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9 giugno 2026

[A26-35] L'errore di geometria più simpatico e diffuso: triangoli alieni

Ho chiesto a una AI gratuita:

Scrivi 5 problemi di geometria per la scuola di base. In ogni problema fornisci le misure dei tre lati di un triangolo e l'altezza relativa a uno di essi, specificando a quale. Chiedi infine di calcolare area e perimetro del triangolo.

L'AI ha risposto:

1. In un triangolo ABC i lati misurano 12 cm, 9 cm e 7 cm. L’altezza relativa alla base AB misura 6 cm.
Calcola l’area e il perimetro del triangolo.

2. Un triangolo ha lati lunghi 8 cm, 11 cm e 13 cm. L’altezza relativa al lato da 8 cm è lunga 7,5 cm.
Trova l’area e il perimetro del triangolo.

3. In un triangolo i lati misurano 15 cm, 14 cm e 10 cm. L’altezza relativa al lato da 10 cm è lunga 9 cm.
Determina l’area e il perimetro del triangolo.

...

E così via. TUTTI i problemi avevano dati incompatibili. Quei triangoli non esistono nella geometria euclidea!

L'Intelligenza Artificiale ha riprodotto un classico errore che si trova sia nei libri di testo per la scuola primaria, sia in alcuni esercizi "inventati" da insegnanti non matematici.

7 giugno 2026

[A26-34] Humor mathematicus 7

Se una donna partorisce a 30 anni, allora 60 anni prima sua figlia aveva il doppio dell’età della madre.
Qualunque cosa questo significhi.

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Dal blog di Tanya Khovanova, una battuta attribuita a Alexander Karabegov.

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

5 giugno 2026

[A26-33] Kseg (Archeologia informatica)

Esplorando un disco rigido di 25 anni fa, ho avuto la sorpresa di trovare KSEG, un programma di geometria dinamica leggero e open‑source, scritto in C++ e basato su Qt.

Ho appurato che funziona benissimo su Win10.

Il programma è stato scritto da Ilya Baran sulla base di un progetto di Oleg Osenkov, entrambi di origine russa.

In rete si trova ancora su GitHub e SourceForge.

2 giugno 2026

[A26-32] Leiden Declaration on AI and Mathematics (2026)

Il 2 giugno 2026 un gruppo di matematici ha pubblicato la Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics.

E' una presa di posizione su rigore, responsabilità e trasparenza nell’uso dell’IA in Matematica, sostenuta dall'International Mathematical Union (IMU).

Invito tutti a leggerla e a confrontarla, soprattutto negli aspetti di responsabilità sociale ed etica, con l'Uppsala Code (anni ’80) e l'UNESCO Open Science (2021).

Propongo di adottarne una versione semplificata per docenti che creano esercizi con l'AI, studenti che li risolvono con l'AI e docenti che li correggono con l'AI per scoprire se sono stati risolti con l'AI. Tutti nel paese dei balocchi.

20 maggio 2026

[A26-31] Elicoide botanica

Il frutto dell'erba medica orbicolare è un baccello di forma elicoidale.

Ma è proprio un'elicoide? O piuttosto un nastro elicoidale?

Erba medica orbicolare

Elicoide

Un modello matematico semplificato si può ottenere con la seguente funzione parametrica, codificata in wxMaxima.

 wxdraw3d(
 color=dark-green,
 axis_3d=false,xtics='none,ytics='none,ztics='none,
 xu_grid=75,yv_grid=35,
 surface_hide=true,
 parametric_surface(
  v·sin(u),
  v·cos(u),
  u/3,
  u,0,3*%pi,
  v,−1,1
 )
),
wxplot_size=[500,450];

Questo invece è il modello di un nastro elicoidale.

Nastro elicoidale

wxdraw3d(
 color=dark-green,
 axis_3d=false, xtics='none, ytics='none, ztics='none,
 xu_grid=200, yv_grid=2,
 surface_hide=true,
 parametric_surface(
  v*sin(u),
  v*cos(u),
  u/3,
  u, 0, 6*%pi, 
  v, 0.4, 1
  )
),
wxplot_size=[500,450];

14 maggio 2026

[A26-30] Turtle graphics #3 (articolo)

Ho scritto un articoletto su questo argomento.

Spirali vegetali e numeri di Fibonacci.

Esploriamo un semplice modello matematico della fillotassi piana.

