde per tutti e due). Quindi in questo primo caso il terzo indovinerebbe il colore del proprio
  cappello e vincerebbe la scommessa, ma non è finita qui.

-3- Dato che nella storia raccontata il primo uomo non sa dire il colore del proprio cappello, le combinazioni possibili che restano dei cappelli sono quelle identificate dalla parola "restante":

-4- NOTE
V =  'Verde' ;
R = 'Rosso' ;
? =  'Configurazione ininfluente (V o R)'.

combin uomo1 uomo2  uomo3  
1 ? V V eliminata
2 ? V R restante
3 ? R R restante
4 ? R V restante

-5- Quando tocca al secondo uomo, quest'ultimo , che ha tenuto anch'egli a mente le combinazioni (assumendo che sia sufficientemente intelligente :-)), sa che l'unica combinazione restante in cui lui è sicuro di indovinare il colore del cappello è la numero 4.
Questo è semplice da intuire se si legge attentamente lo schema sottostante.

combin uomo1 uomo2  uomo3  
1 ? V V eliminata
2 ? V R restante
3 ? R R restante
4 ? R V restante

-6- Le combinazioni segnate in rosso (la 2 e la 3) sono quelle di incertezza per il secondo uomo. Infatti, se il secondo uomo vedesse in testa al terzo il colore rosso (cosa che succede nel racconto),  saprebbe che le combinazioni da considerare sono due e precisamente: la 2, per la cui potrebbe avere il cappello rosso, e la 3, a causa della quale potrebbe avere il cappello rosso. Non potendo escludere nessuna delle due combinazioni (in quanto sono valide tutte e due), il secondo uomo non può dire con certezza il colore del proprio cappello E' questo il caso in cui il terzo uomo, sotto le stesse affermazioni fatte fin'ora (che sarebbero inutili da ripetere), capisce che il colore del suo cappello è rosso.

-7- C'è da dire, inoltre, che se l'uomo numero 2 avesse detto con certezza il colore del proprio cappello (e quindi sarebbe stato rosso), l'uomo numero 3 avrebbe affermato anche lui con certezza che il colore del proprio cappello sarebbe stato verde.

-8-  CONCLUSIONI
Per concludere ricapitoliamo. I casi possibili sono:

La struttura ad albero semplifica ulteriormente la comprensione del discorso. Qui é ancora più facile notare che i casi possibili che si possono verificare sono 3 E SOLAMENTE 3; ed in tutti e tre il TERZO ha la certezza del colore del proprio cappello.
Forse lo schema sovrastante, da solo, vale più di tutta l'analisi, ma noi siamo matematici e amiamo semplificarci la vita complicandola. D'altronde la matematica, disse una volta la mia docente di analisi, è l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse.
Ed io dico che possibile dare nome diverso (o descrizione diversa) alla stessa cosa, che è proprio quello che accade in questa pagina.

18. La casa vuota
inviato da Riccardo - DeathKnight
Un fisico un informatico e un matematico vedono 2 persone che entrano in una casa SUPPOSTA VUOTA e dopo un po' ne vedono uscire 4.
Il fisico dice: "Deve esserci stato un errore sperimentale."
L'informatico dice: "Probabilmente il programma ha eseguito un calcolo sbagliato."
E il matematico: "Mmmmh, se entrano altre 2 persone, la casa tornerà ad essere vuota..."

Una storiella umoristica simile a questa si trova già su BASE Cinque...
Però, se l'autore introducesse qualche variante: ambientazione, personaggi, battute,... potremmo ottenerne qualcosa di originale.

17. Collegare 9 punti con 3 segmenti
inviato da Giancarlo F.
Avendo tre file di punti come faccio a collegarli con tre segmenti senza mai staccare la penna dal foglio???

>>> Risposte & riflessioni
N.d.R.
Sulle prime ero stato tratto in inganno da questo esercizio. Credevo che si trattasse di uno dei top ten. Ma in realtà l'autore chiede di collegare i NOVE punti con TRE segmenti e non con QUATTRO!
Che si tratti di un esercizio di pensiero laterale?
Buon lavoro!

