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18 aprile 2025
Questa è carina.
Divisione per 10.
2 : 10 = 0,2
3 : 10 = 0,3
4 : 10 = 0,4
√5 : 10 = 0,√5
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E questa è memorabile.
Quanti cubi ci sono sul carrello?
Tratta da vari "social", fonte originale incerta.
Aggiornata la pagina Umorismo matematico.
15 aprile 2025
Mi ha commosso il modo in cui Christopher Danielson definisce il suo libro di 36 pagine intitolato Which one doesn’t belong? Playing with Shapes.
This book is different from many other books about shapes.
Every page asks the same question and every answer can be correct.
Questo libro è diverso da molti altri libri sulle forme. Ogni pagina pone la stessa domanda e ogni risposta può essere giusta.
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Ecco un esempio. Non è copiato dal libro, ma serve a dare l'idea.
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Quale forma non c'entra con le altre e perché?
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12 aprile 2025
Ultimamente mia nipote mi ha chiesto di aiutarla a risolvere problemi di una strana geometria non-euclidea che le vengono assegnati dalla sua maestra di 3° elementare.
Ecco un esempio:
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"Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura cm 20 e la base che misura la metà. La sua altezza misura cm 8.
Quanto misurano il suo perimetro e la sua area?"
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E c'è pure la figura, che è questa:
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Perplexity segnala due tipi di errori: incoerenza nei dati, e mancata specificazione di quale altezza si tratta.
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Ecco, vorrei scrivere un programmino per computer che trovi tutti i triangoli con lati di lunghezze intere comprese tra 1 e 50, che abbiano almeno un'altezza intera.
Poi potrei pubblicare l'elenco. Magari potrebbe essere utile utile a qualcuno.
8 aprile 2025
Considera il quadrilatero ABCD i cui angoli interni misurano 30°, 60°, 90°, 180° in qualunque ordine.
Dimostra che è un triangolo.
In realtà è un triangolo normalissimo, disegnato però da un matematico.
Tratto dal gruppo Memes for mathematicians, su FB.
Aggiornata la pagina Umorismo matematico.
4 aprile 2025
Tre esagoni
Prendi tre esagoni e li sovrapponi come mostrato qui sotto.
Quanti esagoni ci sono nella figura ottenuta?
L'ho sbagliato!
Perché?
Abitudine, superficialità, fretta: tre cattive abitudini della Matematica.
Merita di essere nel Test di Bertoldino.
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La soluzione è 12.
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Tratto da UK Junior Mathematical Challenge, 2013.
1 aprile 2025
30 marzo 2025
Kite, dart, mandorla, poligono ortogonale,...
Sono figure geometriche
interessanti ma poco considerate nella scuola di base. Alcune di queste, nei
libri di testo, non hanno neppure un nome e le loro definizioni sono
traballanti.
Provate a chiedere "Classificazione delle figure geometriche piane" a un motore di ricerca oppure all'AI e come risposta otterrete un modesto riassunto di ciò che Fibonacci scriveva nella Practica Geometriae, 800 anni fa.
Ecco un problemino su un poligono ortogonale.
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Tutti i lati consecutivi del poligono qui sotto si incontrano
perpendicolarmente fra loro.
I numeri indicano le lunghezze dei lati in
centimetri.
28 marzo 2025
L'abitudine, intesa come ripetizione di uno stesso schema con perdita progressiva di consapevolezza, è un ostacolo tremendo al progresso personale, anche in Matematica.
Per esempio, gli alunni di "prima media", 11 anni, hanno gli strumenti tecnici per risolvere problemi come quello qui sotto.
Ma ci riescono facilmente?
Confesso che alla prima lettura non mi è sembrato facile. Mi è sembrata un'equazione diofantea esponenziale tremenda.... C'è stato bisogno di una micro-illuminazione.
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Equazione esponenziale.
Le incognite x, y, z, rappresentano numeri interi.
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Se 2x ∙ 5y ∙ 7z = 1400 quanto vale 2x + 5y + 7z?
Per risolverlo facilmente, basta pensare alla scomposizione in fattori primi sotto un punto di vista diverso da quello a cui forse siamo abituati.
