[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Il problema di Tammes

... e le sfere di bicchieri

Procuratevi una pinzatrice e 100 bicchierini di plastica, di quelli piccoli, da caffé.

Facoltativo uno spray argentato o dorato.

Prima prova: bicchieri sul piano

Prendete 1 + 6 + 12 + 18 + 24 + ... biccheri.

Posate un bicchiere in mezzo alla tavola.

Mettetegli intorno altri 6 bicchieri. Ci stanno perfettamente.

Aggiungete, intorno alla struttura altri 12 bicchieri e poi altri 18 e poi...

Potete andare avanti all'infinito. Ricoprirete l'intero piano con una pavimentazione regolare.

Seconda prova: bicchieri nello spazio

In questa prova dovete unire i bicchieri con due punti di pinzatrice, uno vicino al fondo e uno vicino al bordo.

Come nella prova precedente, partite da un bicchiere e attaccategliene altri 6 tutto intorno.

Poiché i bicchieri sono conici e non cilindrici, le loro basi non stanno su un piano ma tendono a disporsi su una superficie curva tridimensionale.

Attaccate allo stesso modo altri 12 bicchieri e poi altri 18.

I bicchieri tendono a formare una sfera ma ben presto ci si accorge che non si possono più disporre in modo regolare, come nella prima prova. Inevitabilmente si devono lasciare spazi vuoti irregolari fra i bicchieri.

Alla fine, se non forziamo troppo le attaccature fra un bicchiere e l'altro, si forma proprio una sfera.

Possiamo trasformarla in un lampadario o in una decorazione natalizia.

Ci sono voluti 96 bicchieri per fare la sfera che vedete qui sotto.

Usando bicchieri di due misure diverse si possono costruire due sfere, una grande e una piccola e assemblarle per formare il tradizionale pupazzo di neve, all'inizio della stagione invernale.

A che cosa assomiglia la sfera di bicchieri?

A me ricorda...

• L'occhio composto degli insetti?

Occhio composto di moscerino

(Raija Peura, University of Oulu Institute of Electron Optics)

• Le diatomee?

Aulonia hexagona

(http://www.microscopy-uk.org.uk)

• I granuli di certi pollini?

Pollini

(http://en.wikipedia.org/wiki/Pollen)

Il problema di Tammes

Il problema di Tammes prende il nome dal botanico olandese Pieter Merkus Lambertus Tammes (1903-1980) che pose la questione nel 1930 in relazione allo studio dei pori sui granelli sferici di polline.

Il problema di Tammes si può formulare nel modo seguente

• Come ricoprire, senza sovrapposizioni, la superficie di una sfera con n cerchi uguali in modo tale che il loro diametro d_n sia il più grande possibile?
• Come si devono sistemare questi cerchi in modo da raggiungere il massimo richiesto?
• La soluzione, per ogni n, è unica?

Ecco alcune soluzioni.

I diametri sono espressi come angoli solidi sottesi al centro della sfera.

Ecco una soluzione per n=150 (non si sa se è quella ottima)

(http://www.buddenbooks.com/jb/images/150a5.gif)

Note.

• La versione originale del problema di Tammes si trova in: Pieter Merkus Lambertus Tammes, On the origin of number and arrangement of the places of exit on the surface of pollen-grains , Amsterdam, J. H. de Bussy, 1930.
• La soluzione per n=14 si trova nell'articolo di Oleg R. Musin, e Alexey S. Tarasov, The Tammes problem for N=14, pubblicato su ArXiv il 9 ottobre 2014, arXiv:1410.2536v1.

---

Pace e bene a tutti!

GfBo

Data creazione: dicembre 2011

Ultimo aggiornamento: dicembre 2014

xhtml 1.1

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo