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Testa o Croce per telefono

In che modo due persone che non si fidano l'una dell'altra possono giocare a "Testa o Croce" per telefono?

Chiarisco subito che questo è un vero problema, senza giochi di parole o sporchi trucchi del tipo: le due persone sono nella stessa stanza e si telefonano col cellulare.
I due giocatori, invece, si trovano in due diverse città e non possono in alcun modo vedersi.

Un match di "Testa o Croce" (non per telefono) funziona così:

• la prima persona tenta di prevedere che cosa uscirà al prossimo lancio e dice "Testa" oppure "Croce"

• la seconda persona lancia la moneta ed entrambe le persone guardano quale faccia della moneta è uscita.

• la prima persona guadagna 1 punto se la sua previsione si rivela esatta

• altrimenti il punto è della persona che ha lanciato la moneta

• i ruoli si invertono e si passa al prossimo match

E' evidente che se la partita avviene per telefono, chi lancia la moneta potrebbe mentire a proprio vantaggio e il suo avversario non avrebbe la possibilità di controllare.
E' possibile trovare una tecnica di gioco che non permetta di mentire a chi lancia la moneta?

Io propongo sempre questo problema ai miei alunni (scuola media) e una risposta molto frequente è questa: accanto a ciascun giocatore mettiamo un prete che faccia da garante dell'onestà delle risposte.
Una volta ho fatto notare che un prete potrebbe anche non rappresentare una garanzia assoluta della veridicità delle risposte. C'è bisogno di un metodo più sicuro.
Quella volta gli alunni si riunirono in fondo all'aula e, dopo aver confabulato a lungo, mi risposero: "Mettiamo DUE preti per ogni persona!"

Una precisazione: di solito propongo questo problema quando spiego la scomposizione di un numero in fattori primi.

Risposte & riflessioni

Un piccolo suggerimento.
Per risolvere il problema si potrebbe utilizzare una funzione matematica che avesse le seguenti caratteristiche:

• conoscendo il valore delle variabili dovrebbe essere facilissimo calcolare il valore della funzione
• conoscendo il valore della funzione dovrebbe essere difficilissimo calcolare il valore delle variabili

Ecco alcuni esempi:

• la radice cubica di un numero.
• la scomposizione in fattori primi di un numero (data la fattorizzazione è facile trovare il numero, dato il numero è più difficile trovare la fattorizzazione)

Roberto Callegari
In questo sito ho trovato la soluzione del problema del testa o croce x telefono. Mi sembra però piuttosto complicato per i ragazzi delle medie, dato che questa spiegazione tiene conto di concetti matematici del tipo universitario.
Il sito comunque è interessante e spiega parecchie cose. Saluti Roberto   http://www-math.science.unitn.it/~caranti/Didattica/Algebra2/00-01/Note/Algebra_2000-01/Algebra_2000-01.html

Ringrazio Roberto Callegari, ma lascio ancora aperto il quesito:
Vorrei dare, su BASE Cinque, una risposta significativa dal punto di vista logico-matematico e nello stesso tempo comprensibile anche ai ragazzi di prima media.

Gianfranco Bo
Il nocciolo della questione sta nel fatto che chi lancia la moneta deve dire l'esito prima che l'altro faccia la sua scommessa. Tale esito però deve essere crittografato in modo che l'altro possa verificarlo con grande difficoltà o solo dopo aver ricevuto la chiave. La quale per altro deve essere nota ad entrambi. Come è possibile?

Chiamiamo Aldo e Baldo le due persone.

Prima di iniziare a giocare, Aldo e Baldo decidono quale funzione utilizzare: la funzione deve essere facile da calcolare ma la sua inversa deve essere difficile da calcolare.
Tale funzione sarà utilizzata per crittografare gli esiti dei lanci.

Ad esempio:

• se viene "Testa" si scelgono 2 numeri primi molto grandi e si comunica il loro prodotto

• se viene "Croce" si scelgono 3 numeri primi molto grandi e si comunica il loro prodotto

Aldo lancia la moneta, calcola il valore della funzione e comunica a Baldo l'esito.
Se ad esempio viene "Croce", Aldo può scegliere 331, 419, 857 e comunicare 118.856.473
E' evidente che si impiega meno tempo a edeguire il prodotto che a fattorizzarlo.

Baldo, non appena ha ricevuto l'ultima cifra del numero 118.856.473 deve immediatamente e senza indugio comunicare ad Aldo la propria scelta, supponiamo che sia "Testa".
E' necessario che la risposta sia immediata perché Baldo, utilizzando un calcolatore, può ottenere in breve tempo la fattorizzazione del numero.

Aldo, a questo punto dirà: "Mi dispiace, hai perso, era venuto "Croce, i tre numeri sono 331, 419, 857."
Siccome la fattorizzazione è unica, non si può barare e Baldo può verificare la risposta con una semplice moltiplicazione.

Aldo, però, avrebbe ancora un margine per barare: potrebbe non lanciare la moneta ma decidere arbitrariamente "Testa" o "Croce" per ingannare l'avversario.
Baldo può difendersi lanciando a sua volta una moneta e scegliendo in base all'esito. In questo modo, anche se Aldo bara, la probabilità di indovinare rimane 1/2.

Per far capire la logica e la matematica del gioco nella scuola di base, sono sufficienti numeri primi di due o tre cifre, ma per mandare in crisi un computer sono necessari numeri primi di 90 cifre.

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