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Coprire un quadrato con altri quadrati

Ricoprimento del quadrato
Possono 3 quadrati di lato 4 ricoprire un quadrato di lato 5?

Il problema dei tre quadrati
Ho tre quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i tre quadrati piccoli?

Il problema dei quattro quadrati
Ho quattro quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i quattro quadrati piccoli?

Il problema dei sette quadrati
Ho sette quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i sette quadrati piccoli?

Tappeti quadrati
Siano dati alcuni tappeti quadrati la somma delle cui aree sia 4.
E possibile coprire con essi un quadrato di area 1?

Tappeti quadrati paralleli
Data una qualunque collezione di tappeti quadrati la cui area totale sia 3, dimostrare che essi possono essere disposti in modo da coprire interamente un quadrato di area 1.
Se i lati dei tappeti sono paralleli agli corrispondenti lati del quadrato allora 3 il numero minimo possibile.

Centoventi quadrati
120 quadrati di area 1 sono disposti e orientati arbitrariamente all'interno di un rettangolo di lati 20x25.
Dimostrare che sempre possibile disegnare dentro il rettangolo un cerchio di area 1 che non intersechi nessuno dei quadrati.

Quadrati e cerchi
Qual il cerchio di raggio massimo che posso coprire con un quadrato unitario (di lato 1)?
E con 2 quadrati? E con 3, 4, 5?

Nota storica.
Il problema del Ricoprimento del quadrato risale probabilmente a H. Dudeney, 1931.
Henry Ernest Dudeney;
Puzzles and Curious Problems,
Thomas Nelson and Sons, Ltd., London 1931,
Problem 219: Three Tablecloths
(mostra solo la configurazione, non ci sono calcoli)

Il problema Tappeti quadrati paralleli e citato da:
Journal: SIAM Review
Publisher: Society for Industrial and Applied Mathematics
volume(year)page references:
Proposal: 24(1982)77 by D. J. Newman
Solution: 25(1983)99 by A. Meir
Comment: 25(1983)100 by Andr\'as Bezdek and K\'aroly Bezdek
Additional solvers listed: 26(1984)283


Risposte & riflessioni

Il problema generale suona pi o meno cos:

Il problema degli n quadrati
Ho n quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il lato L(n) del pi grande quadrato che riesco a ricoprire con gli n quadrati piccoli?

Ecco alcuni risultati:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
L(n) 1 1 1.272 2 2 2 2.2071 2.4142 3 3 3 3

Ricoprimento del quadrato
Possono 3 quadrati di lato 4 ricoprire un quadrato di lato 5?

S, e per la precisione tre quadrati di lato 1 possono coprire, al massimo, un quadrato di lato:
h = sqrt((sqrt(5)+1)/2) = 1.272...
Facendo le debite proporzioni, tre quadrati di lato 4 possono coprire, al massimo, un quadrato di lato:
h = 4*sqrt((sqrt(5)+1)/2) = 5,088...

Il problema dei tre quadrati
Ho tre quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i tre quadrati piccoli?

Il quadrato di lato 1,272...

Il problema dei quattro quadrati
Ho quattro quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i quattro quadrati piccoli?

Dai! Questo troppo facile.
A meno che qualcuno non trovi una soluzione diversa da quella canonica.

Il problema dei sette quadrati
Ho sette quadrati unitari (di lato = 1).
Qual il pi grande quadrato che riesco a ricoprire con i sette quadrati piccoli?

Il quadrato di lato 2,2071...

Tappeti quadrati
Siano dati alcuni tappeti quadrati la somma delle cui aree sia 4.
E possibile coprire con essi un quadrato di area 1?

???

Tappeti quadrati paralleli
Data una qualunque collezione di tappeti quadrati la cui area totale sia 3, dimostrare che essi possono essere disposti in modo da coprire interamente un quadrato di area 1.
Se i lati dei tappeti sono paralleli agli corrispondenti lati del quadrato allora 3 il numero minimo possibile.

???

Centoventi quadrati
120 quadrati di area 1 sono disposti e orientati arbitrariamente all'interno di un rettangolo di lati 20x25.
Dimostrare che sempre possibile disegnare dentro il rettangolo un cerchio di area 1 che non intersechi nessuno dei quadrati.

Riporto provvisoriamente la soluzione di David Moews
Given a unit square, we can construct the set S of points of distance <= 1/2 from it. This set will be a square of side 2 whose corners have been rounded off into radius 1/2 arcs, and will hence have area 3 + pi/4. If we transform each of our 120 squares into a copy of S, the union of all these copies will have area <120.(3 + pi / 4).
However, the rectangle whose sides are inset 1/2 from the large 20 x 25 rectangle has area 19.24, and since pi < 32/10,
19.24 - 120.(3 + pi / 4) = 96 - 30 pi > 0.
Therefore, there is a point in the inset rectangle and not in any S, and we can center our circle on it.
David Moews

Quadrati e cerchi
Qual il cerchio di raggio massimo che posso coprire con un quadrato unitario (di lato 1)?
E con 2 quadrati? E con 3, 4, 5?


r = 1/2 = 0.5


r = 1


r = 2 - sqr(2) = 0.585...


r = 0.794...


r = 1.018...

Soluzioni tratte dal sito: Erich's Packing Center

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