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Il cane e la corda

ovvero l'involuta del cerchio

Ringrazio Paolo P. per aver inviato questo problema al Forum.
Il cane, la corda e la colonna cilindrica
A una colonna cilindrica di 1 m di diametro, che ha centro in O, è fissato un anello A.
All'anello è attaccata una corda di lunghezza 10 m, tesa in direzione OA.
Alla corda è attaccato un cane C. Il cane inizia a correre, mantenendo sempre tesa la corda.
Che distanza ha percorso il cane quando la corda si è avvolta di un giro completo intorno alla colonna?

Se il problema vi sembra difficile, provate prima con quello seguente.

Il cane, la corda e la colonna quadrata
A uno spigolo di una colonna a base quadrata di 1 m di lato, che ha centro in O, è fissato un anello A.
All'anello è attaccata una corda di lunghezza 10 m, tesa in direzione OA.
Alla corda è attaccato un cane C. Il cane inizia a correre, (nel verso indicato dalla freccia arancione) mantenendo sempre tesa la corda.
Che distanza ha percorso il cane quando la corda si è avvolta di un giro completo intorno alla colonna?


Risposte & riflessioni

Il cane, la corda e la colonna cilindrica


Involuta della circonferenza

La traiettoria percorsa dal cane è un tratto di involuta di una circonferenza di raggio 0,5 cm.
La lunghezza s (o ascissa curvilinea) dell'involuta è data dalla seguente funzione:
s = a*t2/2
dove a è il raggio della circonferenza e t è il numero di giri espresso in radianti.

Devo dapprima trovare di quanti giri occorre svolgere la corda per arrivare a liberarne 10 m di lunghezza.
angolo = 10 /(2*pi*0,5) giri = 3,183*2*pi radianti

La traiettoria percorsa è lunga:
s1 = 0,5*(3,183*2*pi)^2/2 m = 100 m

La traiettoria per un giro di meno è lunga:
s2 = 0,5*(2,183*2*pi)^2/2 m = 47,038 mLa differenza fra le due lunghezze è:
s1-s2 = 52,962 m

A questi devo aggiungere 1/4 di circonferenza di raggio 10 m
s3 = 2*pi*10/4 = 15,71 m

Il percorso totale è:
s1-s2+s3 = 68,672 m

MaMo
La curva descritta dal cane è un tratto dell'involuta di una circonferenza di raggio 0,5 m.
Se non ho sbagliato i conti, la sua lunghezza è:
pi*(25 - pi) = 68,67 m.

Pasquale
Anche a me sembra che il percorso sia costituito da un quarto di circonferenza di raggio 10 (finché la corda non è tangente alla colonna) e da una curva che rassomiglia ad un segmento di spirale.
Non so se è la stessa cosa che ha detto il grande Mamo, nè come si eseguono questi calcoli, ma intuitivamente procedo così:

Primo tratto = 2*pi*r/4 = 5*pi
Secondo tratto = media fra la circonferenza di raggio massimo (10) e la circonferenza di raggio minimo (10-pi)

Totale:

5*pi + (20*pi - pi^2) = pi(25 - pi) = 68,67

Il cane, la corda e la colonna quadrata


Caso 1

Caso 2

Se la colonna è a sezione quadrata, si hanno diversi casi, a seconda della direzione iniziale della corda.
Nel caso 1 (il disegno non è in scala), la distanza percorsa dal cane è pari a 4 quarti di circonferenze di raggi 10, 9, 8, 7 m rispettivamente.


L'involuta può rappresentare una corda che si avvolge ad un cerchio
ma anche una corda che si svolge.

L'involuta della circonferenza e la spirale di Archimede.

Non sono proprio identiche ma sono parenti strette.
L'involuta (rossa) è asintotica alla spirale (blu).

Equazione parametrica dell'involuta del cerchio.
Centro O, raggio a, contatto (a,0)
x = a(cos(t) + t*sin(t)
y = a(sin(t) + t*cos(t)

Equazione polare.
a*t = sqr(r
2-a2) - a*arccos(a/r)

Lunghezza (o ascissa curvilinea).
s = a*t
2/2


I denti di molti ingranaggi hanno la forma
dell'involuta della circonferenza.
Tale caratteristica è particolarmente esagerata in questo disegno.
Grazie a questa forma, i denti rotolano l'uno sull'altro senza strisciare.
Così l'attrito è più basso e non c'è usura.

luglio 2004


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