16. Il problema del polo nord (non solo quello che conoscono tutti)
Ricordate il problema del polo nord?
Ora abbiamo alcune osservazioni ed una nuova straordinaria soluzione, inviate da Enrico Marchetti.
Ecco il problema e la soluzione.
inviato da Enrico Marchetti

Variante 1°
Di che colore è l'orso?
Ngongo è molto preoccupato, perché si è perso in una landa sconosciuta. Percorre 1 km verso sud, poi 1 km verso est, poi 1 km verso nord. Alla fine si rende conto di trovarsi nel punto esatto da cui era partito.
Mentre sta riflettendo sulla singolare circostanza ode un rumore alle sue spalle. Si volta di scatto e vede un orso imponente, che prima non aveva notato.
Di che colore è l'orso?

Risposta (nota a tutti): bianco, perché siamo al polo nord.

Lo spazio [geometrico] delle soluzioni del problema e` molto piu` grande: il Polo Nord e` solo una singolarita` di questo spazio, mentre nei pressi del Polo Sud si hanno infinite soluzioni. E` quindi molto piu` probabile essere al Polo Sud che al Polo Nord. C`e` un solo problema: al Polo Sud non esistono orsi (ne` foche).

Variante 2°
Il problema del Polo Nord (ma non quello che conoscono tutti!)
Un uomo parte da un certo punto sulla superficie terrestre e percorre 10 km verso sud, poi percorre 10 km verso est, poi percorre 10 km verso nord. Alla fine si ritrova esattamente nel punto da cui era partito.
Ma il punto di partenza non è il Polo Nord. Dove si trova?

Una possibile risposta è: si trova a poco più di 10 km di distanza dal Polo Sud. Per la precisione, in un punto tale che dopo aver percorso 10 km verso sud si trova su un parallelo lungo 10 km.

La soluzione proposta descrive un luogo di infiniti punti giacente su un parallelo a circa 10 Km dal Polo Sud.
Se pero` ti sposti un po` piu` a sud troverai un'altro parallelo di soluzioni: partendo da questo ed andando a sud per 10 Km troverai un parallelo lungo 5 Km che percorso due volte verso est (o verso ovest... fa lo stesso) ti permette poi di andare 10Km a nord e ritonare al punto di partenza. Poi` ce n'e` un'altro lungo 3.33333333...Km, ed un'altro 2.5 e cosi` via. In pratica 10Km/N con N intero.
Si hanno diversi parallei di soluzione con il paralleo limite di 10Km partendo dal quale poi quando ti trovi a Polo Sud non sai dov'e' l'est ;-)

15. Il gioco delle 100 caselle
inviato da Gianvittorio Righi
Si abbia un quadrato di 10*10 = 100 caselle, all'interno del quale devono essere scritti tutti i numeri interi da 1 a 100. Ovviamente ciascun numero dovrà esser scritto una ed una sola volta.

Per scrivere i numeri si devono seguire le seguenti regole:

Scopo del gioco e' riempire il quadrato con tutti i numeri interi da 1 a 100.

Premetto che molte persone arrivano al massimo al numero 97-98 ma la soluzione esiste, anzi c'è piu' di una soluzione.

>>> Risposte & riflessioni
Ecco una possibile soluzione del problema delle cento caselle :

01 50 29 02 51 30 03 52 31 04
39 67 13 40 68 14 41 69 15 42
60 87 78 61 21 79 62 96 80 53
12 49 28 93 24 27 92 73 32 05
38 66 20 88 63 95 22 70 16 43
59 86 77 26 91 72 25 97 81 54
11 48 100 94 23 99 83 74 33 06
37 65 19 89 64 18 90 71 17 44
58 85 76 57 84 75 56 98 82 55
10 47 36 09 46 35 08 45 34 07

14. Teorema: 2 = 1
inviato da Gianvittorio Righi

Pongo per ipotesi:

x=y

quindi moltiplico entrambi i membri per x e ottengo :

x² = xy

tolgo da entrambi i membri y²

x²-y²= xy-y²

semplifico e diventa:

(x+y)*(x-y) = y(x-y)

divido entrambi i membri per (x-y)

x+y =y

ma siccome, per ipotesi, x=y allora:

y+y=y

quindi 2y=y

e quindi 2=1

dove e' l'errore ?

