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5. Propositio de emptore denariorum
V. PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM.
Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen,
ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo vero porcelli denario
uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse
debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?
Solutio de emptore.
Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et
LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et
habebis centenarium numerum in utriusque.
PROPOSIZIONE SU UN COMMERCIANTE E I SUOI DENARI
Disse un commerciante: "Voglio comprare 100 maiali con 100 denari
in modo tale da pagare 10 denari per un verro adulto, 5 denari per una scrofa e
1 denaro per due maialini”.
Dica, chi lo sa, quanti verri, scrofe e maialini dovrebbe acquistare il
commerciante per spendere esattamente 100 denari?
Soluzione.
Il commerciante compra 9 scrofe ed un verro per 55 denari, e 80 maialini per 40
denari. Ecco 90 maiali. Con i rimanenti 5 denari, compra altri 10 maialini, ed
in questo modo ha 100 maiali per 100 denari.
Per trovare tutte le soluzioni si può risolvere il sistema:
x + y + z = 100 maiali
10x + 5y + z/2 = 100 denari
Il sistema è compatibile, ha rango 2, e, avendo 3 incognite, ha infinite soluzioni.
Eccole:
x = (-80) + (9/10)k
y = (180) + (-19/10)k
z = (1)k
Dobbiamo però cercare soltanto le soluzioni intere e positive.
Il numero di maialini, z, può variare da 1 a 200.
Il numero di scrofe, y, è intero positivo se il numero dei maialini è multiplo di 10 ed è minore di 94.
Il numero dei verri, x, è intero positivo se il numero dei maialini è multiplo di 10 ed è maggiore di 88 .
Dunque, il numero dei maialini deve essere un
multiplo di 10 compreso fra 88 e 94, cioè 90, da cui si ricava la soluzione
unica:
90 maialini, 9 scrofe, 1 verro.
Meraviglioso! Alcuino ci ha dato un problema con una unica soluzione!
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