[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Diagonali: chi sono costoro, e quante sono?

Domanda 1: quante diagonali ha un poligono?

Domanda 2: quante diagonali ha un poliedro?

Risposta 1
Il numero d di diagonali di un poligono (di Jordan) di v vertici è:

d = v(v-1)/2 - v

ovvero:

d = v(v-3)/2

Risposta 2
Il numero d di diagonali di un poliedro (euleriano) di v vertici e s spigoli è:

d = v(v-1)/2 - s

Spiegazione sintetica
Niente panico! I termini "poligono di Jordan" e "poliedro euleriano" indicano quello che comunemente s'intende per "poligono" e "poliedro". In breve:

a) Poligonale di Jordan = linea spezzata chiusa piana che non si interseca e che divide il piano in due regioni chiamate interna ed esterna. In termini più tecnici una poligonale è un caso particolare di curva di Jordan.
b) Poligono = figura piana formata da una poligonale e dalla parte di piano interna ad essa.
c) Diagonale di un poligono = segmento che congiunge due vertici non appartenenti ad uno stesso lato.
d) Poliedro euleriano = solido senza "buchi passanti" limitato da facce che sono poligoni. Poliedro per cui vale la formula di Eulero: F - S + V = 2 (Facce - Spigoli + Vertici = 2). Insomma, se immaginate di gonfiarlo, diventa un pallone!
e) Diagonale di un poliedro = segmento che congiunge due vertici non appartenenti ad uno stesso spigolo.

Il linguaggio dei poliedri
Le due figure seguenti illustrano i principali elementi dei poliedri: vertice, spigolo, faccia, diagonale.

fig
I principali elementi di un poliedro

AB e AC sono diagonali del poliedro. In particolare AB è una diagonale di una faccia mentre AC è una diagonale interna.

fig
Diagonali di un poliedro

Il numero delle diagonali di un poligono.
Immaginate v punti nel piano, vertici di un poligono di v lati.
Se colleghiamo ciascun vertice con tutti gli altri, quanti segmenti distinti possiamo individuare?
Poiché ciascuno dei v punti è collegato con altri (v-1) punti, la risposta sembrerebbe essere v(v-1).
In realtà bisogna dividere il risultato per 2 perché ogni collegamento è stato contato 2 volte. Ad esempio, per due punti A, B, è stato contato sia il collegamento AB che il collegamento BA.

Dunque, v punti nel piano individuano v(v-1)/2 segmenti.

Ma se vogliamo calcolare quante sono le diagonali dobbiamo sottrarre il numero dei lati, che è v.
d = v(v-1)/2 - v = v(v-3)/2

Il numero delle diagonali di un poliedro
Immaginate v punti nello spazio, vertici di un poliedro.
Come nel caso precedente, essi determinano v(v-1)/2 segmenti.
Se vogliamo calcolare quante sono le diagonali del poliedro dobbiamo sottrarre il numero degli spigoli, e qui viene il difficile!
Infatti conoscendo soltanto il numero dei vertici di un poliedro, non possiamo sapere né quanti sono gli spigoli, né quante sono le facce.
Ad esempio, un prisma triangolare e un ottaedro hanno entrambi 6 vertici, ma:
a) il prisma ha 9 spigoli e 5 facce;
b) l'ottaedro ha 12 spigoli e 8 facce.
In ognuno dei due casi, comunque, vale la formula di Eulero: F - S + V = 2.

Quindi, per calcolare il numero di diagonali, d, di un poliedro occorre conoscere anche il numero degli spigoli, s, oltre a quello dei vertici, v, e la formula è:

d = v(v-1)/2 - s

Applichiamo la formula ad alcuni poliedri

a) Prisma triangolare: v=6, s=9
d = 6 x 5 : 2 - 9 = 6

fig
Prisma triangolare

b) Ottaedro: v=6, s=12
d = 6 x 5 : 2 - 12 = 3

fig
Ottaedro

c) Tetraedro: v=4, s=6
d = 4 x 3 : 2 - 6 = 0
Il tetraedro è un poliedro senza diagonali!

fig
Tetraedro

d) Dodecaedro: v=20, s=30
d = 20 x 19 : 2 - 30 = 160

fig
Dodecaedro

Un altro modo per calcolare il numero di diagonali del dodecaedro (questa tecnica vale anche per tutti gli altri poliedri).
Da ogni vertice, ad esempio A, escono 10 diagonali interne al poliedro. Poiché i vertici sono 20, in tutto abbiamo 20 x 10 : 2 = 100 diagonali interne.
Inoltre su ogni faccia pentagonale si trovano 5 x 3 : 2 = 5 diagonali. In tutto abbiamo 5 x 12 = 60 diagonali nelle facce.
Complessivamente le diagonali del dodecaedro sono quindi 100 + 60 = 160.

e) Icosaedro troncato: (il pallone da calcio) v=60, s=90
d = 60 x 59 : 2 - 90 = 1680

fig
Icosaedro troncato

Due esercizi
Quante diagonali ha una piramide a base quadrangolare?

Piramide a base quadrangolare

Quante diagonali ha un cubo?

Cubo

Un esempio con un poliedro concavo
Nel "poliedro a L" qui sotto si notano:
QR, una diagonale completamente esterna;
QS, una diagonale che giace in parte all'esterno e in parte all'interno del poliedro;
QP, una diagonale che giace su una faccia;
RT, una diagonale interna al poliedro.

Nel poliedro a L: v=12, s=18
d = 12 x 11 : 2 - 18 = 48

fig
Questo poliedro a L ha 48 diagonali

Diagonali interne: un problema da esaminare caso per caso
Sia i poligoni sia i poliedri possono avere:
a) diagonali completamente interne
b) diagonali prazialmente interne
c) diagonali esterne (tranne gli estremi)
Non esiste una formula generale per calcolare il numero di diagonali interne. Bisogna esaminare le figure caso per caso.
Nel caso dei poliedri convessi, tuttavia, si può applicare un semplice algoritmo.

diag. interne = diagonali - somma delle diagonali di tutte le facce

Un esempio: le diagonali interne dell'ottaedro troncato
v=24, s=36, f=14, di cui 6 quadrati e 8 esagoni

fig
Ottaedro troncato

Diagonali del poliedro: d = 24 x 23 : 2 - 36 = 240
Diagonali dei quadrati: 2 x 6 = 12
Diagonali degli esagoni: 9 x 8 = 72
Diagonali interne del poliedro = 240 - (12 + 72) = 156

Alcune precisazioni sulle diagonali

Nella fig. 1 vedete un vecchio amico di famiglia: un rettangolo e una sua diagonale, AB. Le diagonali del rettangolo giacciono completamente all'interno della figura.

fig
Figura 1

Nella fig. 2 vedete un esagono concavo e tre sue diagonali. La diagonale CD è esterna al poligono, mentre la diagonale DE giace in parte all'esterno e in parte all'interno del poligono.

fig
Figura 2

Nella fig. 3 è rappresentato un poligono piuttosto contorto. I vertici F, G, H giacciono sulla stessa retta. Perciò sul segmento FH possiamo individuare ben tre diagonali: FG, GH, FH.

fig
Figura 3

La figura 4 sembra più semplice ma presenta quattro punti allineati, M, N, O, P, e due di essi sono vertici del lato OP. Quindi sul segmento MP si possono individuare un lato e ben cinque diagonali: MN, MO, MP, NO, NP.

fig
Figura 4

Data creazione: aprile 2006

Ultimo aggiornamento: aprile 2006

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