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Saggi e cappelli colorati

1. Il bioculato, il guercio e il cieco
In una oscura e umida prigione, tre saggi stanno scontando una lunga pena. Non è qui il caso di spiegare per quale motivo furono condannati ingiustamente all'ergastolo.
E' invece importante sapere che uno di essi ha la vista normale, il secondo ha un occhio solo e il terzo è completamente cieco.
Un giorno, il carceriere riunisce i tre prigionieri e dice loro:
"Da un gruppo di cinque cappelli, dei quali tre sono bianchi e due rossi, ne sceglierò tre e ve li metterò in testa. Ciascuno di voi potrà vedere i cappelli dei propri compagni ma non il proprio cappello."
Il cieco chiede: "E io?"
Il carceriere gli risponde: "Ovviamente tu non potrai vedere nulla."
Il carceriere scglie tre cappelli e li mette in testa ai tre prigionieri.
Il carceriere si rivolge quindi al prigioniero con la vista normale e gli dice: "Ti offro la libertà se sai dire di che colore è il tuo cappello."
Il primo prigioniero risponde: "Non posso determinarlo."
Il carceriere si rivolge quindi al prigioniero con un occhio solo e gli dice: "Ti offro la libertà se sai dire di che colore è il tuo cappello."
Il secondo prigioniero risponde: "Non posso determinarlo."
Il carceriere dice: "Peccato, vi è andata male!"
Il prigioniero cieco, però, chiede: "E a me non chiedi di che colore è il mio cappello?"
Il carceriere risponde: "Non hanno saputo dirlo i tuoi compagni che ci vedono, e sai dirlo tu che sei cieco? Se sai dimostrare di che colore è il tuo cappello, avrai la libertà. Sentiamo."
Il prigioniero cieco risponde: "Da quanto hanno detto i miei saggi compagni che hanno la vista, io ho capito che il mio cappello é..."

Di che colore è il cappello del prigioniero cieco?

2. In fila indiana
Questa è una variante del problema precedente: Il bioculato, il guercio e il cieco.
In questo caso i tre saggi hanno tutti una vista normale ma vengono disposti in fila indiana. In questo modo, l'ultimo vede i due che lo precedono, il secondo vede il primo e il primo non vede nessuno degli altri due.
Inoltre si sa che il carceriere mette in testa ai tre saggi i tre cappelli bianchi.
Alla domanda: "Di che colore è il tuo cappello?"

• l'ultimo risponde: "Non lo so."
• il secondo risponde: "Non lo so."
• il primo risponde: "Il mio cappello è bianco!"

Come si spiega?

3. I tre filosofi
Tre filosofi, dopo aver a lungo discusso di logica, si addormentano sotto un albero.
Mentre dormono, tre uccellini depositano un piccolo escremento sulla fronte di ciascuno dei tre filosofi.
Dopo alcune ore, quando gli escrementi si sono asciugati a dovere, i tre filosofi si svegliano.
Guardandosi l'un l'altro, iniziano improvvisamente a ridere. Infatti ciascuno di essi vede l'escremento sulla fronte dei due compagni e, poiché i filosofi non sono santi, ride delle disgrazie altrui credendo di esserne immune.
Tuttavia, dopo alcuni istanti, il più filosofo dei tre smette di ridere perché si rende conto di avere anche lui un escremento sulla fronte.
Egli giunge a questa conclusione solo col ragionamento, senza tastarsi la fronte.

Qual è il ragionamento?
Perché egli è più filosofo degli altri?

Risposte & riflessioni

1. Il bioculato, il guercio e il cieco
Chiamiamo A, B, C i tre saggi prigionieri e seguiamo il ragionamento:

• Il carceriere si rivolge quindi al prigioniero con la vista normale (A) e gli dice: "Ti offro la libertà se sai dire di che colore è il tuo cappello."
  Il primo prigioniero risponde: "Non posso determinarlo."
  Egli potrebbe determinarlo solo se vedesse due cappelli rossi su B e C. In questo caso capirebbe di averne uno bianco.
  Perciò la sua risposta esclude che gli altri due prigionieri, B e C abbiano entrambi un cappello rosso.
• Il carceriere si rivolge quindi al prigioniero con un occhio (B) solo e gli dice: "Ti offro la libertà se sai dire di che colore è il tuo cappello."
  Il secondo prigioniero risponde: "Non posso determinarlo."
  Egli potrebbe determinarlo in due casi:
  a) se vedesse due cappelli rossi, su A e C;
  b) se vedesse su C un cappello rosso capirebbe di averne uno bianco. Infatti, se anche B avesse un cappello rosso, A avrebbe potuto rispondere, cosa che non ha fatto.
  Perciò la sua risposta esclude che C abbia un cappello rosso.

Ecco perché il prigioniero cieco risponde: "Da quanto hanno detto i miei saggi compagni che hanno la vista, io ho capito che il mio cappello é bianco."

2. In fila indiana
Il ragionamento è analogo al precedente.

• l'ultimo risponde: "Non lo so.", perché non vede due cappelli rossi.
• il secondo risponde: "Non lo so.", perché non vede un cappello rosso.
• il primo risponde: "Il mio cappello è bianco!", perché deduce che il secondo non ha visto un cappello rosso.

3. I tre filosofi
I tre filosofi ridono ma, essendo filosofi, pensano, anche.
Ecco i tre livelli di pensiero a cui può arrivare ciascuno di essi.

• Primo livello: se soltanto uno fosse sporco sulla fronte, sarebbero solo in due a ridere, quindi almeno due sono sporchi.
• Secondo livello: se soltanto due fossero sporchi riderebbero tutti, ma chi è sporco vedrebbe un solo altro sporco e dopo un po', per il ragionamento di primo livello, capirebbe di essere sporco e smetterebbe di ridere.
• Terzo livello: visto che nessuno smette di ridere allora ciascuno di essi vede altri due sporchi, dal che si deduce che sono tutti sporchi.

Il più filosofo dei tre è colui che giunge per primo a fare il ragionamento di terzo livello, il quale comporta, tra l'altro, di mettersi nei panni degli altri, cioè di chiedersi quello che gli altri stanno pensando.

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