Fillotassi, spirali e numeri di Fibonacci

8 maggio 2026

[A26-29] Matematica dei caleidocicli

I caleidocicli sono un gioco matematico semplice e affascinante. Anche un bambino può costruirli piegando un foglio di carta e divertirsi a farli ruotare tra le dita.
Nella figura vedete un modello formato da 6 tetraedri collegati tra loro.
Tre matematici giapponesi, Shizuo Kaji, Kenji Kajiwara e Shota Shigetomi, hanno dimostrato che esistono caleidocicli perfetti per ogni numero di tetraedri k>=6.
La loro dimostrazione è molto al di sopra delle mie capacità, ma è così bella che desidero condividerla con voi.
Riferimento: Shizuo Kaji, Kenji Kajiwara, Shota Shigetomi, An explicit construction of Kaleidocycles by elliptic theta functions, arXiv:2308.04977 (2023–2026).

Caleidocicli con 6 tetraedri

2 maggio 2026

[A26-28] Il sette magico

Stefano Lombroni mi ha inviato alcune scansioni del gioco "Il sette magico", un puzzle simile al Tangram, diffuso in Italia negli anni ’50 e attribuito ad A. Romero.

Qual è l’origine di questo gioco misterioso?

Chi era A. Romero?

È lui l’autore?

Questo mi ha ricordato con commozione una lettera di Ezio Sgrò del 2001 che si trova in questa pagina: ricevuto/ricmar01.htm (è la ricreazione n. 22).

Anche lui chiedeva informazioni sul Sette magico e ora finalmente abbiamo le risposte. Sono matematicamente e storicamente sorprendenti.

Ho in programma di scrivere un articoletto.

Sette Magico di A. Romero

28 aprile 2026

[A26-27] Humor Mathematicus 6

Dialogo sui numeri

Nipote: - Nonno, oggi a scuola abbiamo fatto matematica!

Nonno: - Cosa hai imparato?

Nipote: - Abbiamo fatto il numero 6. Ora conosco i numeri da 1 a 6, che bello!

Nonno: - Hai del compito?

Nipote: - Sì, gli esercizi 7 e 8 a pagina 199.

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

24 aprile 2026

[A26-26] Turtle graphics #3

Stavo cercando un modello matematico delle spirali nelle margherite e ho trovato che dipendono principalmente dall'angolo aureo, che misura circa 137,51°.

Nulla di nuovo: l'avevano già spiegato Aristid Lindenmayer e Przemyslaw Prusinkiewicz nel libro The Algorithmic Beauty of Plants, del 1990.

Ecco un programma minimalista in LibreLogo che genera la struttura.

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HIDETURTLE
PENSIZE 0
FILLCOLOR “GREEN”
REPEAT 300 [
 PENDOWN CIRCLE 4
 PENUP FORWARD 8*REPCOUNT**0.5
 LEFT 137.51
]

---

Il comando chiave è:

LEFT α

dove α = 137.51 è l'angolo di rotazione della turtle.

Basta cambiare l'angolo di pochissimo e la struttura cambia completamente.

Tre esempi qui sotto, con il punto iniziale rosso.

Da approfondire.

Fillotassi 1

Fillotassi 2

Fillotassi 3

20 aprile 2026

[A26-25] LibreLogo e Laszlo Nemeth

Laszlo Nemeth - creatore del LibreLogo

László Németh (1974, Ungheria) è lo sviluppatore di LibreLogo.

biologo di formazione;
linguista computazionale;
ha una profonda passione per l'integrazione tra matematica, natura e codice.

16 aprile 2026

[A26-24] Un gioco sui bias mentali

Il test di Beatrice

Un gioco in sei domande per scoprire come il nostro cervello prende scorciatoie automatiche senza che ce ne accorgiamo.

Ho ripreso e aggiornato un vecchio test del 2005. Chissà se funziona ancora oggi.

14 aprile 2026

[A26-23] Humor Mathematicus 5

Domanda difficile

Quando la prof vuole metterti in difficoltà.

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Domanda.

Cosa è un dodecaedro?

[ ] Vero.

[ ] Falso.

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Risposta: Falso. "Cosa" non è un dodecaedro.

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

10 aprile 2026

[A26-22] Minimalismo matematico

Il fisico polacco Andrzej Odrzywolek ha inventato una nuova operazione matematica binaria che, insieme alla costante 1, permette di costruire tutte le operazioni aritmetiche, trigonometriche, esponenziali etc.