>>> Risposte & riflessioni
Visto che x=y, semplificando in un passaggio l'equazione per (x-y) non ho fatto l'altro che dividere entrambi i membri per zero e quindi quella semplificazione non e' valida.

13. La scatola nera
inviato da Anna Clara Fanesi
C'è una scatola nera in mezzo ad una strada, le luci sono spente, i lampioni sono spenti.
Comunque la macchina a fari spenti, che sbuca a tutta velocità da una curva, riesce ad evitarla.
Perchè?!!!

>>> Risposte & riflessioni
Naturalmente è giorno!

12. Al cinema
inviato da Gianvittorio Righi
Una sala cinematografica con 200 posti viene completamente riempita.
Si sono incassate 190.600 lire. Sapendo che gli uomini pagano 1700 lire, le donne 1500, i bambini 300 lire, quanti sono gli uomini, le donne, i bambini all'interno del cinema?

>>> Risposte & riflessioni
75 donne, 29 uomini, 96 bambini.

Giorgio Tumelero segnala che questa non è l'unica soluzione valida.
Il problema e' simile a quello di ottenere 2 euro sommando 20 monetine di diverso valore (vedi la sezione I quattro 4). Con lo stesso sistema si arriva ad avere l'equazione in due incognite:

7u + 6d = 653

dove u=uomini e d=donne e b=bambini, con b=200-u-d

La soluzione di G. Righi e' d=75, u=29, b=96, è giusta, ma non e' l'unica. Ce ne sono altre 14! (in questo caso ! e' un punto esclamativo, non il segno di Fattoriale...).

A proposito delle equazioni diofantee vorrei aggiungere che di solito vengono risolte usando le frazioni continue, ma se un'incognita ha un coefficiente piccolo n, tale incognita puo' essere trovata in n tentativi al massimo.

Nel nostro caso poniamo:

d = (653 - 7u)/6

e provando u = 0, 1, ..., 5 troviamo una soluzione s, poi aggiungendo sempre 6 a s otteniamo tutte le altre, finche' b=200-u-d diventa negativo: a quel punto tutte le soluzioni in numeri interi sono state trovate.

11. Il mondo è meraviglioso
inviato da Emanuele Perez
Teorema: Il fatto che il mondo è meraviglioso implica che è impossibile dividere per zero.

Dimostrazione per assurdo: Se per assurdo fosse possibile dividere per zero allora esisterebbe il reciproco di zero cioè 1/0 (infatti ad esempio 5/0 si potrebbe scrivere come 5 per 1/0.
Moltiplicando questo ipotetico 1/0 per 0 otterremmo due risultati:

Si avrebbe allora :

da cui riesce 0 = 1.

Preso ora un qualsiasi numero n, si ottiene:
(moltiplicando ambo i membri della relazione 0 = 1)
n x 0 = n x 1, cioè 0 = n.

Ripetendo con un altro arbitrario numero m
riesce 0 = m.

In definitiva: n = m cioè tutti i numeri sarebbero uguali!

Siccome le misure sono espresse da numeri e le misure servono a descrivere le grandezze e dunque il mondo, si avrebbe come conseguenza che tutte le misure sarebbero uguali, tutti ugualmente ricchi, ugualmente alti, ugualmente obesi, tutte le distanze uguali, ecc. ecc.
Il mondo sarebbe assai noioso e tutt'altro che meraviglioso contro l'ipotesi che il mondo è meraviglioso!

>>> Risposte & riflessioni
Questo teorema non prevede risposte ma certamente stimola molte riflessioni.
Ciascuno faccia le sue!

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo