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Traduzione dall'originale latino di Simona Bo
Note e riflessioni matematiche di Gianfranco Bo

Parte seconda - Proposizioni 11 - 20

XI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS SORORES ACCIPIENTIBUS.
Si duo homines ad invicem, alter alterius sororem in conjugium sumpserit; dic, rogo, qua propinquitate filii eorum sibi pertineant?
Solutio ejusdem.
Verbi gratia: Si ego accipiam sororem socii mei, et ille meam, et ex nobis procreentur filii; ego denique sum patruus filii sororis meae; et illa amita filii mei. Et ea propinquitate sibi invicem pertinent.

XI. PROPOSIZIONE SU DUE UOMINI SPOSATI L'UNO ALLA SORELLA DELL'ALTRO.
Se due uomini sposassero l'uno la sorella dell'altro, dimmi, quale sarebbe la reciproca relazione dei loro figli?
Soluzione.
Come ho detto: se io sposassi la sorella del mio amico, e lui sposasse la mia, e avessimo dei figli, io sarei lo zio paterno dei figli di mia sorella, e lei sarebbe la zia materna dei miei figli. La relazione dei due uomini nei confronti dei figli sarebbe la stessa.

XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS.
Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.
Solutio.
Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro.

PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA E I SUOI TRE FIGLI.
Un capofamiglia, morendo, lasciò in eredità ai suoi tre figli 30 ampolle di vetro, di cui 10 erano piene d'olio, 10 erano piene a metà e 10 erano vuote.
Divida, chi può, l'olio e le ampolle, cosicchè i tre figli ricevano quantità uguali sia di vetro sia di olio.
Soluzione.
Tre sono i figli e 30 le ampolle di vetro. Tuttavia, di queste ampolle, 10 sono piene d'olio, 10 piene a metà e 10 vuote. Considera il triplo di 10, che è 30: ogni figlio riceve 10 ampolle come parte di eredità. Dividi inoltre le tre parti di eredità in questo modo: Dà al primo figlio 10 ampolle piene a metà e al secondo figlio 5 piene e 5 vuote. Dà anche al terzo figlio 5 ampolle piene e 5 vuote ed ecco che le parti di eredità sono uguali sia nella quantità d'olio sia nel numero di ampolle.

Note.
Il problema sembra avere almeno 21 soluzioni
Grazie a Dino e Ivana Niccolai per la seguente analisi.

Le 10 ampolle piene e le 10 ampolle semipiene sono esattamente equivalenti a 30 ampolle semipiene.
Ogni figlio deve prendere 10 ampolle semipiene.
Si presentano sei casi possibili, che si equivalgono:
0 ampolle piene e 10 ampolle semipiene
1 ampolla piena e 8 ampolle semipiene
2 ampolle piene e 6 ampolle semipiene
3 ampolle piene e 4 ampolle semipiene
4 ampolle piene e 2 ampolle semipiene
5 ampolle piene e 0 ampolle semipiene

Poiché ogni figlio deve prendere 10 ampolle (piene, semipiene, oppure vuote) sono possibili cinque modalità di equa suddivisione del vino e delle ampolle:

Primo modo:
Uno dei tre figli prende: 1 ampolla piena, 8 ampolle semipiene e 1 ampolla vuota
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.

Secondo modo:
Uno dei tre figli prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.

Terzo modo
Uno dei tre figli prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote

Quarto modo
Uno dei tre figli prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote

Quinto modo
Uno dei tre figli prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 0 ampolle piene, 10 ampolle semipiene e 0 ampolle vuote.

Per ognuna delle prime due modalità descritte i tre figli possono dividersi le ampolle in 6 modi diversi
Per ognuna delle ultime tre modalità descritte i tre figli possono dividersi le ampolle in tre modi diversi.

XIII. PROPOSITIO DE REGE.
Quidam rex jussit famulo suo colligere de XXX villis exercitum, eo modo, ut ex unaquaque villa tot homines sumeret, quotquot illuc adduxisset. Ipse tamen ad villam primam solus venit; ad secundam cum altero; jam ad tertiam tres venerunt. Dicat, qui potest, quot homines fuissent collecti de XXX villis.
Solutio.
In prima igitur mansione duo fuerunt; in secunda IIII, in tertia VIII, in quarta XVI, in quinta XXXII, in sexta LXIIII, in septima CXXVIII, in octava CCLVI, in nona DXII, in decima ¬I XXIIII, in undecima ¬I¬I XLVIII, in duodecima ¬I¬I¬I¬I XCVI, in quarta decima ¬X¬V¬I CCCLXXXIIII. In quinta decima ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXVIII, etc.

XIII. PROPOSIZIONE SU UN RE.
Un re ordinò ad un suo servo di radunare un esercito da 30 villaggi nel modo che segue: avrebbe dovuto raccogliere tanti uomini da ogni villaggio quanti ne aveva condotto là. Tuttavia, il servo andò al primo villaggio da solo; al successivo si recò con un uomo e con 3 nel terzo. Dica, chi ne è in grado, quanti uomini radunò dai 30 villaggi.
Soluzione.
Alla prima tappa erano in 2; alla seconda ne raccolse 4; alla terza 8; alla quarta 16; alla quinta 32; alla sesta 64; alla settima 128; all'ottava 256; alla nona 512; alla decima 1024; all'undicesima 2048; alla dodicesima 4096; alla quattordicesima 16384; alla quindicesima 32768.