Beh, la risposta è 23.
24 marzo 2025
Un esercizio dedicato al tema dell'esplorazione in matematica.
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Due circonferenze di raggio 1 passano ciascuna per il centro dell’altra.
Potete fare delle costruzioni semplicissime che partano da punti già presenti nella figura e che permettano di trovare alti punti.
21 marzo 2025
Breve cenno...
Negli ultimi anni, molti esperti di matematica e del suo insegnamento
hanno mostrato come questa disciplina possa contribuire alla
fioritura personale umana se si fanno vivere i suoi legami profondi
con valori come l'esplorazione, l'equità, l'umorismo, il gioco, la
collaborazione, l'immaginazione, la libertà, la coerenza, la fatica, la
permanenza, la verità, la bellezza e l'amore.
Se inserirete tutti questi
valori nel vostro insegnamento, le persone fioriranno. Il loro atteggiamento
nei confronti della matematica migliorerà sicuramente.
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Avrete
certamente notato il riferimento alle idee di Francis Su, ma anche Gabriele
Lolli, Lorella Carimali, David Bessis, Claudio Marini, Daniele Gouthier,
Chiara Valerio, ... e molti altri hanno contribuito a questa impostazione.
Ho aggiornato il mio schema classico.
18 marzo 2025
Pubblicato il testo delle "Nuove indicazioni per la scuola dell’infanzia e primo ciclo di istruzione 2025" - Materiali per il dibattito pubblico
Martedì 11 marzo 2025
Nel pieno e sincero rispetto per il
lavoro delle Commissioni, desidero citare 7 frasi tratte dalla premessa
intitolata:
Perché si studia matematica.
Ogni frase è
accompagnata da un mio umile e bonario pensierino.
14 marzo 2025
Nel giorno di Pi, nell'anno dei quanti.
Ecco alcuni cerchi ottimi creati per gli appassionati di Minecraft, un mondo fatto di blocchi.
Sono creati con un algoritmo che dà risultati in accordo con la sequenza OEIS - A124623.
Le terne di numeri indicano diametro, perimetro, area in pixel dei cerchi ottimi pixellati.
I cerchi nel micromondo si comportano in modo poco circolare, ma se aumentiamo il diametro, allora le cose diventano più familiari.
C'è forse un'analogia con la meccanica quantistica?
101,284,8021
OEIS - A124623 - Number of unit squares having center within inscribed
circle of an n × n integer square.
1, 4, 9, 12, 21, 32, 37, 52, 69, 80,
97, 112, 137, 156, 177, 208, ...
8 marzo 2025
In alcune situazioni della vita, basterebbe un piccolo gesto per
risolvere questioni che appaiono completamente sbagliate o insormontabili.
Ma, a volte è difficile trovare quel gesto perché...
Ecco, appunto:
perché?
Vale anche in Matematica.
Provate a fare questo piccolo gioco matematico che contiene anche un po' di psicologia.
4 marzo 2025
Definizione. Diciamo che un numero intero è “ostinato” quando tutte le sue potenze con esponente intero positivo terminano con la stessa cifra.
Per esempio, 10 è un numero ostinato.
28 febbraio 2025
Alcuni pensieri, forse giusti, forse imprecisi, forse sbagliati. Ma mi convincono.
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Una somma vuota è una somma senza addendi.
La somma
vuota è uguale all'identità additiva, che è 0.
La somma vuota si può esprimere sotto forma di moltiplicazione per 0.
a ∙ 0 = 0 (indica una somma di zero addendi uguali ad a).
0 ∙ 0 = 0 (indica una somma di zero addendi uguali a 0).
Visto che la somma non ha addendi, il valore di a è del tutto indifferente.
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Un prodotto vuoto è un prodotto senza fattori.
Il prodotto vuoto è uguale all'identità moltiplicativa, che è 1.
Il prodotto vuoto si può esprimere sotto forma di potenza con esponente 0.
a0 = 1 (indica un prodotto di 0 fattori uguali ad a).
00 = 1 (indica un prodotto di 0 fattori uguali a 0).
Visto che il prodotto non ha fattori, il valore di a è del tutto indifferente.
