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Traduzione dall'originale latino di Simona Bo
Note e riflessioni matematiche di Gianfranco Bo

Parte terza - Proposizioni 21 - 30

XXI. PROPOSITIO DE CAMPO ET OVIBUS IN EO LOCANDIS.
Est campus qui habet in longitudine pedes CC, et in latitudine pedes C. Volo ibidem mittere oves; sic tamen, ut unaquaeque ovis habeat in longo pedes V, et in lato pedes IV. Dicat, rogo, qui valet, quot oves ibidem locari possint?
Solutio.
Ipse campus habet in longitudine pedes CC. Et in latitudine pedes C. Duc bis quinqus de CC, fiunt XL. At deinde C divide per IIII. Quarta pars centenarii XXV. Sive ergo XL vicies quinquies; sive XXV quadragies ducti, millenarium implent numerum. Tot ergo ibidem oves collocari possunt.

XXI. PROPOSIZIONE SU UN CAMPO E LE PECORE DA PORVI.
C'è un campo che misura 200 piedi in lunghezza e 100 piedi in larghezza. Voglio porvi delle pecore in modo che ognuna abbia uno spazio di 5 piedi in lunghezza e di 4 piedi in larghezza. Dica, chiedo, chi è in grado, quante pecore si possono mettere nel campo?
Soluzione.
Il campo è lungo 200 piedi e largo 100. Dividi 200 per 5 e il risultato è 40. Quindi, dividi 100 per 4 e il risultato è 25. Quindi, 40 volte 25 o 25 volte 40, si ottiene il numero 1000. Dunque tante pecore si possono mettere in quel campo.

XXII. PROPOSITIO DE CAMPO FASTIGIOSO.
Est campus fastigiosus, qui habet in uno latere perticas C, et in altero latere perticas C, et in fronte perticas L, et in medio perticas LX, et in altera fronte perticas L. Dicat, qui potest, quot aripennas claudere debet?
Solutio.
Longitudo hujus campi C perticis, et utriusque frontis latitudo L, medietas vero LX includitur. Junge utriusque frontis numerum cum medietate, et fiunt CLX. Ex ipsis assume tertiam partem, id est, LIII, et multiplica centies, funt ¬VCCC. Divide in XII aequas partes, et inveniuntur CCCCXLI [Bed., CCCXLI]. Item eosdem divide in XII partes, et reperiuntur XXXVII. Tot sunt in hoc campo aripenni.

XXII. PROPOSIZIONE SU UN CAMPO INCLINATO.
C'è un campo che misura 100 perticae sui due lati opposti, 50 perticae su una base, 60 perticae nel mezzo e 50 perticae sull'altra base. Dica, chi è in grado, quanti aripenni racchiude il campo?
Soluzione.
Il campo misura 100 perticae in lunghezza, 50 perticae su ogni lato e 60 perticae nel mezzo. Aggiungi la lunghezza di ogni lato a quella del mezzo, ottenendo 160. Prendi la terza parte di 160, che è 53, e moltiplicala per 100, ottenendo 5300. Dividi 5300 in 12 parti, e ottieni 441. Allo stesso modo, dividi 441 in 12 parti uguali e ottieni 37. Tanti sono gli aripenni che il campo contiene.

XXIII. PROPOSITIO DE CAMPO QUADRANGULO.
Est campus quadrangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXXII, et in fronte perticas XXXIIII, et in altera perticas XXXII. Dicat, qui potest, quot aripenni in eo concludi debent?
Solutio.
Duae ejusdem campi longitudines faciunt LXII. Duc dimidiam LXII, fiunt XXXI. Ac duae ejusdem campi latitudines junctae fiunt LXVI. Duc vero mediam de LXVI, fiunt XXXIII. Duc vero terties [Bed. trecies] semel, fiunt ¬IXX. Divide per duodecimam partem bis sicut superius, hoc est, de mille viginti, duc per XII, fiunt LXXXV, rursusque LXXXV divide per XII, fiunt VII. Sunt ergo in hoc aripenni numero septem.

XXIII. PROPOSIZIONE SU UN CAMPO QUADRANGOLARE.
C'è un campo quadrangolare che misura su un lato 30 perticae, sull'altro 32 perticae, 34 perticae sulla base e 32 sul lato rimanente. Dica, chi può, quanti aripenni contiene il campo?
Soluzione.
Le due lunghezze di questo campo sono 62 perticae. La metà di 62 è 31. ma gli altri due lati del campo sommati asiieme danno 66. La metà di 66 è 33. Moltiplica 33 per 31, che fa 1020. Dividi 1020 due volte per 12, come sopra: la prima volta ottieni 85, che diviso per 12 fa 7. Dunque ci sono 7 aripenni in questo campo.

