[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Il dilemma del prigioniero

...e l'assioma di razionalità

Confessare o non confessare?

Aldo e Baldo sono sospettati di aver commesso una rapina insieme.

La polizia li arresta entrambi e li chiude in due celle separate, in modo che non possano comunicare.

Il giudice non ha prove sufficienti per poterli condannare, perciò offre a ciascuno di loro un accordo. Le regole dell'accordo sono le seguenti:

• se solo uno dei due confessa, implicando anche l'altro, chi ha confessato evita la pena mentre l'altro viene condannato a 7 anni di carcere;
• se entrambi confessano, entrambi sono condannati a 5 anni.
• se nessuno dei due confessa, entrambi sono condannati a 1 anno.

Qual è la migliore strategia per ciascuno di essi: confessare o non confessare?

credit: Poojadfp's Blog

L'assioma di razionalità

Per risolvere il dilemma è utile conoscere l'assioma di razionalità che è alla base della teoria dei giochi.

L’assioma di razionalità afferma che: nessun giocatore sceglierebbe mai una strategia se ne ha a disposizione un’altra che gli permette di ottenere risultati migliori, qualunque sia il comportamento dell’avversario.

Ma... che cosa significa "ottenere risultati migliori"?

Significa che il giocatore è in grado di ordinare le sue preferenze.

”Ordinare le sue preferenze” vuol dire che, dati due risultati x e y (esempio: x =disporre di 4000 euro e y = avere un biglietto aereo per i Caraibi), il giocatore è sempre in grado di dire se per lui:
a) x è meglio di y (x > y),
b) y è meglio di x (y > x),
c) o se sono allo stesso livello (x = y).
(tratto da Alessandro Agnetis, Introduzione alla Teoria dei Giochi)

Spesso si assume che un decisore, oltre che razionale, sia anche intelligente. Questo termine indica semplicemente la capacità logica di saper riconoscere le azioni necessarie per massimizzare la propria utilità, ossia per agire in modo razionale.
(tratto da Alessandro Agnetis, Introduzione alla Teoria dei Giochi)

Giochi cooperativi/non cooperativi

Il dilemma del prigioniero è un esempio di gioco non cooperativo.

Che cosa significa?

Giochi cooperativi (J. Von Neumann): si studia il formarsi di coalizioni con accordi sottoscritti e vincolanti che possono essere di vantaggio ai singoli componenti.

Giochi non cooperativi (Nash): si studiano i meccanismi delle decisioni dei singoli sulla base di ragionamenti individuali in assenza di alleanze vincolanti. Non c’è spazio per la cooperazione perchè gli interessi sono contrastanti anche se ciò non significa necessariamente che una delle parti deve perdere per forza.
(tratto da Anna Grazia Quaranta, Teoria dei Giochi ed Applicazioni in Economia)

La soluzione del dilemma

Detto questo, qual è la miglior strategia per ciascuno dei due sospettati?

La seguente tabella (bimatrice dei payoff) sintetizza gli esiti delle singole scelte.

Ciascuno dei due vuole ridurre al minimo il tempo trascorso in prigione qualunque sia la scelta dell'altro.

Aldo ragiona razionalmente così:

• Supponiamo che Baldo confessi. Allora ho 7 anni se non confesso e 5 anni se confesso.
  Quindi in questo caso mi conviene confessare.
• Supponiamo che Baldo non confessi. Allora ho 1 anno se non confesso e 0 anni se confesso.
  Quindi in questo caso mi conviene di nuovo confessare.

Anche Baldo è razionale, perciò fa lo stesso ragionamento di Aldo.

In conclusione entrambi confessano, coinvolgendo il complice e si beccano 5 anni di carcere.

Ecco dove ci porta l'assioma di razionalità.

Se avessero ragionato in modo irrazionale avrebbero taciuto entrambi e sarebbero stati in carcere solo per un anno!

Il dilemma del prigioniero ripetuto

In questo caso, il gioco si fa una sola volta e finisce così.

In altri casi, diversi come contesto, ma uguali come "gioco", il dilemma tra due persone (o imprese) si può ripetere ciclicamente molte volte.

Allora la soluzione è diversa.

Ma questa è un'altra storia.

Data creazione: settembre 2012

Ultimo aggiornamento: settembre 2012

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