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1. Uno facile: la casetta
E' possibile disegnare la figura qui sotto senza mai staccare la penna
dal foglio e percorrendo ogni segmento una sola volta?
2. Uno impossibile: il rettangolo
E' possibile percorrere la figura qui sotto con un solo tratto di penna
percorrendo tutti i segmenti, ma ciascuno una sola volta?
3. Uno col trucco: scrivere 100
E' possibile scrivere il numero 100 su un foglio come si vede qui sotto
senza mai staccare la punta della penna dal foglio?
4. Un grande classico: i ponti di Konisberg
Siamo a Konisberg, nel 1759.
Il fiume che attraversa la città si divide in due rami formando un'isola in
corrispondenza della biforcazione.
Il territorio è diviso in 4 aree come si vede nella figura qui sotto: l'isola
A, le due sponde B, C e la parte interna alla biforcazione D.
Le 4 aree sono collegate da 7 ponti:
A-C sono collegate dai ponti c, d;
A-B sono collegate dai ponti a, b;
D-A sono collegate dal ponte e;
D-C sono collegate dal ponte g;
D-F sono collegate dal ponte f;
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E' possibile fare una passeggiata attraversando esattamente una sola volta tutti i ponti?
5. Uno a tre dimensioni: dipingere gli spigoli di un
ottaedro
(inviato a Base Cinque da Peppe)
Si vogliono dipingere gli spigoli di un ottaedro senza mai staccare il
pennello e senza ripassare sulla vernice già data.
6. Altri esercizi
Ecco alcuni altri esercizi. Quali sono possibili e quali impossibili?
7. Uno enigmatico
Ringrazio Alberto Graziani per aver proposto questo
esercizio
Non so se conoscete questa figura e il quesito che la accompagna,
cioè quello di unire tutti i segmenti con un'unica linea senza mai staccare
la penna dal foglio e passando una volta sola da ogni segmento.
1. Uno facile: la casetta
Ringrazio Jacopo Penazzi per le seguenti
osservazioni e per la soluzione più rigorosa.
Il problema, a mio avviso, sta nel fatto che il quesito richiede
di non percorrere uno stesso segmento più volte, il che, sempre a mio avviso,
equivale a richiedere inoltre, che nessun segmento si intersechi con altri
segmenti.
Mi scuso per la pignoleria, dovuta probabilmente ad una
differente interpretazione del testo, ma io proporrei la seguente soluzione,
ugualmente valida e priva di tale difetto (sempre riferita alla figura sopra
riportata):
- partenza dal vertice C
- passo1: C-B
- passo2: B-F
- passo3: F-C
- passo4: C-D
- passo5: D-F
- passo6: F-E
- passo7: E-B
- passo8: B-A
- passo9: A-E
- passo10: E-D
In questo modo sono rispettati i due vincoli posti dal testo e inoltre non
esiste alcun segmento che ne intersechi altri.
2. Uno impossibile: il rettangolo
Come dice il titolo stesso, il problema non può essere risolto.
3. Uno col trucco: scrivere 100
Si piega il foglio e si scrive 100 come illustrato nella figura qui
sotto.
Si rimette a posto la piegatura ed ecco il risultato.
5. Un grande classico: i ponti di Konisberg
Il problema dei ponti di Konisberg si può ricondurre alla seguente
figura.
E' possibile tracciarla con un solo tratto di penna senza mai staccare la
penna dal foglio e percorrendo tutte le linee esattamente una volta?
Non è possibile!
Una figura di questo tipo, formata da punti nodali (A, B, C,
D) e da linee che li congiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama
grafo.
I punti A, B, C, D si chiamano nodi.
Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archi ( o lati o segmenti)
Le superficie chiuse limitate da una serie di archi si chiamano
regioni.
Il numero di archi che escono da un nodo si chiama ordine del nodo. Ad
esempio l'ordine del nodo A è 5 mentre l'ordine del nodo D è 3.
Quando si dice "nodo pari" o "nodo dispari" si intende rispettivamente "nodo
di ordine pari" o "nodo di ordine dispari"
La possibilità di tracciare grafi con un solo tratto di penna è è soggetta alle seguenti leggi:
1) Le figure che non hanno nodi dispari si possono tracciare con un tratto continuo partendo da un nodo qualunque.
2) Una figura che ha esattamente 2 nodi dispari si può essere tracciata con un tratto continuo partendo da uno di essi.
3) Le figure che hanno più di 2 nodi dispari non possono essere tracciate con un tratto continuo.
Ringrazio Giorgio Scioldo per le seguenti
considerazioni.
A proposito dei ponti di Konigsberg mi sono appena trovato a
doverlo spiegare a mio figlio di 9 anni, forse può essere interessante come
spiegazione "per bambini": ciascuno dei tre punti B, C ed E è collegato al
resto da tre ponti, per cui in ognuno di essi è possibile soltanto
uscire-entrare-uscire oppure entrare-uscire-entrare; quindi ognuno di essi
deve essere per forza un punto di inizio o di fine del percorso. Poichè una
linea può avere soltanto un punto di inizio ed un punto di fine, non possono
essercene tre, e quindi il problema non è risolvibile!
Alla luce di quanto spiegato, possiamo capire perché il rettangolo con le diagonali è un esercizio impossibile...
...mentre la casetta ha molte soluzioni.
5. Uno a tre dimensioni: dipingere gli spigoli di un
ottaedro
(inviato al Forum da Peppe)
Possiamo immaginare l'ottaedro come un grafo nello spazio: i
vertici sono i nodi, gli spigoli sono gli archi.
La rete di collegamenti può essere schematizzata nel piano da un grafo
equivalente.
Ciascun nodo ha grado pari, perciò esiste un percorso chiuso che passa per
tutti gli archi.
Nell'ordine il percorso passa per questi vertici: D, A, C, B, A, E, B, F, C,
D, F, E, D.
6. Altri esercizi
I tre esercizi qui sopra sono equivalenti e impossibili poiché
hanno 4 nodi dispari.
Le figure qui sopra sono equivalenti e, avendo solo nodi pari,
possono essere tracciate partendo da uno qualunque dei nodi.
Questo esercizio è impossibile.
Anche l'ultimo è impossibile perché ha 4 nodi dispari.
7. Uno enigmatico
La figura è formata da ben 8 nodi dispari (di ordine 3), perciò non può
essere tracciata SUL PIANO con un unico tratto di penna.
Forse, se il disegno fosse la superficie di un nastro di Moebius o di un
Toro...
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