XXIV. PROPOSITIO DE CAMPO TRIANGULO.
Est campus triangulus qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXX, et in fronte perticas XVIII. Dicat, qui potest, quot aripennos concludere debet?
Solutio.
Junge duas longitundines istius campi, et fiunt LX. Duc mediam de LX, fiunt XXX, et quia in fronte perticas XVIII habet, duc mediam de XVIII, fiunt VIIII. Duc vero novies triginta, fiunt CCLXX. Fac exinde bis XII, id est, divide CCLXX, per duodecimam, fiunt XXII et semis; atque iterum XXII et semis per duodecimam divide partem..... fit aripennis unus et perticae X, et dimidia.

XXIV. PROPOSITIO DE CAMPO TRIANGULO.
C'è un campo triangolare che misura 30 perticae su un lato, 30 sull'altro e 18 perticae sulla base. Dica, chi può, quanti aripenni contiene questo campo?
Soluzione.
Somma le due lunghezze del campo ottenendo 60. Togli la metà di 60, che fa 30. poichè ci sono 18 perticae sulla base dividi a metà, e ottieni 9. Moltiplica 9 per 30, e ottieni 270. Quindi, dividi 270 per 12, che fa 22,5. Moltiplica 22,5 nuovamente per 12, ed ottieni 2 con il resto di 4, che equivale ad un terzo di 12. Allora, con questo calcolo si ottengono 2 aripenni e tre parti di un terzo di aripenni. Questo fa un aripenno e 10,5 perticae.

XXV. PROPOSITIO DE CAMPO ROTUNDO.
Est campus rotundus, qui habet in gyro perticas CCCC. Dic, quot aripennos capere debet?
Solutio.
Quarta quidem pars hujus campi, qui CCCC includitur perticis est C, hos si per semetipsos multiplicaveris, id est, si centies duxeris, X millia fiunt, hos in XII partes dividere debes; etenim de X millibus duodecima est DCCCXXXIII, quam cum item in XII partitus fueris, invenies LXVIIII. Tot enim aripennis hujusmodi campus includitur.

XXV. PROPOSIZIONE SU UN CAMPO ROTONDO.
C'è un campo rotondo, la cui circonferenza è di 400 perticae. Dì, quanti aripenni deve contenere?
Soluzione.
Un quarto di questo campo, la cui circonferenza è di 400 perticae, è 100. Se tu moltiplichi 100 per 100 ottieni 10000, che devi dividere in 12 parti. Invero, un dodicesimo di 10000 è 833, che quando viene diviso nuovamente per 12 diventa 69. Tanti aripenni contiene il campo.

XXVI. PROPOSITIO DE CURSU CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS.
Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt [Bed., confecerint].
Solutio.
Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

XXVI. PROPOSIZIONE SULLA CORSA DEL CANE E LA FUGA DELLA LEPRE.
C'è un campo lungo 150 piedi. Ad un'estremità c'era un cane, all'altra una lepre. Il cane correva dietro alla lepre inseguendola. Ma mentre il cane avanzava di 9 piedi ad ogni salto, la lepre ne avanzava soltanto di 7. Dica, chi lo vuole, quanti piedi percorsero e quanti salti fecero il cane inseguendo e la lepre fuggendo fino a quando la lepre fu catturata.
Soluzione.
La lunghezza del campo era di 150 piedi. La metà di 150 è 75. Il cane percorreva 9 piedi ad ogni salto e 9 moltiplicato per 75 fa 675. Il cane quindi percorse 675 piedi inseguendo la lepre finchè non la afferrò con i denti robusti. E invero, poichè la lepre percorreva 7 piedi ad ogni salto, calcola 75 volte 7. Tanti furono i piedi che la lepre percorse fuggendo prima di essere catturata.

Nota.
Il titolo è uno scherzo in cui Alcuino scambia alcune lettere dell'alfabeto con le loro successive.
Propositio de cursu CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS
Propositio de cursu CANIS. AC. FUGA. LEPORIS

La risposta, in sintesi, è: il cane e la lepre fecero 75 salti, il cane percorse 675 piedi mentre la lepre ne percorse 525.