XIV. PROPOSITIO DE BOVE.
Bos qui tota die arat, quot vestigia faciat in ultima riga?
Solutio.
Nullum omnino vestigium facit bos in ultima riga, eo quod ipse praecedit aratrum, et hunc aratrum sequitur. Quotquot enim hic praecedendo in exculta terra vestigia figit, tot ille subsequens excolendo resolvit. Propterea illius nullum reperitur vestigium in ultima riga.

XIV. PROPOSIZIONE SU UN BUE.
Quante impronte lascia nell'ultimo solco un bue che ara tutto il giorno?
Soluzione.
Invero, il bue non lascia alcuna impronta sull'ultimo solco. Questo perchè il bue precede l'aratro e l'aratro lo segue. Infatti, quante impronte il bue lascia sulla terra arata camminando davanti, tante ne cancella l'aratro che segue dietro arando. Per quaesto motivo non appaiono impronte nell'ultimo solco.

XV. PROPOSITIO DE HOMINE.
Quaero a te, ut dicas mihi, quot rigas factas habeat homo in agro suo, quando de utroque capite campi tres versuras factas habuerit?
Solutio.
Ex uno capite campi III. Ex altero III, quae faciunt rigas versuras VI.

XV. PROPOSIZIONE SU UN UOMO.
Ti chiedo di dirmi, quanti solchi può aver fatto un uomo nel suo campo se ha fatto tre giri ad ogni capo del campo?
Soluzione.
Tre solchi da un capo del campo e tre dall'altro fanno sei solchi arati.

XVI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS BOVES DUCENTIBUS.
Duo homines ducebant boves per viam, e quibus unus alteri dixit: Da mihi boves duos; et habeo tot boves quot et tu habes. At ille ait: Da mihi et tu duos boves, et habeo duplum, quam tu habes. Dicat qui vult, quot boves fuerunt, quot unusquisque habuit.
Solutio.
Prior, qui dari sibi duos rogavit, boves habebat IIII. At vero, qui rogabatur, habebat VIII. Dedit quippe rogatus postulanti duos, et habuerunt uterque sex. Qui enim prius acceperat, reddidit duos danti priori, qui habebat sex, et habuit VIII, quod est duplum a quatuor, et illi remanserunt IIII, quod est simplum ab VIII.

XVI. PROPOSIZIONE SU DUE UOMINI CHE CONDUCEVANO ALCUNI BUOI.
Due uomini conducevano alcuni buoi lungo la strada quando uno disse all'altro: "Dammi due buoi ne avrò tanti quanti ne hai tu.". Allora l'altro disse: "Dammi due buoi e ne avrò il doppio di quanti ne hai tu". Dica, chi vuole, quanti buoi c'erano e quanti ne aveva ciascun uomo.
Soluzione.
Per prima cosa, l'uomo che chiese che gli fossero dati due buoi ne aveva 4. Infatti, l'uomo a cui li aveva chiesti ne aveva 8. Naturalmente, se gli avesse dato i due buoi che quello aveva richiesto, ne avrebbero avuti entrambi 6. Quello che chiese per primo, restituisce i 2 che prima gli aveva dato l'altro, che ne ha 6, e così orane ha 8, che è il doppio di 4, e 4, che è la metà di 8, rimangono all'altro.

XVII. PROPOSITIO DE TRIBUS FRATRIBUS SINGULAS HABENTIBUS SORORES.
Tres fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui) qui venientes ad fluvium non invenerunt, nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit?
Solutio.
Primo omnium ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororeque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio.

XVII. PROPOSIZIONE SU TRE UOMINI CHE AVEVANO TRE SORELLE NUBILI.
C'erano tre amici, ciascuno dei quali aveva una sorella nubile, che dovevano attraversare un fiume. Ogni uomo desiderava la sorella di uno degli altri. Giunti al fiume, non trovarono altro che una piccola barca che poteva trasportare non più di due persone alla volta.
Dica, chi può, in che modo attraversarono il fiume, affinchè nessuna donna fosse disonorata dagli uomini?
Soluzione.
Prima di tutto, io e mia sorella salimmo sulla barca e attraversammo il fiume. Lei scese e io ritornai alla riva di partenza.
Poi salirono le sorelle degli altri due uomini. Giunte alla riva opposta, scesero dalla barca e vi salì mia sorella riportandocela indietro.
Quindi salirono gli altri due uomini. Giunti sull'altra riva, uno dei due ritornò indietro assieme a sua sorella.
Poi io e l'uomo che aveva riportato la barca attraversammo nuovamente il fiume mentre mia sorella rimase sulla riva.
Giunti alla riva opposta, una donna prese la barca, attraversò il fiume e ritornò indietro portando mia sorella verso di noi.
Infine, l'uomo la cui sorella era rimasta sull'altra riva, attraversò il fiume e ritornò indietro con lei.
Così si concluse la traversata senza che nessuna donna fosse disonorata.