L'operazione si chiama eml(x,y), Exp-minus-Log ed è così definita:

eml(x,y) = e^x − ln(y)

Costruire e^x è facile:

e^x = eml(x,1)

Costruire ln(y) è un po' più complicato:

ln(y) = eml(1,eml(eml(1,y),1))

Costruire l'addizione x + y è ancora più complicato, anche se parte da una considerazione semplice:

x + y = ln(e^x·e^y)

Da cui risulta evidente che bisogna definire la moltiplicazione prima dell'addizione.

8 aprile 2026

[A26-21] Una dimostrazione geometrica per induzione

Poligono dentro un triangolo

Dimostrare che qualunque poligono convesso che non sia un parallelogramma si può collocare in un triangolo i cui lati contengono tre lati del poligono dato.

Poligono in triangolo

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Tratto da Yaglom, Golovina, Induccion en la geometria, MIR.

5 aprile 2026

[A26-20] Edizioni MIR Publishers Moscow

MIR significa "pace" e "mondo",

Quando frequentavo Matematica, ciò che mi ha permesso di imparare nuove cose, oltre alle lezioni, sono state le discussioni con i compagni, gli assistenti, i professori. E i libri disponibili nella biblioteca della Facoltà.

Un ruolo fondamentale lo ebbe anche la libreria Italia-URRS, a Genova, dove negli anni '80 si potevano acquistare ottimi libri di matematica a prezzi bassissimi. Erano testi di matematici russi tradotti in varie lingue europee.

Oggi, molti di quei libri si possono reperire gratuitamente attraverso il blog:

MIR Books - Books from the soviet era (https://mirtitles.org/).

Ecco, per esempio, il libro che mi ha insegnato a usare l'induzione nelle dimostrazioni geometriche.

Isaak Moiseevic Yaglom (matematico russo).
Lidija Ivanovna Golovina (matematica russa).

Induzione nella Geometria

3 aprile 2026

[A26-19] Una conferenza di Terry Tao

Un video interessante per tutti su YouTube.

Terry Tao "How to think like a mathematician" presented by the UCLA Curtis Center.

Link: How to think like a mathematician – Terry Tao.

28 marzo 2026

[A26-18] Humor Mathematicus 4

A.I. versus StackExchange

Reazioni a uno stesso commento di matematica.

Gemini A.I.

Hai assolutamente ragione, e il tuo esempio della banana è perfetto per chiarire quella che sembra una contraddizione, ma che in realtà è la chiave per distinguere proprietà e categorie.

La tua risposta è sbagliata e rasenta l'idiozia.
Utente bloccato per 24 ore.

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Velocità media

Se morirai nello stesso ospedale in cui sei nato, la tua velocità media in tutta la tua vita sarà esattamente zero.

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Tra due estremi

Io sto tra 2 e 4 ma non sono 3.

Cosa sono?

Risposta: e

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

24 marzo 2026

[A26-17] Humor Mathematicus 3

Tutti matematici!

Tutti sono matematici.

Fin che non ne arriva uno vero.

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Cervello versus stomaco

A differenza del cervello, lo stomaco ti avverte quando è vuoto.

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Tre desideri

GENIO: - Hai 3 desideri.

DONALD: - Voglio avere sempre ragione.

GENIO: - OK, esaudito. Hai ancora 2 desideri.

DONALD: - No, ne ho 3.

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

20 marzo 2026

[A26-16] Padri e figli

Due padri hanno dato dei soldi ai loro figli.

Il primo padre ha dato 200 € e il secondo ha dato 100 €.

Tuttavia, la somma totale ricevuta dai figli è stata di soli 200 €.

Com'è possibile?

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Secondo Tanya Khovanova, questo problema non ha mai ricevuto risposte diverse da quella attesa.

Avete una risposta divergente o laterale per questo problema?

14 marzo 2026

[A26-15] Humor Mathematicus 2

PI e A.I.

In occasione del giorno del pi greco, vi propongo un piccolo meme.

Pi greco e AI

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Qual è la frazione con il denominatore di 4 cifre che approssima meglio pi greco?

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L'ho posta a tre sistemi di AI e ho ottenuto da tutti la seguente risposta che appare un po' autocontraddittoria:

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La frazione con denominatore di quattro cifre che approssima meglio pi greco è 355/113.