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24 febbraio 2025
"Capire la Matematica è seguire un percorso segreto che ci riporta alla plasticità della nostra mente infantile. E' imparare a riattivarla e a prendere confidenza con essa. E' scegliere di farla vivere."
"Questa esperienza ha ben poco a che fare con tutto ciò che ci insegnano a scuola." David Bessis.
Se questo percorso vi attira, allora il libro di David Bessis è una buona guida.
David Bessis, Mathematica. Une aventure au coeur de
nous-mêmes, 2022, Seuil. (368 pagine).
David Bessis,
Mathematica. Un’avventura alla ricerca di noi stessi, 2023, Neri
Pozza. (288 pagine).
L'edizione italiana usa un carattere tipografico più piccolo di quella francese per risparmiare ben 80 pagine su 368 (circa il 22%). Risultato: lettura faticosissima, per me.
20 febbraio 2025
Il motivo è semplice: deriva direttamente dalla definizione di elevamento a potenza. Per dimostrarlo basta applicare tale definizione.
Ecco la definizione, tratta dall'ultima edizione del Formulario (1908).
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In notazione più attuale.
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Siano a, b numeri naturali. Allora:
a0 = 1 (caso base)
a(b+1) = (ab) ∙ a (passo induttivo)
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Poiché a è un qualunque numero naturale, sostituendo a = 0, si ha: 00 = 1
Inoltre, per induzione, ogni potenza di 0 con esponente n>0 vale 0.
0n = 0, con n>0
18 febbraio 2025
Definizione. Diciamo che numero intero è “quadratoso” quando la somma delle sue cifre è un quadrato perfetto.
Per esempio il numero 243 è quadratoso perché 2 + 4 + 3 = 9 = 3².
Domande.
1) Qual è il più piccolo numero quadratoso maggiore di 2025?
2) Qual è il più grande numero quadratoso senza cifre ripetute?
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Questo problema mi piace perché per rispondere alla domanda 2) in
modo semplicissimo, serve una piccola illuminazione matematica.
Nota. Il problema è tratto dalla Olimpiada Brasileira de Matematica, 2021, Livello 1, che corrisponde alla nostra Scuola Secondaria di 1° grado (scuola media).
15 febbraio 2025
Due quadrati uniti lungo un lato.
Quanto vale l'area verde?
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Questo problema è semplicissimo, ma richiede una piccola illuminazione che vi sorprenderà.
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Fonte del problema: Masahiro Matsuno su Facebook.
11 febbraio 2025
Il classico puzzle con gli stecchini 508 in origine era 5008.
L'ho
visto per la prima volta nel 2015 su Brilliant.org.
Negli anni successivi il 5008 si è trasformato in 508 che è più semplice ma altrettanto interessante.
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Problema. Muovi 2 stecchini per ottenere il numero più grande possibile
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In quegli anni era diffusa la prima generazione dell'autovettura Peugeot 5008 che successivamente ha avuto varie edizioni, fino ad oggi.
Nel 2018 c'è stata la seconda generazione di un altro modello, la Peugeot 508. E anche il puzzle ha avuto una seconda versione.
Insomma, questo puzzle ha un formato SUV e un formato berlina sport.
E' solo una coincidenza?
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Postato su BASE Cinque l'articolo:
Il problema 508.
Un esercizio di fantasia e libertà matematica.
8 febbraio 2025
Il libro di Gabriele Lolli dedicato alla creatività in matematica è molto
interessante e istruttivo ma altrettanto impegnativo.
Come molti altri
libri di Lolli, ti dice quello che non ti dicono a scuola, neanche
all'università, a meno che non segui un corso di Logica Matematica.
Però
ci sono anche aneddoti facili e illuminanti.
Eccone uno, rielaborato un
po'.
Dati due numeri distinti, a, b, tali che a<b,
è possibile
che
a : b = b : a ?
Che ne dite?
Nota: il simbolo ":" rappresenta la normale divisione o, se volete, il rapporto.
6 febbraio 2025
Ok, trovare quanti sono i numeri primi del tipo n2+1 è un problema difficile, però ce n'é uno più facile, per cominciare ad allenarsi:
Quanti sono i numeri primi del tipo n2-1?
