• di spessore d
• avvolto ad una bobina di raggio R pari a 3d
• nella figura il nastro compie 4 giri completi attorno alla bobina

Piegando il nastro,

• la faccia interna alla curva tenderà a comprimersi.
  La faccia interna è rappresentata dalla linea spirale AA'.
• mentre la faccia esterna tenderà a dilatarsi.
  La faccia esterna è rappresentata dalla linea spirale BB'.

Qual è allora la lunghezza esatta del nastro quando sarà svolto?

• Si potrebbe prendere la lunghezza della linea media del nastro che in figura è la linea spirale rossa CC'

Prima versione.
Si tratta di tanti cerchi concentrici e ad ogni giro si aggiunge 1 mm ai diametri: la prima volta si arrotolano
pi*20 mm di nastro e il diametro cresce di 1 mm.
Questo avviene per 29 volte e all'ultimo giro il nastro si deve avvolgere su una circonferenza di pi*(20 + 29) = pi*49 mm

Perciò le circonferenze che si sommano, espresse in millimetri, sono:

pi*20, pi*21, ..............pi*49 = pi*(20 + 21 + .......+ 49) = pi* (20 + 49)*30/2 = 3.250 mm = 325 cm (circa).

Seconda versione.
Sembrava facile e invece....
In effetti noi abbiamo basato il calcolo su una somma di circonferenze, senza tener conto che invece si tratta di una spirale che durante il suo avvolgimento si allontana dal centro in ogni momento e non soltanto alla fine di un giro: questo chiaramente comporta una maggiore lunghezza totale del nastro.

Proporrei una formula semplificata, in cui:

L = 2pR

dove:

L = lunghezza della spirale
R = somma dei raggi medi della pirale (un raggio medio è relativo a 1 giro di spirale)

R = n(RM_1 + RM_n)/2

in cui:

n = numero dei giri
RM_1 = (2r + p)/2 raggio medio del primo giro di spirale
RM_n = [2r + p(2n-1)]/2 raggio medio dell'ennesimo giro di spirale
r = raggio minore della spirale
p = passo della spirale

Nel caso specifico, essendo:

p = 0,05 cm
r = 1 cm
n = 30

L = 60p(1 + 15*0,05) = 329.8672286..... cm

Posto che il nastro sia perfettamente flessibile, quindi che lo si possa piegare a 90° (trascurando compressione e trazione ai bordi nella curva a 90°) io non ci vedo nessuna spirale...
Vedo solo degli archi di circonferenza uno sopra l'altro di lunghezza pari alla [lunghezza della i-esima circonferenza meno lo spessore del nastro (che si va ad accavallare).
Quindi si fa la somma degli archi e si aggiunge la lunghezza di ogni accavallamento, che è pari a due volte lo spessore del nastro, sotto l'ipotesi precedente.

Preciso che va considerata la circonferenza con raggio medio, perchè solo nel "mezzo" abbiamo l'unica linea non soggetta a deformazione, che rappresenta quindi la reale lunghezza del nastro di partenza non deformato.

Allora se il primo giro è lungo:

2*pi*(1 + 0,05/2)

il secondo è lungo:

2*pi*(1 + 0,05/2 + 0,05)

e così via:

la lunghezza totale è:

L = 2*pi*[(1 + 0,05/2)*30 + 0,05 * 29*(29 + 1)/2]

L = 2*pi*[ 30,75 + 21,75 ] = 329,86722

Come vedi non ho scomodato nessuna spirale...
E' ovvio che con la spirale ci si avvicina molto.. la spirale aumenta in modo lineare il suo raggio, quindi essendo in campo lineare viene quasi come facendo le medie, ma concettualmente è sbagliato.

In ogni modo questo risultato è sbagliato, perchè non consideriamo i punti di accavallamento. Come dicevo nell'intervento precedente, non possiamo far terminare un avvolgimento esattamente dove era partito quello precedente, perchè ci deve essere lo spazio per lo spessore (se facciamo curve di 90°).
Quindi ad ogni circonferenza va tolto uno spessore. Va poi considerato che ogni accavallamento risulta lungo 2 spessori (in senso radiale).

