[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

 I Quadrati Latini

Questa pagina è stata realizzata su proposta di Simone P. e con la collaborazione degli alunni della Scuola Media di Cogorno, classe 2° D.

Completate il quadrato a fianco, inserendo nelle caselle vuote i simboli elencati qui sotto

in modo che in ogni riga e in ogni colonna ciascun simbolo compaia una volta sola.
(il problema è tratto da Focus)
Esercizio e disegni di Simone P.

Troppo facile!

Allora voglio provare a costruire un quadrato in cui ciascun simbolo compaia una sola volta anche nelle diagonali, oltre che nelle righe e nelle colonne.

Voi ci riuscite?

Un piccolo suggerimento: utilizzando i numeri al posto dei simboli, il problema potrebbe essere più facile.


       

       

       

       

       

La combinazione di simboli richiesta
forma un quadrato latino

Ancora più difficile!
Hai 16 carte da gioco. Sono le carte asso, 2, 3, 4 di ciascun seme, cioè cuori, quadri, fiori, picche.
Devi disporle in un quadrato in modo che in ogni riga e  in ogni colonna:
1) ciascun numero compaia una sola volta;
2) ciascun seme compaia una sola volta.

Sei capace di fare i modo che anche nelle diagonali ciascun seme e ciascun numero compaia una sola volta?

Un piccolo suggerimento: se non hai le carte, puoi usare i seguenti simboli:
1) 1, 2, 3, 4 per indicare i numeri;
2) C, Q, F, P per indicare i semi.

In questo modo ciascuna carta è indicata con due simboli: un numero e una lettera
Esempio: "tre di fiori" = 3F

     

     

     

     

La combinazione di numeri e semi richiesta
forma un quadrato greco-latino

Un po' di teoria

Definizione di quadrato latino
Un quadrato latino di ordine n è una griglia quadrata di n x n caselle nella quale compaiono n simboli diversi, che soddisfa le seguenti condizioni:
1) in ogni cella della griglia compare un simbolo;
2) in ogni riga e in ogni colonna ciascun simbolo compare una volta sola.

A C B
C B A
B A C

Un esempio di quadrato latino di ordine 3
formato con i simboli A, B, C
1 2 3
3 1 2
2 3 1

Un esempio di quadrato latino di ordine 3
formato con i simboli 1, 2, 3

Un piccolo esercizio
Costruisci alcuni quadrati latini di ordine 2, 3, 4

   
   
     
     
     
       
       
       
       

Definizione di quadrato greco-latino
Proviamo a costruire due quadrati latini e a sovrapporli.

A C B
C B A
B A C

Un esempio di quadrato latino di ordine 3 formato con i simboli A, B, C
1 2 3
3 1 2
2 3 1

Un esempio di quadrato latino di ordine 3 formato con i simboli 1, 2, 3
A-1 C-2 B-3
C-3 B-1 A-2
B-2 A-3 C-1

Sovrapponendo i due quadrati latini si ottiene un quadrato greco-latino

Un quadrato greco-latino è una sovrapposizione di due quadrati latini, formati da due insiemi diversi di simboli S1, S2), che soddisfa la seguente condizione:
1) ciascuna coppia di simboli compare una sola volta nel quadrato.

In altre parole si può dire che: ciascun simbolo del primo insieme deve essere accoppiato con ciascun simbolo del secondo insieme.
Nel nostro caso dobbiamo avere: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3.
Se gli insiemi sono formati da n simboli allora le coppie ordinate e distinte possibili sono n x n = n2.

Definizione di quadrati latini ortogonali
Due quadrati latini che soddisfano la condizione enunciata sopra, si chiamano quadrati latini ortogonali.

Un piccolo esercizio bis
Costruisci alcuni quadrati greco-latini di ordine 2, 3, 4

   
   

Utilizza i simboli:
A, B
1, 2
     
     
     

Utilizza i simboli:
A, B, C
1, 2, 3
       
       
       
       

Utilizza i simboli:
A, B, C, D
1, 2, 3, 4

Una strategia per costruire quadrati greco-latini
Per costruire un quadrato greco-latino si può procedere così:
1) si costruiscono due quadrati latini ortogonali;
2) si sovrappongono i quadrati.

Non è così facile come sembra.

Perché si chiamano "greco-latini"?
Probabilmente perché come insiemi distinti di simboli sono state utilizzate le lettere latine e quelle greche.

Una curiosità storica
Il seguente graffito di epoca Romana presenta una certa somiglianza con i quadrati latini: è curioso, è un quadrato, è scritto in latino. Ma non è un quadrato latino.
Chi sa spiegare perché?
Che cosa significa lo scritto?

Un'applicazione e una sfida

Una applicazione pratica
Dobbiamo collaudare 5 modelli diversi di aspirapolvere per scoprire qual è il migliore.
Identifichiamo gli aspirapolvere con i numeri 1, 2, 3, 4, 5.

Vogliamo che tutti gli aspirapolvere sia provati da 5 casalinghe, le quali daranno il loro giudizio su ciascuno di essi.
Identifichiamo le collaudatrici con le lettere A, B, C, D, E.

Ciascun aspirapolvere sarà utilizzato da ciascuna casalinga per una settimana.

E' possibile organizzare le prove in modo da avere i risultati nel giro di 5 settimane?
Come?

Mille euro a chi risolve il problema di Eulero!
Il problema di Eulero è molto facile da formulare:
costruire un quadrato greco-latino di ordine 6.

Nella sua versione originale, il problema è detto "dei 36 ufficiali".

Ci sono 36 ufficiali provenienti da 6 reggimenti e appartenenti a 6 ranghi diversi.
Nella figura seguente i 6 reggimenti sono rappresentati con sei colori diversi, mentre i ranghi sono rappresentati dai vari pezzi degli scacchi.

Il problema è disporre gli ufficiali in un quadrato 6 x 6 in modo che in ogni riga e in ogni colonna compaia un ufficiale di ogni rango e un ufficiale di ogni reggimento.

In altre parole bisogna disporre i 6 pezzi degli scacchi, colorati di 6 colori diversi in un quadrato 6 x 6 in modo che in ogni riga e in ogni colonna compaiano tutti i tipi di pezzo e tutti i colori.

Provateci, è impossibile!

Le immagini sono tratte dal sito: http://www.ams.org/new-in-math/cover/latinII1.html.

Arte Matematica

Arte matematica con i quadrati greco-latini
Proviamo ad utilizzare, al posto dei simboli, delle decorazioni colorate.
I nostri quadrati greco-latini possono trasformarsi in opere d'arte.

Risposte & riflessioni

Un particolare ringraziamento a Simone P. per aver compilato tutte le soluzioni, naturalmente dopo averle trovate!

Il problema ha moltissime soluzioni.
Eccone una.

1 5 4 3 2
3 2 1 5 4
5 4 3 2 1
2 1 5 4 3
4 3 2 1 5

Ancora più difficile!

1Q 2C 3F 4P
4F 3P 2Q 1C
2P 1F 4C 3Q
3C 4Q 1P 2F

Un piccolo esercizio
Quadrati latini.

1 2
2 1
1 3 2
2 1 3
3 2 1
3 4 2 1
1 2 4 3
2 3 1 4
4 1 3 2

Un piccolo esercizio bis
Quadrati greco-latini.

E' impossibile costruire un quadrato greco-latino di ordine 2.

A B
B A
1 2
2 1
A1 B2
B2 A1

Questo NON è un quadrato greco-latino

 

1 2 3
2 3 1
3 1 2
A B C
C A B
B C A
1A 2B 3C
2C 3A 1B
3B 1C 2A

 

A B C D
B D A C
C A D B
D C B A
1 2 3 4
3 4 1 2
2 3 4 1
4 1 2 3
1A 2B 3C 4D
3B 4D 1A 2C
2C 3A 4D 1B
4D 1C 2B 3A

Una applicazione pratica
Costruiamo due quadrati latini ortogonali di ordine 5

A B C D E
C D E A B
E A B C D
B C D E A
D E A B C
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4

Sovrapponiamoli per ottenere il quadrato greco-latino cercato

A1 B2 C3 D4 E5
C2 D3 E4 A5 B1
E3 A4 B5 C1 D2
B4 C5 D1 E2 A3
D5 E1 A2 B3 C4

Mille euro a chi risolve il problema di Eulero!
E' impossibile costruire un quadrato greco-latino di ordine 6, mentre è possibile costruire quelli di ordine 5 e 7.
(Or, après toutes les peines qu'on s'est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnoître qu'un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu'on ne puisse pas en donner de démostration rigoureuse.)

Un quadrato greco-latino di ordine 7
Ai 6 pezzi degli scacchi è stato aggiunto il Jolly.

Un quadrato greco-latino di ordine 5

Novembre 2003

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo