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La bilancia infedele
La bilancia a bracci uguali che vedete in figura, quando
è vuota, è in equilibrio perfetto.
Evidentemente si tratta di una bilancia falsa ma, data la semplicità del meccanismo, dove sta la frode?
Qual è il vero peso dell'anello?
Note storiche
Questo problema compare per la prima volta in occidente in
Gerolamo Cardano, De Subtilitate, 1550.
Dalla Bibbia, Proverbi, -960.
Proverbi 11:1. "La bilancia falsa è un abominio per
l'Eterno. Ma il peso giusto gli è grato."
Proverbi 16:11. "La stadera e le bilance giuste appartengono
all'Eterno, tutti i pesi del sacchetto sono opera sua."
Proverbi 20:10. "Doppio peso e doppia misura sono ambedue in
abominio all'Eterno."
Proverbi 20:23. "Il peso doppio è in abominio all'eterno e
la bilancia falsa non è cosa buona."
Dal Corano,
Maometto, 630.
Sura 83. Al-Mutaffifîn (I Frodatori), versetti 1-3.
In nome di Allah, il Compassionevole, il Misericordioso.
1 Guai ai frodatori,
2 che quando comprano esigono colma la misura,
3 ma quando sono loro a misurare o a pesare, truffano.
Novembre 2004
La bilancia infedele
In realtà i bracci della bilancia non sono uguali ma
misurano rispettivamente 11 cm e 12 cm.
I due piatti vuoti hanno due pesi diversi in modo da equilibrare
la bilancia, ad esempio 12 g e 11 g.
La bilancia si comporta come una leva di primo genere.
Supponiamo di porre un oggetto di peso P sul piatto A.
Esso sarà equilibrato da un peso Pb, posto sul piatto B, tale che:
P : Pb = 12 : 11
Quindi Pb = (11/12)P
Viceversa, se poniamo lo stesso oggetto sul piatto B, esso sarà equilibrato da un peso Pa tale che:
P : Pa = 11 : 12
Quindi Pa = (12/11)P
Se vogliamo ottenere P, osserviamo che:
P^2 = (11/12)P * (12/11)P = Pa * Pb
P = sqr(Pa * Pb) nota: sqr = radice quadrata
Il vero peso dell'anello è quindi la media geometrica dei due pesi.
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