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Il teorema di Pick

di Gianfranco Bo

Philomathematicus mi ha chiesto di dedicare una pagina alla dimostrazione della formula di Pick. Questa idea mi frullava in testa già da un po' di tempo... e allora ci ho provato.
Se trovate errori o passi poco chiari vi prego di segnalarmeli con una e-mail.
Per questo lavoro mi sono ispirato ad una dimostrazione elementare di D. E. Varberg, Amer. Math. Monthly, 1985.

Immaginiamo un reticolato come quello rappresentato nella figura qui sotto. Gli inglesi lo chiamano lattice, che significa traliccio.

In matematica esso può rappresentare graficamente l'insieme Z² ossia il piano cartesiano in cui si considerano solo le coordinate intere.
Chiamiamo punti-griglia le intersezioni fra le rette del reticolato, indicate nelle figure con bollini gialli.

Consideriamo inoltre i poligoni i cui vertici sono soltanto punti-griglia.

Denotiamo con:
I il numero dei punti-griglia che stanno dentro il poligono
P il numero di punti-griglia che stanno sul perimetro del poligono.

Ecco due esempi, un poligono convesso e uno concavo.

George Pick, nel 1899, scoprì che l'area dei poligoni di questo tipo può essere calcolata con una semplicissima formula, conoscendo I e P.
La formula è la seguente:

Area (A) = I + P/2 -1

Come si dimostra questa meravigliosa formula così semplice da capire ed applicare?

Risposte & riflessioni

Ecco una traccia di dimostrazione.

a) Prima di tutto si dimostra che la grandezza calcolata con la formula di Pick (chiamiamola A) è additiva. Ciò significa che se si accostano lungo un lato, senza sovrapposizioni, due figure di "area" A1 e A2 si ottiene una figura di "area" A1 + A2.

b) Poi si dimostra che la formula di Pick calcola effettivamente l'area dei rettangoli e dei triangoli rettangoli, acutangoli e ottusangoli. Per questa dimostrazione si utilizza l'additività dimostrata in a)

c) Infine, poiché ogni poligono è scomponibile in triangoli, la formula di Pick risulta dimostrata.

Punto a)

Dimostriamo che la formula di Pick gode della proprietà additiva. Ciò è fondamentale per poter calcolare la misura di un'area e anche per il resto della dimostrazione.

Partiamo da due poligoni, Pg1 e Pg2, e immaginiamo di unirli per il lato AB (uguale in entrambi) ottenendo un poligono Pg.
Viceversa possiamo partire da un poligono Pg di più di tre lati e, tracciando una diagonale AB, lo dividiamo in due poligoni Pg1 e Pg2.
Siano A, A1, A2 le grandezze calcolate con la formula di Pick.

Dimostriamo che:
A = A1 + A2

Siano I, I1, I2 i punti-griglia interni a Pg, Pg1, Pg2.
Siano P, P1, P2 i punti-griglia sui perimetri di Pg, Pg1, Pg2.
Sia inoltre L il numero di punti-griglia che stanno sul lato AB, estremi compresi.

Diciamo subito che:
A1 = I1 + P1/2 - 1
A2 = I2 + P2/2 - 1

Quando si uniscono i poligoni si osserva che:
1) i punti-griglia estremi del lato AB vanno sul perimetro del poligono unione;
2) i punti-griglia interni al lato AB vanno all'interno del poligono unione;

Detto questo, si ha che:

I = I1 + I2 + L - 2 (si devono sottrarre i 2 estremi)
P = P1 + P2 -2L + 2 (si devono sottrarre due volte i punti-griglia di AB e si devono aggiungere i 2 estremi)

Calcoliamo ora A utilizzando i dati ottenuti.

A = I1 + I2 + L - 2 + (P1 + P2 -2L + 2)/2 - 1

Svolgendo alcuni calcoli:

A = I1 + I2 + L - 2 + P1/2 + P2/2 - L + 1 - 1
A = I1 + I2 - 2 + P1/2 + P2/2
A = (I1 + P1/2 - 1) + (I2 + P2/2 - 1) = A1 + A2

La prima parte è dimostrata.

Punto b)

Dimostriamo che la formula di Pick calcola effettivamente l'area dei rettangoli.

I lati del rettangolo misurano a, b.
L'area è A = ab

P = 2a + 2b
I = ab - a - b +1
A = ab - a - b +1 + (2a + 2b)/2 - 1 = ab

Come volevasi.

Dimostriamo che la formula di Pick calcola effettivamente l'area dei triangoli rettangoli che non hanno punti interi sull'ipotenusa.

I cateti del tiangolo misurano a, b.
L'area è A = ab/2

P = a + b + 1 (non ci sono punti sull'ipotenusa)
I = (ab - a - b + 1)/2
A = (ab - a - b + 1)/2 + (a + b + 1)/2 - 1 = ab/2

Come volevasi.

N.B. Se un triangolo rettangolo ha dei punti-griglia sull'ipotenusa può essere suddiviso in triangoli rettangoli che non ne hanno, e rettangoli.

Dimostriamo che la formula di Pick calcola effettivamente l'area dei triangoli acutangoli ed ottusangoli.

Si traccia il rettangolo minimo circoscritto al triangolo e si applica la proprietà additiva dimostrata all'inizio.
Come si vede nella figura qui sotto, l'area del triangolo celeste è data dalla differenza fra l'area del rettangolo circoscritto e l'area dei tre triangoli rettangoli gialli.

Nel caso della figura qui sotto invece l'area del triangolo celeste è data dalla differenza fra l'area del rettangolo circoscritto e le aree dei tre triangoli gialli e del quadrato arancione.

Punto c)

Ogni poligono convesso è scomponibile in triangoli tracciando tutte le diagonali uscenti da un unico vertice.

Anche ogni poligono concavo è triangolabile...!? (speriamo di sì).

Dunque, per la proprietà additiva, possiamo concludere che il teorema di Pick è dimostrato.

Ecco un reticolato da stampare sul quale potete fare i vostri esperimenti.