4 febbraio 2025
I numeri del tipo n2+1, con n naturale, formano la sequenza:
2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, ...
Ecco una domanda molto difficile, ancora senza risposta:
Quanti sono i numeri primi del tipo n2+1?
La mia domanda, qui, è più semplice.
Usate il vostro linguaggio di programmazione preferito per trovare ed elencare i numeri primi p del tipo p = n2+1.
E se n2+1 non è primo, quanto è grande il suo fattore più grande? (così almeno sapete a che punto fermarvi facendo il test di primalità).
---
Nota. Sembra che l'abbia trovato Hector Pasten,
The largest prime factor of
n2+1 and
improvements on subexponential ABC. Inventiones mathematicae 236,
373–385 (2024)
1 febbraio 2025
Questa vignetta è vecchia di almeno 8 anni ma è istruttiva e sempre simpatica!
Tre programmatori entrano in un bar...
Si può interpretare in almeno 2 modi diversi:
---
0) le due dita
indicano il numero 3 che in binario si scrive 11 (leggi uno-uno);
1) le
due dita indicano il numero 2 che esprime un array di 3 birre perché gli
indici degli array cominciano da 0, birra(0), birra(1), birra(2).
---
Aggiornata la pagina Umorismo matematico.
30 gennaio 2025
Ancora sul cosiddetto PEMDAS.
Questo insieme di regole convenzionali è una delle poche occasioni che i ragazzi trovano a scuola per lavorare davvero con un linguaggio formale.
Ma a quanto pare c'è un po' di foschia su questo argomento.
---
Da che parte state: con il dottor Jekyll o con mister Hyde?
---
Ho proposto questa semplice espressione aritmetica sui "social" ottenendo la maggioranza delle risposte a favore di Mr Hyde.
Credevo che fosse un semplice esercizio sul PEMDAS e invece si è rivelata una specie di illusione ottica-culturale.
Da meditare.
Nel frattempo segnalo alcuni articoli sull'argomento. Si trovano in rete.
26 gennaio 2025
Non c'è un sistema di regole condiviso sulla precedenza delle operazioni per calcolare il valore di una espressione matematica.
Per esempio.
Python segue la convenzione comune.
Codice: print(7+4*5+3*2)
Output: 33
Svolgimento:
7+4*5+3*2
= 7+20+6
= 33
APL fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da destra a sinistra.
Codice: ⎕←7+4×5+3×2
Output: 51
Svolgimento:
7+4×5+3×2
= 7+4×5+6
= 7+4×11
= 7+44
= 51
Smalltalk fa i calcoli nell'ordine in cui sono scritti da sinistra a destra.
Codice: Transcript show: (7+4*5+3*2) printString.
Output: 116
Svolgimento:
= 7+4*5+3*2
= 11*5+3*2
= 55+3*2
= 58*2
= 116
23 gennaio 2025
Secondo alcuni storici, la precedenza della moltiplicazione sull'addizione potrebbe avere origini antiche derivanti da usi linguistici.
Non lo so ma faccio alcune prove con l'italiano.
---
- Quante uova vuoi?
- Dammene cinque più due dozzine.
La frase tradotta in espressione aritmetica è:
5+2×12
Si intende:
5+24 = 29 (precedenza alla moltiplicazione)
E non:
7×12 = 84
---
Quanto è di più: mezza dozzina di dozzine o sei dozzine di dozzine?
"mezza dozzina di dozzine"
Si intende:
12÷2×12 = 6×12 = 72
(÷ e ×, si eseguono nell'ordine da sinistra a destra)
"sei dozzine di dozzine"
Si intende:
6×122 = 6×144 = 864
(l'elevamento a potenza ha la precedenza sulla moltiplicazione)
E non:
722 = 5184
18 gennaio 2025
Simmetrie con tetramini asimmetrici.
In questo laboratorio di geometria useremo alcuni tetramini asimmetrici per cercare di costruire forme che abbiano uno o due assi di simmetria.