Supponendo che il cane e la lepre inizino nello stesso istante e saltino con la stessa frequenza si osserva che il cane ad ogni salto si avvicina alla lepre di 9-7 = 2 piedi.
9 piedi/salto - 7 piedi/salto = 2 piedi/salto

Poiché la distanza iniziale è di 150 piedi, il cane raggiunge la lepre al termine del 75.mo salto.
150 piedi / 2 piedi/salto = 75 salti

Le distanze percorse sono:
cane: 75 salti x 9 piedi/salto = 675 piedi
lepre: 75 salti x 7 piedi/salto = 525 piedi

La distanza percorsa dalla lepre si può anche calcolare così:
675 piedi - 150 piedi = 525 piedi.

Ma siamo proprio sicuri che il cane e la lepre, al termine del 75.mo salto, si trovano nello stesso punto?
Certo, perché la distanza iniziale (150) è un multiplo della differenza fra le "velocità" (2).

Se non lo fosse, i due animali non potrebbero mai toccare terra contemporaneamente nello stesso punto.

Vediamolo con due semplici esempi.

Esempio 1.
Distanza iniziale, d = 16 piedi
Velocità cane, v1 = 13 piedi/balzo
Velocità lepre, v2 = 9 piedi/balzo

13 - 9 = 4, che è sottomultiplo di 16.

Esempio 2.
Distanza iniziale, d = 16 piedi
Velocità cane, v1 = 11 piedi/balzo
Velocità lepre, v2 = 6 piedi/balzo

11 - 6 = 5, che NON è sottomultiplo di 16.

Più in generale, indicando con numeri interi:
Distanza iniziale = d0
Velocità cane = v1
Velocità lepre = v2
Distanza fra i due animali al passo n = d(n)

si ha che:
d(n) = |v2*n + d0 - v1*n| = |(v2-v1)*n + d0|

In particolare d(n) si azzera per:
n = d0/(v1-v2)

Poiché le variabili sono tutte numeri interi, è evidente che n è intero se e solo se (v1-v2) è divisore di d0

XXVII. PROPOSITIO DE CIVITATE QUADRANGULA.
Est civitas quadrangula, quae habet in uno latere pedes mille centum; et in alio latere pedes mille; et in fronte pedes DC, et in altera pedes DC. Volo ibidem tecta domorum ponere, sic, ut habeat unaquaeque casa in longitudine pedes XL, et in latitudine pedes XXX. Dicat, qui velit, quot casas capere debet.
Solutio.
Si fuerint duae hujus civitatis longitudines junctae, facient ¬I¬IC. Similiter duae, si fuerint latitudines junctae, faciunt ¬ICC. Ergo duc mediam de ¬ICC, faciunt DC, rursusque duc mediam de ¬I¬IC, fiunt ¬IL. Et quia unaquaeque domus habet in longitudine pedes XL, et in lato XXX: deduc quadragesimam partem de mille L, fiunt XXVI. Atque iterum assume tricesimam de DC, fiunt XX. Vicies ergo XXVI ducti fiunt DXX. Tot domus capiendae sunt.

XVII. PROPOSIZIONE SU UNA CITTA' QUADRANGOLARE.
C'è una città quadrangolare che misura su un lato 1100 piedi; sull'altro lato 1000 piedi; su un fronte 600 piedi e sull'altro 600 piedi. Voglio costruirvi alcuna case in modo che ogni casa sia lunga 40 piedi e larga 30. Dica, chi vuole, quante case dovrebbe contenere la città?
Soluzione.
Se le due lunghezze della città fossero unite insieme, misurerebbero 2100 piedi. Similmente, se i due fronti fossero uniti, misurerebbero 1200 piedi. Dunque, considera la metà di 1200, cioè 600, e la metà di 2100, cioè 1050. Poichè ogni casa è lunga 40 piedi e larga 30, considera la quarantesima parte di 1050, cioè 26. quindi, considera la trentesima parte di 600, cioè 20. 20 volte 26 fa 520, che equivale al numero delle case che la città può contenere.

XXVIII. PROPOSITIO DE CIVITATE TRIANGULA.
Est civitas triangula, quae in uno habet latere pedes C, et in alio latere pedes C, et in fronte pedes XC, volo enim ibidem aedificia domorum construere, sic tamen, ut unaquaeque domus habeat in longitudine pedes XX, et in latitudine pedes X. Dicat, qui potest, quot domus capi debent?
Solutio.
Duo igitur hujus civitatis latera juncta fiunt CC, atque duc mediam de CC, fiunt C. Sed quia in fronte habet pedes XC, duc mediam de XC, fiunt XLV. Et quia longitudo uniuscujusque habet pedes XX, et latitudo ipsarum pedes X, duc XX partem in C, fiunt V. Et pars decima quadragenarii IV sunt. Duc itaque quinquies IIII, fiunt XX. Tot domos hujusmodi captura est civitas.