Ho quindi 29 accavallamenti completi, mentre al 30° giro termino normalmente:

L_reale = L - 29*0,05 + 29*2*0,05 = 331,31... cm

Se poi invece di considerare gli accavallamenti a 90° consideriamo, come nel caso reale, gli accavallamenti "progressivi" (che non sono spirali! Vengono una specie di profilo di camma.)... allora tanti auguri a trovare la curva descritta!

Sottolineo che il fulcro del problema sta nel fatto che il nastro non può essere considerato privo di spessore, quindi va trovata una linea appartenente al nastro che rimane indeformata e quindi ci garantisce una misura accurata della lunghezza, come da nastro non avvolto.
Tale linea è evidentemente la circonferenza media, calcolata di volta in volta, rispetto al giro precedente.

Non vi ho seguito molto bene (soprattutto per quanto riguarda la spirale), ma vi propongo il mio tipo di approssimazione, che mi pare più adeguata (cioè che si discosta "pochissimo" dalla realtà e che rimane comunque abbastanza semplice da trattare) di quella del salto a gradino.

1°) In quanto segue parlo del nastro considerandolo come se avesse larghezza nulla, cioè ne considero la proiezione su un piano perpendicolare all'asse di simmetria della bobina. Di fatto ci sono delle differenze fra le varie sezioni, ma sono decisamente trascurabili.

2°) Suppongo (solo per semplicità nelle spiegazioni) che il nastro si avvolga in senso orario a partire da un punto iniziale A0 che si trova nel punto più alto della bobina vuota (quindi il nastro inizialmente va «a destra»).

3°) Nomenclatura: Chiamo «s» lo spessore del nastro,
«bob0» la bobina vuota,
«bobN» (al variare di N nei naturali) la bobina con il nastro avvolto N volte,
«O» il centro di simmetria di bob0,
«A0» il punto di bob0 da cui inizio ad arrotolare il nastro,
«A1» il punto di intersezione fra la semiretta OA0 e la il primo tratto della faccia superiore del nastro (cioè A0 si trova sul segmento OA1 ad una distanza s da A1),
«AN» (al variare di N nei naturali) il punto di intersezione fra la semiretta OA0 e la faccia superiore di bobN.
«T0» il punto di tangenza da A1 a bob0 a sinistra di A0.
«TN» (al variare di N nei naturali) il punto di tangenza (a sinistra) da A(N+1) a bobN.

4°) Suppongo che il nastro sia inestensibile e che quindi non si "schiacci" quando lo tiro (nella realtà questo avviene, ma si considera che il nastro sia a tensione costante F, in modo che, anche se inizialmente aveva uno spessore S, dopo aver subìto la tensione F abbia lo spessore s (S > s = 0,5 mm) ).

5°) Trascuro l'azione delle forze di adesione e considero il nastro sia incollato alla bobina vuota solo nel primo tratto del primo giro.
In questo modo la forma (della "sezione") della superficie "inferiore" del nastro nel primo giro è l'unione di C0 e di L0, dove C0 è il tratto di circonferenza di estremi A0 e T0 (in senso orario) e L0 è il segmento di estremi T0 e A1.

6°) Qui abbiamo la prima «vera» approssimazione.
Se il nastro è inestensibile e ha uno spessore costante diverso da zero non potrebbe assumere la forma di una circonferenza (nel senso che se la faccia superiore dovrebbe essere più lunga di quella inferiore). Di fatto in questi casi (sono convinto che) si considera la media fra le varie lunghezze, cioè la lunghezza della circonferenza dei punti "in mezzo" al nastro.
Però la faccia inferiore del nastro assume una forma «strana» e complessa, mentre quella superiore ne assume una che nel tratto in cui la faccia superiore interseca A1 «assomiglia» molto ad un tratto di circonferenza, anche se «purtroppo» non lo è. In questa zona le deformazioni sono molte e complesse, ma se si approssima tale profilo ad una spezzata si commette un errore che valuto trascurabile. Di fatto approssimo considerando che l'intero profilo del nastro è l'unione dei tratti consecutivi CN e LN, con 0<=N<30, dove CN è il tratto di circonferenza di estremi AN e TN (in senso orario) e LN è il segmento di estremi TN e A(N+1).