Gli obiettivi didattici principali sono:
13 gennaio 2025
Il 13 gennaio 2025 Gabriele Lolli ci ha lasciati. Per me
è stato un punto di riferimento nella Logica Matematica, un mito
irraggiungibile, una fonte di conoscenza.
Mi piace pensare che ora è nel
Paradiso dei matematici.
Ho imparato tantissime cose leggendo i suoi
libri, e tante altre erano al di sopra delle mie capacità. E' stato
correlatore della mia umile tesi di laurea.
Il suo ultimo libro che
sto leggendo è La creatività in matematica.
Collego questo suo libro, nella mia rete personale di conoscenze, all'opera di Jacques Hadamard, La psicologia dell'invenzione in campo matematico e a quella di Francis Su, La Matematica per il fiorire dell'essere umano, che contiene un capitolo dedicato alla Creatività come bisogno fondamentale della Matematica e dell'umanità.
8 gennaio 2025
L'addizione e moltiplicazione sono operazioni binarie che si esprimono generalmente così, in notazione infissa:
a+b = c, a∙b = c
Devono avere due argomenti, perciò
una scrittura del tipo:
3+2∙7
non ha senso.
Per avere senso deve essere scritta con le parentesi, così:
Se però vogliamo ridurre il numero di parentesi, possiamo stabilire convenzionalmente una regola di precedenza tra le operazioni.
La domanda è: considerate le espressioni più comuni usate in Matematica, a quale operazione conviene dare la precedenza per scrivere meno parentesi possibile?
Se per esempio consideriamo la scrittura dei polinomi in Algebra o le sommatorie in Analisi, conviene decisamente dare la precedenza alla moltiplicazione.
Esempio:
3 gennaio 2025
Una donna musicista di strada e una donna ricca parlano di musica.
La musicista di strada dice: - Se mi dici un qualunque nome di persona, io posso trovare una canzone che contiene quel nome.
La donna ricca risponde: - OK, se conosci una canzone con il nome di mio figlio, ti darò mille dollari. Si chiama Demarcus-Jabari.
La musicista di strada ci pensa un po' su, poi sorride e canta la canzone.
Subito dopo diventa mille dollari più ricca.
Quale canzone ha cantato?
---
Soluzione: "Tanti auguri a te" o, se volete, "Happy Birthday to You".
---
Cosa c'è di matematico in questa storia?
Non lo so, ma sento che qualcosa c'è.
Ditelo voi.
1 gennaio 2025
Cari amici, buon anno a tutti!
Vi auguro incontri, come quelli illustrati nella figura, che portino pace e bene nei vostri cuori per tutta la vita.
Riporto la descrizione data da Bruno che è l'autore del disegno.
Due essenze erbacee differenti (sia pure limitatamente, condividendo
lo stesso volume radicale) si incontrano.
Ogni incontro promette un
arricchimento e un nuovo passo evolutivo.
Vedere ciò e coglierlo, dipende
da noi.
Se questo 2025 ci portasse a dare più valore e spazio agli
incontri, continuerebbe a illuminare il nostro viaggio per molto tempo,
forse per tutto il resto della nostra vita
Il diario di BASE Cinque - 2024
Il diario di BASE Cinque - 2023
Il diario di BASE Cinque - 2022
Il diario di BASE Cinque - 2021
Il diario di BASE Cinque - 2020
Il diario di BASE Cinque - 2019
Il diario di BASE Cinque - 2018
Negli anni 2016 e 2017 BASE Cinque è stato in power-saving mode.
Il diario di BASE Cinque - 2015
Il diario di BASE Cinque - 2014
Il diario di BASE Cinque - 2013
Il diario di BASE Cinque - 2012
Il diario di BASE Cinque - 2011
Il diario di BASE Cinque - 2010
Il diario di BASE Cinque - 2009
Il diario di BASE Cinque - 2008
Il diario di BASE Cinque - 2007
Degli anni 2005 e 2006 non esiste il diario.
Ricreazioni ricevute 2000 - 2004
Il sito BASE Cinque è nato il 15 luglio 2000.
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BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa (2000-2025)
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo
Forum amministrato da Pietro Vitelli - Logo di B5 creato da Bruno Berselli
B5 è ospitato da Micso.net