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La situazione è migliorata riformulando la domanda in modo più preciso:
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Qual è la frazione IRRIDUCIBILE col denominatore di 4 cifre che approssima meglio pi greco?
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Da parte mia, la frazione che intendevo è: 31218/9937.

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

12 marzo 2026

[A26-14] La resistenza al cheating

Per insegnanti di matematica.

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Cheating = qualsiasi uso improprio di strumenti esterni (CAS, IA generativa, solver automatici) che permette allo studente di ottenere la risposta senza vivere il processo cognitivo adeguato.

Uso il termine in modo neutro, non moralistico: descrive un fenomeno didattico, non un giudizio etico.

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L'obiettivo di chi insegna Matematica è aiutare gli studenti a vivere consapevolmente i processi cognitivi tipici della disciplina.

Il cheating interrompe questo percorso.

Perciò occorre:

capire la natura della resistenza al cheating in un’epoca in cui l’IA può risolvere problemi da uno screenshot;
progettare problemi e situazioni didattiche che resistano all’uso improprio dell’IA;
progettare anche attività in cui l’uso corretto di IA, CAS e comunità online diventi invece un supporto alla comprensione.
la valutazione deve spostarsi dal prodotto (il risultato) al processo (come ci sei arrivato).

Il cheating espone anche gli insegnanti allo stesso rischio.

9 marzo 2026

[A26-13] Da quadrato a triangolo in 3 pezzi

Postato l'articolo: Da quadrato a triangolo in 3 pezzi.

Un puzzle basato su una famiglia di dissezioni del quadrato in tre pezzi con i quali si può costruire un triangolo equilatero... con un foro.

6 marzo 2026

[A26-12] Humor Mathematicus 1

Perché è un meme umoristico?

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11 è l'unico numero primo palindromo con un numero pari di cifre.

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Sembra una curiosità interessante, ma in realtà qualunque numero palindromo con un numero pari di cifre è divisibile per 11.

Ne discende banalmente che l’unico palindromo con un numero pari di cifre che è anche primo è proprio 11.

Oppure non è proprio banale?

Dimostralo!

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Aggiornata la pagina Umorismo matematico.

4 marzo 2026

[A26-11] Etudes Matematici (.ru)

Un sito russo di matematica molto interessante, a partire dal programma.

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Vi invitiamo a immergervi nel mondo dei bei problemi matematici.

La loro formulazione è chiara agli scolari, ma alcuni non sono ancora risolti dagli scienziati.

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In 4 lingue: russo, francese, inglese e italiano.

Il progetto è diretto da Nickolai Andreev, capo del Laboratorio di divulgazione e propaganda della matematica all'Istituto matematico Steklov dell'Accademia russa delle scienze.
https://it.etudes.ru/

1 marzo 2026

[A26-10] Donald Knuth: All Questions Answered

Donald Knuth

Il Grande, il Mitico Donald Knuth terrà al G4G16 una conferenza dal titolo: All Questions Answered, risposte a tutte le domande.

Un titolo fenomenale!

In questa sessione improvvisata, Donald Knuth risponderà direttamente alle domande del pubblico. Attingendo a decenni di esperienza in matematica, informatica e nella cultura del problem solving, farà del suo meglio per offrire risposte ponderate, illuminanti e piacevoli per tutti i presenti.

Avendo guidato molte discussioni aperte di questo tipo in passato, Knuth considera questo scambio gratificante sia per chi parla sia per chi ascolta: un’occasione per esplorare la curiosità in tempo reale al G4G16.

Matematica Jazz!

28 febbraio 2026

[A26-9] Da quadrato a triangolo in tre pezzi

Non esiste una dissezione in tre pezzi che permetta di trasformare un quadrato in un triangolo equilatero ma ce n’è (almeno?) una se si fa un buco triangolare al centro del triangolo equilatero.

Questa dissezione è un regalo portato da Ryuhei Uehara e Tomoko Uehara al G4G16 (Gift Exchange del Gathering for Gardner 2026).

Dissezione in 3 pezzi da quadrato a triangolo equilatero con buco

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Fonte: @robinhouston su mathstodon.

22 febbraio 2026

[A26-8] Hannah Cairo, alberi, fiori, segni matematici

Hanah Cairo

In questa foto vedo Hannah Cairo, una ragazza di 17 anni che si appoggia fiduciosamente a un albero, come a ricevere ispirazione.