7°) Valutazione dell'errore.
Nel primo scalino il profilo del raccordo ha in A1 un punto che possiamo quasi dire «angoloso», ma via via che il nastro si avvolge il profilo si addolcisce e l'errore diventa sempre maggiore, anche se lo stimo più che accettabile per le misure ordinarie (certo che se dai le soluzioni del tipo «L = 329.8672286.....» richiedi una precisione mostruosa che plausibilmente rende inaccettabile la mia approssimazione, ma se ti attieni al testo «ha il diametro di 2 cm» ti accorgi che la precisione dei dati non può superare l'1%).
Quello che è importante è che comunque la mia approssimazione dà una misura sicuramente per eccesso, per cui unita ad un'altra sicuramente per difetto si può valutare l?errore sulla misura.

8°) Calcolo della lunghezza. (Sto facendo i calcoli in relativa fretta, per cui non ne garantisco la correttezza.)
Chiamo «r» il raggio di bob0, dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OA1T0 segue che la lunghezza di L0 è radice_quadrata(s²+2r·s). Chiamata «h» l'altezza del triangolo OA1T0 da A1 si ha che h=r·L0/(r+s), da cui segue che il tratto di circonferenza mancante (cioè quello da T0 ad A0) è lungo r·arcsen(h/r)= r·arcsen(L0/(r+s)), da cui segue che la differenza della lunghezza del nastro (così come la ho approssimata io) e la lunghezza della circonferenza è L0- r·arcsen(L0/(r+s)).
Il calcolo della lunghezza totale del nastro (per eccesso) l'ho fatto fare alla mia calcolatrice, considerando che lo stesso ragionamento sopra esposto vale se sostituiamo a «r» il valore «r+s» dopo ogni avvolgimento, e se partiamo da «r+0,5s» invece che da «r» per tenere conto che non si deve misurare la lunghezza né della faccia inferiore, né di quella superiore, ma della parte interna del nastro.
La formula che ho inserito è:

Somma per k che va da 0 a 29 di (2·pi_greco·(r+0,5·s+k·s)+ L0-((r+0,5·s+k·s)·arcsen(L0/((r+0,5·s+k·s)+s))) con r=1 , s=0,05 , L0=radice_quadrata(s²+2·s·(r+0,5·s+k·s)) )

il cui valore in risposta è 330,109 (valore per eccesso) il valore completo è stato 330,10884254117) che indica 330,11 cm.

9°) Valutazione di quanto trovato.
Il risultato concorda perfettamente con quanto mi aspettavo:

• Cesarone ha calcolato la lunghezza di un percorso possibile, ma più lungo di quello minimo (è come se io avessi superato lo scalino con il piano inclinato più lungo possibile, mentre Cesarone con quello più corto possibile), ed infatti il risultato gli viene leggermente maggiore del mio (3,3131 m);
• Gianfranco ne ha scelto uno «migliore», ma non realizzabile in pratica (che credo equivalga ad avere allungato il piano inclinato oltre le possibilità offerte dalla curvatura della bobina, fino alla lunghezza dell'intera circonferenza), ed infatti il risultato gli viene leggermente minore del mio (3,298 m);
• Pasquale ha (inizialmente) scelto di non lasciare spazio «inutilizzato» nella bobina, come se avesse tagliato il nastro alla fine di ogni giro per poter risparmiare in lunghezza (che credo equivalga ad avere un piano inclinato di lunghezza infinita) , ed infatti il risultato gli viene ancora minore (3,25 m).

Ricordo che la lunghezza «reale» (ammesso che abbia un senso) dovrebbe essere leggermente minore, anche se «a occhio» stimo che le cifre della risposta che ho dato siano tutte corrette, la ripeto: 3,3011 metri.