XXVIII. PROPOSIZIONE SU UNA CITTA' TRIANGOLARE.
C'è una città triangolare che su un lato misura 100 piedi, sull'altro lato 100 piedi e sulla base 90 piedi. Voglio costruirvi delle case, in modo che ogni casa sia lunga 20 piedi e larga 10. Dica, chi può, quante case può contenere la città?
Soluzione.
I due la ti della città uniti misurano 200 piedi; la metà di 200 è 100. Ma poichè la base misura 90 piedi, la metà di 90 è 45. E poichè la lunghezza di ogni casa è di 20 piedi, mentre la larghezza è di 10, dividi 100 per 20, ottenendo 5. La decima parte di 40 è 4, allora moltiplica 5 per 4, ottenendo 20. In questo modo la città può contenere 20 case.

XXVIIII. PROPOSITIO DE CIVITATE ROTUNDA.
Est civitas rotunda quae habet in circuitu pedum VIII millia. Dicat, qui potest, quot domos capere debet, ita ut unaquaeque habeat in longitudine pedes XXX, et in latitudine pedes XX?
Solutio.
In hujus civitatis ambitu VIII millia pedum numerantur, qui sesquialtera proportione dividuntur in ¬I¬I¬I¬IDCCC, et in ¬I¬I¬ICC. In illis autem longitudo domorum; in istis latitudo versatur. Subtrahe itaque de utraque summa medietatem, et remanet de majori IICCCC: de minore vero ¬IDC. Hos igitur ¬IDC divide in vicenos et invenies octagies viginti, rursumque major summa, id est, ¬I¬ICCCC, in XXX partiti, octoagies triginta dinumerantur. Duc octoagies LXXX, et fiunt VI milia CCCC. Tot in hujusmodi civitate domus, secundum propositionem supra scriptam, construi possunt.

XXVIIII. PROPOSIZIONE SU UNA CITTA' ROTONDA.
C'è una città rotonda che ha 8000 piedi di circonferenza. dica, chi è in grado, quante case può contenere la città in modo che ogni casa sia lunga 30 piedi e larga 20?
Soluzione.
la città misura 8000 piedi di circonferenza, che sono divisi nella proporzione di 1,5:1, cioè 4800 e 3200. La lunghezza e la larghezza delle case devono essere di queste dimensioni. Quindi, prendi la metà di ognuna di queste misure, e del numero maggiore rimane 2400, del minore 1600. Quindi, dividi 1600 per 20 ed otterrai 80 volte 20. In maniera simile, dividi il numero maggiore, cioè 2400, per 30, ottenendo 80 volte 30. Moltiplica 80 per 80 ed ottieni 6400. Tante case possono essere costruite nella città seguendo le indicazioni scritte sopra.

XXX. PROPOSITIO DE BASILICA.
Est Basilica, quae habet in longtudine pedes CCXL, et in lato pedes CXX. Laterculi vero stratae ejusdem unus laterculus habet in longitudine uncias XXIII, hoc est, pedem unum et XI uncias. Et in latitudine uncias XII, hoc est, pedem I. Dicat, qui velit, quot laterculi eandem debent implere?
Solutio.
CXL pedes longitudinis implent CXXVI laterculi; et CXX pedes latitudinis CXX laterculi; quia uniusquisque laterculus in latitudine pedis mensuram habet. Multiplica itaque centum vicies CXXVI, in ¬X¬VCXX summa concrescit. Tot igitur in hujusmodi basilica laterculi pavimentum contegere possunt.

XXX. PROPOSIZIONE SU UNA BASILICA.
C'è una basilica che misura in lunghezza 240 piedi, ed in larghezza 120 piedi. Una mattonella della basilica piastrellata è lunga 23 pollici, che equivale ad un piede e 11 pollici; mentre è larga 12 pollici, cioè un piede. Dica, chi vuole, quante mattonelle occorrono per coprire la basilica?
Soluzione.
126 mattonelle coprono 140 piedi in lunghezza e 120 mattonelle coprono 120 piedi in larghezza, poichè ogni mattonella misura un piede in larghezza. Quindi, moltiplica 120 per 126 ottenendo 15120. Dunque in questo modo altrettante mattonelle possono coprire il pavimento della basilica.

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