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Il cane e la corda

ovvero l'involuta del cerchio

Ringrazio Paolo P. per aver inviato questo problema al Forum.
Il cane, la corda e la colonna cilindrica
A una colonna cilindrica di 1 m di diametro, che ha centro in O, fissato un anello A.
All'anello attaccata una corda di lunghezza 10 m, tesa in direzione OA.
Alla corda attaccato un cane C. Il cane inizia a correre, mantenendo sempre tesa la corda.
Che distanza ha percorso il cane quando la corda si avvolta di un giro completo intorno alla colonna?

Se il problema vi sembra difficile, provate prima con quello seguente.

Il cane, la corda e la colonna quadrata
A uno spigolo di una colonna a base quadrata di 1 m di lato, che ha centro in O, fissato un anello A.
All'anello attaccata una corda di lunghezza 10 m, tesa in direzione OA.
Alla corda attaccato un cane C. Il cane inizia a correre, (nel verso indicato dalla freccia arancione) mantenendo sempre tesa la corda.
Che distanza ha percorso il cane quando la corda si avvolta di un giro completo intorno alla colonna?


Risposte & riflessioni

Il cane, la corda e la colonna cilindrica


Involuta della circonferenza

La traiettoria percorsa dal cane un tratto di involuta di una circonferenza di raggio 0,5 cm.
La lunghezza s (o ascissa curvilinea) dell'involuta data dalla seguente funzione:
s = a*t2/2
dove a il raggio della circonferenza e t il numero di giri espresso in radianti.

Devo dapprima trovare di quanti giri occorre svolgere la corda per arrivare a liberarne 10 m di lunghezza.
angolo = 10 /(2*pi*0,5) giri = 3,183*2*pi radianti

La traiettoria percorsa lunga:
s1 = 0,5*(3,183*2*pi)^2/2 m = 100 m

La traiettoria per un giro di meno lunga:
s2 = 0,5*(2,183*2*pi)^2/2 m = 47,038 mLa differenza fra le due lunghezze :
s1-s2 = 52,962 m

A questi devo aggiungere 1/4 di circonferenza di raggio 10 m
s3 = 2*pi*10/4 = 15,71 m

Il percorso totale :
s1-s2+s3 = 68,672 m

MaMo
La curva descritta dal cane un tratto dell'involuta di una circonferenza di raggio 0,5 m.
Se non ho sbagliato i conti, la sua lunghezza :
pi*(25 - pi) = 68,67 m.

Pasquale
Anche a me sembra che il percorso sia costituito da un quarto di circonferenza di raggio 10 (finch la corda non tangente alla colonna) e da una curva che rassomiglia ad un segmento di spirale.
Non so se la stessa cosa che ha detto il grande Mamo, n come si eseguono questi calcoli, ma intuitivamente procedo cos:

Primo tratto = 2*pi*r/4 = 5*pi
Secondo tratto = media fra la circonferenza di raggio massimo (10) e la circonferenza di raggio minimo (10-pi)

Totale:

5*pi + (20*pi - pi^2) = pi(25 - pi) = 68,67

Il cane, la corda e la colonna quadrata


Caso 1

Caso 2

Se la colonna a sezione quadrata, si hanno diversi casi, a seconda della direzione iniziale della corda.
Nel caso 1 (il disegno non in scala), la distanza percorsa dal cane pari a 4 quarti di circonferenze di raggi 10, 9, 8, 7 m rispettivamente.


L'involuta pu rappresentare una corda che si avvolge ad un cerchio
ma anche una corda che si svolge.

L'involuta della circonferenza e la spirale di Archimede.

Non sono proprio identiche ma sono parenti strette.
L'involuta (rossa) asintotica alla spirale (blu).

Equazione parametrica dell'involuta del cerchio.
Centro O, raggio a, contatto (a,0)
x = a(cos(t) + t*sin(t)
y = a(sin(t) + t*cos(t)

Equazione polare.
a*t = sqr(r
2-a2) - a*arccos(a/r)

Lunghezza (o ascissa curvilinea).
s = a*t
2/2


I denti di molti ingranaggi hanno la forma
dell'involuta della circonferenza.
Tale caratteristica particolarmente esagerata in questo disegno.
Grazie a questa forma, i denti rotolano l'uno sull'altro senza strisciare.
Cos l'attrito pi basso e non c' usura.

luglio 2004


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