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Premonizione di Fibonacci

Indovinare un numero pensato,
utilizzando una serie simile a quella di Fibonacci

Ringrazio Enrico Delfini per aver postato questo meraviglioso gioco al Forum.

Ri-propongo, ad un pubblico ormai notevolmente variato, un mio "gioco di premonizione" basato sulla tendenza a phi del rapporto fra termini progressivi della serie del buonaccione.
Il gioco, che si può proporre in una serata fra amici, non troppo rumorosa, meglio se con una calcolatrice a disposizione, si svolge così.

• Come prima mossa scrivete su un foglio ",618" , chiudete il foglio in una busta e la appendete in bella vista al lampadario che pende sul tavolo.

• Si chiede alla cavia A di pensare un numero (per comodità si può indicare il range 1-1000);

• la cavia B ne penserà un altro;

• la cavia C deciderà in modo indipendente quale dei due numeri deve essere il primo e quale il secondo della lista.

• Sempre senza far vedere al "mago" i numeri, questi vengono incolonnati e danno il via alla somma a catena tipo Fibonacci (es.: 333 - 12 - 345 -357 -702 - 1059 - ...). Si fa procedere per una quindicina di passaggi.

• Alla fine, una quarta cavia D deciderà se dovrà essere calcolato il quoziente fra l'ultimo e il penultimo numero , o se verrà fatta la divisione fra il penultimo e l'ultimo.

• A questo punto, fate cancellare la parte intera del numero ottenuto e fate aprire la busta appesa al lampadario.

Sono possibili varianti sia a semplificare che a rendere ancora più incredibile il tutto. Specialmente nel momento della scelta dei due primi termini, si possono proporre tutte le opzioni possibili ("volete che invertiamo i primi due numeri?" "volete che moltiplichiamo per 5 uno dei due termini?" "volete sostituirne uno con lo zero?") Il risultato di qualunque manipolazione non può fare altro che, al massimo, spostare il tutto di uno o due passi; ma dopo una quindicina di passaggi, è ininfluente. Lo si vede bene ipotizzando le due situazione limite, a confronto con la Fibonacci vera:
0 - 100 - 100 - 200 - 300 - 500
100 -100 - 200 - 300 - 500
100 - 0 - 100 - 100 - 200 - 300 - 500

Ultimo aggiornamento: marzo 2005

Risposte & riflessioni

Potete trovare il problema originale di Fibonacci nella pagina: La successione di Fibonacci.

Definizione della successione di Fibonacci
Prendendo lo spunto dal famoso problema dei conigli, la successione di Fibonacci può essere definita così:

• i primi 2 elementi sono 1, 1;
• ogni altro elemento è dato dalla somma dei due che lo precedono.

Chiamando Fib(n) la successione di Fibonacci, abbiamo la seguente definizione matematica:

• Fib(1) = 1
• Fib(2) = 1
• Fib(n) = Fib(n-2)+Fib(n-1) per n = 3, 4, 5, ...

La successione di Fibonacci, dunque, è:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Nota: in base a questa definizione si può assumere convenzionalmente Fib(0) = 0.

Si osservi che la funzione Fib(n) è ricorsiva, cioè è definita in termini della funzione stessa.

il rapporto fra due termini successivi della sequenza di Fibonacci tende a "phi" (), il famoso rapporto aureo.

Fib(n)/Fib(n-1) -> = (5 + 1)/2

Ma che cos'é ?
Prendiamo un segmento di lunghezza 1.
Dividiamolo in 2 parti tali che la prima sia media proporzionale fra l'intero segmento e la parte restante.
è proprio il rapporto fra l'intero e la più lunga delle due parti.
E' facile ricavare , basta risolvere la proporzione:
1 : x = x : (1-x)

Si ottiene l'equazione di secondo grado:
x² + x - 1 = 0

che ha come radici:
x₁ = (5 - 1)/2
x₂ = (-5 - 1)/2

Quanto vale ?
= 1/x1 = 2/(5 - 1) =  (5 + 1)/2 = 1,6180339887...
Il bello è che il reciproco di ha la stessa parte decimale di :
1/ = 0,6180339887...

Il gioco di Enrico Delfini si basa sul fatto che il rapporto g(n)/g(n-1) tende a anche se si parte da due numeri iniziali diversi da quelli della sequenza di Fibonacci, purché la nuova sequenza sia costruita con le stesse regole di quella di Fibonacci.

Come si vede nella tabella qui sotto, arrivati al 15 termine, i rapporti sono uguali fino alla quarta cifra decimale.

Aggiungo due interventi postati al Forum.

[> Re: Serie reciproca di Fibonacci -- Lucky, 20/03/05 13:24 [1]

Il giochino di ED-Enrico, con tutte le sue varianti fatte per stupire l'uditorio, si basa ovviamente sul fatto che tutte le serie "additive" (quelle cioè in cui un termine è uguale alla somma dei due termini precedenti) hanno la proprietà che il rapporto tra un termine e il precedente tende a "phi" man mano che i termini della successione crescono.

Per le altre proprietà tutto dipende dalla particolarità di "phi" che è la soluzione positiva dell'equazione

1) x^2-x-1=0

Quindi, se il rapporto tra un termine e il precedente è all'incirca uguale a phi, il rapporto reciproco è

2) 1/phi = phi -1

come si ottiene dalla 1) sostituendo phi a x. Inoltre, aggiungendo phi ai due membri della 2) si ha:

3) 1/phi + phi = sqr(5)

poichè sqr(5) = 2*phi -1

Naturalmente, se i termini che si sommano invece di due sono tre, cambia il valore del rapporto (aumenta) e, se il numero di termini sommati tende all'infinito, il rapporto tende a 2 (anche questo sarebbe bello dimostrare!).

A Gianfranco e Pasquale dico: immaginavo che non fosse proprio semplice il calcolo della somma, ma non bisogna mai disperare. Chissà...

Continuiamo a pensarci su e, nell'attesa, un grande ciao.

[> Re: Serie reciproca di Fibonacci -- ED, 20/03/05 13:34 [1]

Vi svelo l'uso "truffaldino" per il quale inventai il giochino.
Avevo circa 20 anni (ed ero già un fibonaccianoconvinto); proponendo il gioco a gruppi di amici, li facevo contenti "dimostrando" la estrema affinità di coppia: infatti ogni "lui" e ogni "lei" completava i passaggi in segreto, ed era proibito, pena l'annullamento dell'aura magica, conoscere i valori degli altri. Se i numeri finali dei due fidanzati (allora si diceva così!) erano vicini, buon segno!!!
Mi sono fatto una certa fama di veggente...

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