[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Senza staccare la penna dal foglio

1. Uno facile: la casetta
E' possibile disegnare la figura qui sotto senza mai staccare la penna dal foglio e percorrendo ogni segmento una sola volta?

2. Uno impossibile: il rettangolo
E' possibile percorrere la figura qui sotto con un solo tratto di penna percorrendo tutti i segmenti, ma ciascuno una sola volta?

3. Uno col trucco: scrivere 100
E' possibile scrivere il numero 100 su un foglio come si vede qui sotto senza mai staccare la punta della penna dal foglio?

4. Un grande classico: i ponti di Konisberg
Siamo a Konisberg, nel 1759.
Il fiume che attraversa la città si divide in due rami formando un'isola in corrispondenza della biforcazione.
Il territorio è diviso in 4 aree come si vede nella figura qui sotto: l'isola A, le due sponde B, C e la parte interna alla biforcazione D.
Le 4 aree sono collegate da 7 ponti:
A-C sono collegate dai ponti c, d;
A-B sono collegate dai ponti a, b;
D-A sono collegate dal ponte e;
D-C sono collegate dal ponte g;
D-F sono collegate dal ponte f;

E' possibile fare una passeggiata attraversando esattamente una sola volta tutti i ponti?

5. Uno a tre dimensioni: dipingere gli spigoli di un ottaedro
(inviato a Base Cinque da Peppe)
Si vogliono dipingere gli spigoli di un ottaedro senza mai staccare il pennello e senza ripassare sulla vernice già data.

6. Altri esercizi
Ecco alcuni altri esercizi. Quali sono possibili e quali impossibili?

figura

7. Uno enigmatico
Ringrazio Alberto Graziani per aver proposto questo esercizio
Non so se conoscete questa figura e il quesito che la accompagna, cioè quello di unire tutti i segmenti con un'unica linea senza mai staccare la penna dal foglio e passando una volta sola da ogni segmento.  

   
     

Risposte & riflessioni

1. Uno facile: la casetta

Ringrazio Jacopo Penazzi per le seguenti osservazioni e per la soluzione più rigorosa.
Il problema, a mio avviso, sta nel fatto che il quesito richiede di non percorrere uno stesso segmento più volte, il che, sempre a mio avviso, equivale a richiedere inoltre, che nessun segmento si intersechi con altri segmenti.

Mi scuso per la pignoleria, dovuta probabilmente ad una differente interpretazione del testo, ma io proporrei la seguente soluzione, ugualmente valida e priva di tale difetto (sempre riferita alla figura sopra riportata):
- partenza dal vertice C
- passo1: C-B
- passo2: B-F
- passo3: F-C
- passo4: C-D
- passo5: D-F
- passo6: F-E
- passo7: E-B
- passo8: B-A
- passo9: A-E
- passo10: E-D
In questo modo sono rispettati i due vincoli posti dal testo e inoltre non esiste alcun segmento che ne intersechi altri.

2. Uno impossibile: il rettangolo
Come dice il titolo stesso, il problema non può essere risolto.

3. Uno col trucco: scrivere 100
Si piega il foglio e si scrive 100 come illustrato nella figura qui sotto.

Si rimette a posto la piegatura ed ecco il risultato.

5. Un grande classico: i ponti di Konisberg
Il problema dei ponti di Konisberg si può ricondurre alla seguente figura.
E' possibile tracciarla con un solo tratto di penna senza mai staccare la penna dal foglio e percorrendo tutte le linee esattamente una volta?
Non è possibile!

Una figura di questo tipo, formata da punti nodali (A, B, C, D) e da linee che li congiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama grafo.
I punti A, B, C, D si chiamano nodi.
Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archi ( o lati o segmenti)
Le superficie chiuse limitate da una serie di archi si chiamano regioni.
Il numero di archi che escono da un nodo si chiama ordine del nodo. Ad esempio l'ordine del nodo A è 5 mentre l'ordine del nodo D è 3.
Quando si dice "nodo pari" o "nodo dispari" si intende rispettivamente "nodo di ordine pari" o "nodo di ordine dispari"

La possibilità di tracciare grafi con un solo tratto di penna è è soggetta alle seguenti leggi:

Ringrazio Giorgio Scioldo per le seguenti considerazioni.
A proposito dei ponti di Konigsberg mi sono appena trovato a doverlo spiegare a mio figlio di 9 anni, forse può essere interessante come spiegazione "per bambini": ciascuno dei tre punti B, C ed E è collegato al resto da tre ponti, per cui in ognuno di essi è possibile soltanto uscire-entrare-uscire oppure entrare-uscire-entrare; quindi ognuno di essi deve essere per forza un punto di inizio o di fine del percorso. Poichè una linea può avere soltanto un punto di inizio ed un punto di fine, non possono essercene tre, e quindi il problema non è risolvibile!

Alla luce di quanto spiegato, possiamo capire perché il rettangolo con le diagonali è un esercizio impossibile...

...mentre la casetta ha molte soluzioni.

5. Uno a tre dimensioni: dipingere gli spigoli di un ottaedro
(inviato al Forum da Peppe)
Possiamo immaginare l'ottaedro come un grafo nello spazio: i vertici sono i nodi, gli spigoli sono gli archi.
La rete di collegamenti può essere schematizzata nel piano da un grafo equivalente.
Ciascun nodo ha grado pari, perciò esiste un percorso chiuso che passa per tutti gli archi.
Nell'ordine il percorso passa per questi vertici: D, A, C, B, A, E, B, F, C, D, F, E, D.

6. Altri esercizi


I tre esercizi qui sopra sono equivalenti e impossibili poiché hanno 4 nodi dispari.


Le figure qui sopra sono equivalenti e, avendo solo nodi pari, possono essere tracciate partendo da uno qualunque dei nodi.


Questo esercizio è impossibile.

Anche l'ultimo è impossibile perché ha 4 nodi dispari.

7. Uno enigmatico
La figura è formata da ben 8 nodi dispari (di ordine 3), perciò non può essere tracciata SUL PIANO con un unico tratto di penna.
Forse, se il disegno fosse la superficie di un nastro di Moebius o di un Toro...


Sito Web realizzato da Gianfranco Bo