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- PRINCIPI DI FISICA QUANTISTICA
In questo capitolo:
- 1 - La buca di potenziale
- 2 - Effetto tunnel
Indice – Glossario
- Bibliografia - Elenco
dei simboli - ï
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Nella meccanica quantistica le particelle perdono la loro identità di elemento definito e vengono descritte solo come distribuzione di probabilità, secondo le soluzioni fornite dalla famosa equazione di Schroedinger
| HY = EY |
Il problema della buca di potenziale dalle pareti infinitamente alte, rappresenta uno dei problemi più semplici affrontati e risolti dalla meccanica quantistica.
Esso consiste nel determinare le funzioni d'onda di una particella in una buca definita con un potenziale nullo tra x = 0 e x = Lx, ed un potenziale infinito al di fuori di tale zona.
L'equazione di Schroedinger per tale sistema fornisce, per le particelle all'interno della buca, la seguente soluzione
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Si può vedere che il livello energetico più basso possibile non è zero, anche se il potenziale è nullo tra 0 e Lx. Notare anche come i livelli possibili siano distanziati l'uno dall'altro da un intervallo di energia crescente con n.
Fig. 11.1.1 - Livelli energetici all'interno di una buca di potenziale con le pareti infinitamente alte.
Ogni livello energetico, considerando solo lo spin di un elettrone che puè essere "up" o "down", può essere occupato da due particelle soltanto, secondo il principio di esclusione di Pauli. Le particelle con spin semintero "up"= + 1/2 e "down"= - 1/2, prendono anche il mome di "fermioni".
Considerando gli elettroni come onde di probabilità, secondo il dualismo onda-corpuscolo che sta alla base della meccanica quantistica, ad ogni livello energetico possiamo associare una lunghezza d'onda data da
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Saranno possibili, allora, solo quei livelli con una lunghezza d'onda che renda possibili le situazioni illustrate in figura :
Fig. 11.1.2 - I livelli energetici, all'interno di una buca di potenziale, corrispondono a lunghezze d'onda "compatibili" con la larghezza della buca, secondo quanto indicato in figura.
Tutte le altre lunghezze d'onda non sono possibili in quanto danno luogo ad interferenza distruttiva. Si ricorda che se si incontrano due onde in fase, esse si sommano dando luogo ad interferenza costruttiva, mentre se sono in opposizione di fase esse si annullano reciprocamente dando luogo ad interferenza distruttiva.
In una buca di potenziale in cui le pareti hanno una altezza finita, la situazione, almeno per i livelli energetici più bassi, è praticamente la stessa.
Fig. 11.1.3 - I livelli energetici in una buca di potenziale finita praticamente coincidono con quelli all'interno di una buca infinita, almeno per i livelli più bassi.
In una buca di potenziale dal profilo parabolico si potrebbe dimostrare che la spaziatura tra i livelli energetici è uniforme; si determinerà la seguente situazione:
Fig. 11.1.4 - In una buca di potenziale a profilo parabolico i livelli energetici risultano equidistanti.
Consideriamo due buche di potenziale vicine tra loro, divise da una parete più o meno spessa. Secondo la meccanica classica non c'è nessuna possibilità, per una particella, di passare da una buca di potenziale all'altra, a meno che non riesca a "scavalcare" la parete che le separa.
Secondo la meccanica quantistica, invece, c'è sempre una probabilità finita che questo avvenga, come se si scavasse un "tunnel" nella parete divisoria. Questo fenomeno è detto appunto "effetto tunnel" ed è comunemente verificato.
La probabilità dell'"effetto tunnel" è espressa da
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con
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E0 è l'altezza della parete e W il suo spessore, mentre E è l'energia della particella. Sinh indica il seno iperbolico della funzione b W, e h, al solito, la costante di Planck.
Se bW>>1 l'espressione di tale probabilità assume la forma:
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Da questa relazione si può vedere come aumentando E0 e W, cioè l'altezza e lo spessore della parete, la probabilità di "tunnelling" diminuisce.
Effetti tunnel considerevoli si hanno quando lo spessore della parete è dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda della particella, e quindi dei nanometri (nm).