Note.
Indico con M1, M2, M3 gli uomini e con F1, F2, F3 le rispettive sorelle.
Alcuino presenta la soluzione in prima persona quindi M1 sono "io" mentre F1 è "mia sorella"
La seguente tabella illustra la soluzione data da Alcuino.

XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LUPO.
Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit?
Solutio.
Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde venirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram navi receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transveherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque voragine lacerationis.

PROPOSIZIONE SU UN UOMO, LA CAPRA ED IL LUPO.
Un uomo aveva bisogno di trasportare al di là di un fiume un lupo, una capra e un carico di cavoli. Però riuscì a trovare una barca che poteva trasportarne solo due alla volta. Perciò, che metodo usò perchè tutti potessero attraversare il fiume illesi?
Soluzione.
In modo simile, io trasporterò prima la capra e lascerò sulla riva opposta il lupo e cavoli. Al secondo giro porterò al di là del fiume il lupo, ma faccio risalire la capra e la porto indietro. Quindi, lascio la capra e porto dall'altro lato i cavoli. Remo nuovamente verso l'altra riva e porto la capra. Con questo metodo si riesce ad attraversare il fiume senza che i cavoli o la capra vengano danneggiati.

XIX. PROPOSITIO DE VIRO ET MULIERE PONDERANTIBUS [PLAUSTRI PONDUS ONUSTI].
De viro et muliere, quorum uterque pondus habebat plaustri onusti, duos habentes infantes inter utrosque plaustrali pondere pensantes fluvium transire debuerunt. Navem invenerunt, quae non poterat ferre plus, nisi unum pondus plaustri. Transfretari faciat, qui se putat posse, ne navis mergatur.
Solutio.
Eodem quoque ordine, ut superius. Prius intrassent duo infantes et transissent: unusque ex illis reduceret navem. Tunc mater navem ingressa transisset. Deinde filius ejus reduceret navem. Qua transvecta frater illius navim ingressus ambo ultra transissent, rursusque unus ex illis ad patrem reduceret navem. Qua reducta, filio foris stante, pater transiret: rursusque filius, qui ante transierat, ingressus navim eamque ad fratrem reduceret: jamque reductam ingrediantur ambo et transeant. Tali subremigante ingenio erit expleta navigatio forsitan sine naufragio.

XIX. PROPOSIZIONE SU UN UOMO E SUA MOGLIE, CHE PESANO OGNUNO QUANTO UN CARRETTO VUOTO.
Un uomo e sua moglie, ciascuno del peso di un carretto vuoto, hanno due figli, ciascuno del peso di un piccolo carretto, e devono attraversare un fiume. Però, la barca che trovano sopporta il peso di un carretto. Escogiti, chi è in grado, un metodo per cui la famiglia riesca ad attravesare il fiume senza che la barca affondi.
Soluzione.
Allo stesso modo, per prima cosa i due bambini salgono sulla barca, attraversano il fiume e uno dei due riporta indierto la barca. Quindi la madre passa sull'altra riva e suo figlio ritorna indietro. I due fratellini attravesano il fiume, e uno dei due riporta la barca al padre, che così può passare dall'altra parte. Quindi il bambino sulla riva opposta va a prendere il fratello ed insieme attraversano il fiume. Con questo intelligente metodo, il guado avviene senza che la barca affondi.

XX. PROPOSITIO DE HIRTITIIS [HIRICIIS].
De hirtitiis masculo et femina habentibus duos natos libram ponderantibus, flumen transire volentibus.
Solutio.
Similiter, ut superius, transissent prius duo infantes, et unus ex illis navem reduceret; in quam pater ingressus ultra transisset; et ille infans, qui prius cum fratre transierat, navim ad ripam reduceret, in quam frater illius rursus ingressus ambo ultra venissent; unusque propterea ex illis foras egressus; et alter ad matrem reduceret navim: in quam mater ingressa ultra venisset: qua egrediente foras, filius ejus, qui ante cum patre transierat, navim rursus ingressus eam ad fratrem ultra reduceret; in quam ambo ingressi ultra venissent, et fieret expleta transvectio nullo formidante naufragio.

XX. PROPOSIZIONE SUGLI HIRTITIIS.
Un h maschio e uno femmina che hanno due figli che pesano una libbra vogliono attraversare un fiume.
Soluzione.
Di nuovo, come sopra, prima attraversano i due figli e uno di essi porta indietro la barca, cosicchè possa attraversare il padre. Quindi il bambino che aveva guadato in pracedenza, porta la barca a suo fratello, e attraversano insieme il fiume. Uno di loro porta indietro la barca alla madre, che raggiunge l'altra riva. Allora il figlio porta la barca al fratello rimasto indietro ed insieme attraversano il fiume. In questo modo la famiglia riesce a guadare il fiume senza che si verifichino incidenti.

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