* * * * * * * * * *

Hannah Cairo dimostrazione

In quest'altra foto vedo un albero e dei fiori disegnati su un foglio accanto a scritte colorate, segni matematici, figure geometriche.

Vedo un pensiero matematico che si sviluppa in tre momenti fondamentali:

osserva, chiediti, immagina.

E' una pagina del lavoro con cui Hanna Cairo ha mostrato che la congettura di Mizohata-Takeuchi è falsa.

A soli 17 anni, ha trovato un controesempio semplice ed elegante che ribalta intuizioni radicate nell’analisi armonica, sorprendendo una comunità che cercava da decenni di dimostrarla vera.

* * * * * * * * * *

Io non sono all'altezza di capire la congettura di Mizohata-Takeuchi ma non importa. Queste due immagini sono per me una grande lezione su come si fa e si comunica la Matematica.

18 febbraio 2026

[A26-7] Le verità scomode di Dijkstra

Edsger Wybe Dijkstra

Ho riletto l'articolo How do we tell truths that might hurt? di Edsger Wybe Dijkstra, pubblicato il 18 giugno 1975.

E' un elenco di verità scomode che la comunità informatica conosce bene ma non dice pubblicamente.

A quell'epoca, mi aveva dato molto fastidio la verità scomoda sul BASIC, ma lasciamo perdere.

Qui ne vorrei citare altre, su cui riflettere.

Programming is one of the most difficult branches of applied mathematics; the poorer mathematicians had better remain pure mathematicians.

La programmazione è uno dei rami più difficili della matematica applicata; i matematici meno dotati farebbero meglio a restare matematici puri.

Besides a mathematical inclination, an exceptionally good mastery of one's native tongue is the most vital asset of a competent programmer.

Oltre a una predisposizione matematica, una padronanza eccezionale della propria lingua madre è la risorsa più importante per un programmatore competente.

The use of anthropomorphic terminology when dealing with computing systems is a symptom of professional immaturity.

L’uso di terminologia antropomorfica quando si parla di sistemi di calcolo è un sintomo di immaturità professionale.

12 febbraio 2026

[A26-6] Alice lancia un dado...

Un problema interessante di Tanya Khovanova.

Alice lancia un dado...

Alice rolls a die until she gets 6.
Then Bob observes that she never rolled a 5.
Question. What is the expected number of times that Alice rolled the die?

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Alice lancia un dado finché non ottiene un 6.

Successivamente, Bob osserva che Alice non ha mai ottenuto un 5 durante tutti i lanci.

Domanda: Qual è il valore atteso del numero di lanci effettuati da Alice?

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Ci sono due informazioni oggettive, chiare e ben determinate.

Ma la soluzione dipende, in qualche modo, dalla psicologia di Bob.

Quindi questo problema ha più di una soluzione.

10 febbraio 2026

[A26-5] La Turtle di LibreOffice

LibreOffice include un delizioso ambiente di programmazione basato su Logo, integrato direttamente nel word processor Writer .

Offre i comandi principali della turtle graphics, permette la gestione delle liste, i cicli, le scelte condizionali, la definizione di procedure e la matematica di base.

Una caratteristica importante è che i disegni prodotti dalla tartaruga sono vettoriali. Si possono trasferire e modificare in LibreOffice Draw.

Per attivare LibreLogo in Writer basta seguire questo percorso: Visualizza - Barre degli strumenti - Logo.

LibreLogo

9 febbraio 2026

[A26-4] Biodiversità informatica

Le Nuove Indicazioni Nazionali ci hanno finalmente restituito la possibilità di insegnare la programmazione informatica nella scuola di base.

Non è una novità. Negli anni ’80 insegnavamo già ai nostri alunni a programmare con tecnologie molto più limitate di quelle attuali ma, credo, con maggiore entusiasmo e apertura culturale.

Avevamo iniziato con il BASIC, ed eravamo sempre alla ricerca di nuovi linguaggi e nuovi stili di programmazione.

Dopo il BASIC arrivò il LOGO, che ci fece scoprire il mondo del LISP. E dopo la programmazione funzionale ci avvicinammo con entusiasmo alla programmazione logica con il PROLOG.

La definirei 'biodiversità informatica'.

Vorrei che fosse così anche oggi.

8 febbraio 2026