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Successioni ricorsive olimpioniche

Ringrazio Pasquale, Mago Merlino, Gnorry, Tino, Gaspero, Edmund, Paolop, Elena, per i contributi al Forum, dai quali nata questa pagina.

Tutto cominciato con questo messaggio di Pasquale al Forum.

Successione ricorsiva n.1

Date Posted: 25/02/05 20:58
Author: Pasquale
Subject: Successione

Questo proviene dal ginecologo della moglie di Giovanni, che auscultando la pancia di 6 mesi ha sentito una vocina che diceva cos:

Considerata una successione di numeri reali, in cui

a(n + 1) = an + 1/an per n = 0, 1, 2, ...

dimostrare che per qualsiasi a0 reale positivo, a1996 > 63.

Nota: il problema tratto dalla VII OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL, Peru, 1996.

Successione ricorsiva n.2

Date Posted: 3/03/05 22:59
Author: Gianfranco Bo
Subject: Successione ricorsiva n.2

Come allenamento per risolvere il problema del ginecologo della moglie di Giovanni propongo il seguente, tratto da: CWMO 2004, problema 5

La successione an definita ricorsivamente cos:

a1=1
a2=1

a(n+2)=an+1/a(n+1)


Quanto vale a2004?

Ultimo aggiornamento: marzo 2005


Risposte & riflessioni

Successione ricorsiva n.1
Dopo una lunga discussione, la risposta esatta giunta da Tino e successivamente stata spiegata nei dettagli da Edmund.
Nota: gli indici sono indicati tra parentesi tonde, ad es. an = a(n)

Secondo me la soluzione di Tino (semplice e geniale) quella giusta.

Dalla prima formula

a(n)^2 = (1/a(n-1)^2 + a(n-1)^2 + 2)


sostituendo via via il termine non frazionario con

a(n-1)^2 = (1/a(n-2)^2 + a(n-2)^2 + 2)

a(n-2)^2 = (1/a(n-3)^2 + a(n-3)^2 + 2)

a(n-3)^2 = (1/a(n-4)^2 + a(n-4)^2 + 2)

.....................................
.....................................

a(2)^2 = (1/a(1)^2 + a(1)^2 + 2)

a(1)^2 = (1/a(0)^2 + a(0)^2 + 2)

si ottiene alla fine

a(n)^2 = (a(0)^2 + 1/a(0)^2 + ... + 1/a(n-1)^2 + 2*n) > 2*n

che nel nostro caso specifico

a(1996)^2 = (a(0) + 1/a(0)^2 + ... + 1/a(1995)^2 + 2*1996) > 2*1996

per cui

a(1996)>sqr(2*1996)=63,1822759957252568741091.......

per qualsiasi a(0) reale positivo.

Successione ricorsiva n.2
Complimenti a Tino ed Elena per le risposte, che sono esatte.
Per sarebbe bello avere una dimostrazione.
Ne riporto una non mia.
Nota1: gli indici letterali sono indicati tra parentesi tonde, ad es. an = a(n)
Nota2: gli indici numerici sono indicati a fianco del numero, ad es. a3 = a3

Partendo da:
a(n+2)=a(n)+1/a(n+1)

Moltiplico per a(n+1)
a(n+2)*a(n+1) - a(n+1)*a(n) = 1

Osservo che la sequenza a(n+1)*a(n) una progressione aritmetica di ragione 1.
Ad esempio:
a1*a2 = 1
a2*a3 = 2
a3*a4 = 3
...
a2003*a2004 = 2003
...
a(n)*a(n+1) = n

Dalle uguaglianze posso ricavare:
a1*a2 * a3*a4 * ...* a2003*a2004 = 1*3*5*7*...*2003

Dalle uguaglianze posso anche ricavare:
(A) a1*a2*a3*a4*...*a2004 = 1*3*5*7*...*2003

e anche:
(B) a2*a3*a4*a5*...*a2003 = 2*4*6*8*...*2002

Dividendo la (A) per la (B) ho che:

(a1*...*a2004) = a2004 = (1*3*5*7*...*2003)
(a2*...a2003) (2*4*6*8*...*2002)

Che corrisponde alla formula data da Elena e da Tino.

a(n) = (n-1)!dispari per n pari
(n-2)!pari

 

a(n) = (n-1)!pari per n dispari
(n-2)!dispari

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