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  I pesci combattenti di Sam Loyd

Ringrazio Ivana Niccolai e Dino per aver inviato questo problema e la relativa risoluzione

Nel Siam vengono allevate due razze di pesci per le loro qualità combattive: un tipo grande di perca bianca, detta pesce reale e una carpa nera piccola, detta pesce diavolo.
Queste due specie si attaccano a prima vista e combattono fino alla morte.
Un pesce reale può far fuori uno o due pesci piccoli in pochissimi secondi.
Tre pesci diavolo, però, equivalgono esattamente a uno grande e in questo caso il combattimento può durare ore senza alcun risultato.
Se i piccoli pesci diavolo sono in 4, essi uccidono un pesce reale in tre minuti esatti; 5 pesci diavolo ucciderebbero un pesce reale in due minuti e 24 secondi; sei in due minuti e così via.

Se 4 pesci reali vengono messi di fronte a 13 pesci diavolo, quale schiera vince la battaglia e in quanto tempo, ammesso che i pesci piccoli cooperino nel modo più efficiente?

Risposte & riflessioni

Nove pesci piccoli formano tre gruppi da tre per tenere impegnati 3 pesci grossi, cioè 9 carpe combattono con tre perche, mentre gli altri 4 piccoli uccidono il quarto pesce grosso in tre minuti esatti. Rimangono, così, 13 pesci piccoli e soltanto 3 pesci grossi.

Due delle 4 carpe, adesso libere dopo aver eliminato la prima perca, vanno ad aiutare uno dei tre gruppi di combattimento ancora in atto, così 5 pesci piccoli uccidono uno grande in 2 minuti e 24 secondi; infatti:

4/5 = x/180
x = 144 secondi, ossia 2 minuti e 24 secondi

Le altre due carpe (sempre del gruppo di 4 che ha già ucciso un pesce grosso) si distribuiscono equamente negli altri due gruppi combattenti che, ora, vedono così, in ognuno di essi, 4 pesci piccoli contro 1 pesce grosso.
Dopo i 2 minuti e 24 secondi, i 5 pesci piccoli, terminato il loro combattimento, vanno in aiuto dei due gruppi combattenti rimasti, distribuendosi 3 in un gruppo e 2 nell'altro.
Nel gruppo in cui ora attaccano in 7, essi impiegano 20 secondi e 4/7 a uccidere la terza perca; infatti, poiché ai 4 pesci piccoli mancavano solo 36 secondi per concludere vittoriosamente la battaglia, ora in 7 impiegano solo 20 secondi e 4/7
Calcoli:
4/7 = x/36
x = 20 secondi e 4/7

Ormai, uccisa la terza perca, tutti e 13 i pesci piccoli attaccano l'ultimo pesce grosso
Calcoli:
6/4=36/x
x=24 secondi che impiegherebbero i 6 piccoli a uccidere il grosso (nel gruppo che era  di 6 piccoli)

Poiché alla fine tutti e tredici i pesci attaccano l'ultima perca, calcolo il tempo che andrà poi aggiunto a 5 minuti , 44 secondi e 4/7:
13/6 = (24 - (20 +4/7))/x
13/6 = (4 - 4/7)/x
x = 144/91 = 1 secondo e 53/91

In totale (per tutta la battaglia), per uccidere i 4 pesci grossi, vengono impiegati 5 minuti, 46 secondi e 2/13