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La corsa del cane e la fuga della lepre

26. Propositio de cursu CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS
(cursu canis ac fuga leporis)

XXVI. PROPOSITIO DE CURSU CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS.
Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt [Bed., confecerint].
Solutio.
Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

XXVI. PROPOSIZIONE SULLA CORSA DEL CANE E LA FUGA DELLA LEPRE.
C'è un campo lungo 150 piedi. Ad un'estremità c'era un cane, all'altra una lepre. Il cane correva dietro alla lepre inseguendola. Ma mentre il cane avanzava di 9 piedi ad ogni salto, la lepre ne avanzava soltanto di 7. Dica, chi lo vuole, quanti piedi percorsero e quanti salti fecero il cane inseguendo e la lepre fuggendo fino a quando la lepre fu catturata.
Soluzione.
La lunghezza del campo era di 150 piedi. La metà di 150 è 75. Il cane percorreva 9 piedi ad ogni salto e 9 moltiplicato per 75 fa 675. Il cane quindi percorse 675 piedi inseguendo la lepre finchè non la afferrò con i denti robusti. E invero, poichè la lepre percorreva 7 piedi ad ogni salto, calcola 75 volte 7. Tanti furono i piedi che la lepre percorse fuggendo prima di essere catturata.

Nota.
Il titolo è uno scherzo in cui Alcuino scambia alcune lettere dell'alfabeto con le loro successive.
Propositio de cursu CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS
Propositio de cursu CANIS. AC. FUGA. LEPORIS

La risposta, in sintesi, è: il cane e la lepre fecero 75 salti, il cane percorse 675 piedi mentre la lepre ne percorse 525.

Supponendo che il cane e la lepre inizino nello stesso istante e saltino con la stessa frequenza si osserva che il cane ad ogni salto si avvicina alla lepre di 9-7 = 2 piedi.
9 piedi/salto - 7 piedi/salto = 2 piedi/salto

Poiché la distanza iniziale è di 150 piedi, il cane raggiunge la lepre al termine del 75.mo salto.
150 piedi / 2 piedi/salto = 75 salti

Le distanze percorse sono:
cane: 75 salti x 9 piedi/salto = 675 piedi
lepre: 75 salti x 7 piedi/salto = 525 piedi

La distanza percorsa dalla lepre si può anche calcolare così:
675 piedi - 150 piedi = 525 piedi.

Ma siamo proprio sicuri che il cane e la lepre, al termine del 75.mo salto, si trovano nello stesso punto?
Certo, perché la distanza iniziale (150) è un multiplo della differenza fra le "velocità" (2).

Se non lo fosse, i due animali non potrebbero mai toccare terra contemporaneamente nello stesso punto.

Vediamolo con due semplici esempi.

Esempio 1.
Distanza iniziale, d = 16 piedi
Velocità cane, v1 = 13 piedi/balzo
Velocità lepre, v2 = 9 piedi/balzo

13 - 9 = 4, che è sottomultiplo di 16.

Esempio 2.
Distanza iniziale, d = 16 piedi
Velocità cane, v1 = 11 piedi/balzo
Velocità lepre, v2 = 6 piedi/balzo

11 - 6 = 5, che NON è sottomultiplo di 16.

Più in generale, indicando con numeri interi:
Distanza iniziale = d0
Velocità cane = v1
Velocità lepre = v2
Distanza fra i due animali al passo n = d(n)

si ha che:
d(n) = |v2*n + d0 - v1*n| = |(v2-v1)*n + d0|

In particolare d(n) si azzera per:
n = d0/(v1-v2)

Poiché le variabili sono tutte numeri interi, è evidente che n è intero se e solo se (v1-v2) è divisore di d0.

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