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Monete false e bilance

Mettete problemi nei vostri cannoni!
Pesare i pennies: un problema irresistibile ed inquietante. Esistono numerose versioni di questo problema. Le più diffuse richiedono di individuare una moneta falsa tra 12, in sole tre pesate comparative, sapendo che la moneta falsa ha un peso leggermente diverso da quelle vere, le quali hanno tutte lo stesso peso.

"It was said that the 'weighing-pennies' problem wasted 10,000 scientist-hours of war-work, and that there was a proposal to drop it over Germany."
"E' stato detto che il problema "pesare-i-pennies" fece sprecare (nel Regno Unito (?), durante la seconda guerra mondiale) 10.000 ore di lavoro scientifico che avrebbe dovuto essere dedicato a progetti bellici. Qualcuno propose di sganciarlo sulla Germania."
J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany, 1953

"We now come to a problem which is said to have been planted over here during the war by enemy agents, since Operational Research spent so many man-hours on its solution."
"Veniamo ora ad un problema di cui si dice che è stato diffuso qui (nel Regno Unito(?)), durante la guerra, dalle spie nemiche, visto che al Centro Operativo si impiegarono molte ore di lavoro per risolverlo."
Dan Pedoe, The Gentle Art of Mathematics, 1963

In effetti le prime versioni a stampa di questo problema risalgono al 1944, ma Walter W. Jacobs nel 1978 dichiarò di averlo ascoltato nel 1939 da due misteriosi individui. Egli tentò, in seguito, di rintracciarli ma non vi riuscì. E qui si perdono anche le tracce del problema.

Eccone alcune varianti.

1. Pesare i pennies: la mitica prima versione di Walter W. Jacobs, rivelata al pubblico nel 1944
Abbiamo 27 monete (pennies) apparentemente identiche. Una di esse però è falsa e pesa leggermente meno delle altre. Dobbiamo individuarla con non più di 3 pesate comparative.

Per le pesate comparative si utilizza una bilancia a bracci uguali e non si dispone dei pesi. Si possono soltanto confrontare i pesi di gruppi di monete opportunamente scelti.

2. La moneta falsa fra 3ⁿ
Abbiamo 3ⁿ (es. 3, 9, 27, 81, ...) monete apparentemente identiche. Una di esse però è falsa e pesa leggermente meno delle altre. Dimostrare che può essere individuata con non più di n pesate comparative.

3. La moneta falsa: una possibile generalizzazione del problema
Abbiamo n monete apparentemente identiche. Una di esse però è falsa e pesa leggermente meno delle altre. Qual è il numero minimo di pesate comparative necessarie per individuarla?

4. Il problema più difficile: quello delle 12 monete
Abbiamo 12 monete che sembrano identiche ma non lo sono. Una di esse ha un peso diverso dalle altre ma non sappiamo qual è e neppure se è più pesante o più leggera delle altre.
Dobbiamo scoprire qual è, con 3 pesate comparative utilizzando una bilancia a bracci uguali. Ah, dimenticavo: non abbiamo i pesi.

5. Sei palline colorate
Si hanno 2 palline rosse, 2 verdi e 2 blu, della stessa grandezza. Però una pallina rossa, una verde e una blu sono più pesanti delle altre ed hanno lo stesso peso. Anche le altre tre palline, più leggere delle prime, hanno lo stesso peso.
Si devono individuare le tre palline più pesanti con 3 pesate comparative.
Ah, dimenticavo: in ogni pesata, TUTTE le 6 palline devono stare sui piatti della bilancia!

6. Cinque palline
Si hanno 5 palline, apparentemente identiche. Tre di esse hanno lo stesso peso, la quarta è più pesante di una quantità x, e l'ultima è più leggera della stessa quantità x. In pratica la pallina più pesante e quella più leggera assieme, pesano come due palline normali.
Si devono individuare la pallina più pesante e quella più leggera con 3 pesate comparative.

7. Nove palline
Questo problema è simile al precedente, solo che si hanno 9 palline, apparentemente identiche. Sette di esse hanno lo stesso peso, l'ottava è più pesante di una quantità x, e la nona è più leggera della stessa quantità x. In pratica la pallina più pesante e quella più leggera assieme, pesano come due palline normali.
Si devono individuare la pallina più pesante e quella più leggera con 4 pesate comparative.

Risposte & riflessioni

1. Pesare i pennies: la mitica prima versione di Walter W. Jacobs, rivelata al pubblico nel 1944

• Prepariamo tre gruppi di 9 palline ciascuno.
  1° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 9 palline) si trova la pallina più pesante.
• Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 3 palline ciascuno.
  2° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 3 palline) si trova la pallina più pesante.
• Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 1 pallina ciascuno.
  3° pesata: confrontando due di queste palline possiamo individuare qual è la pallina più pesante.

2. La moneta falsa fra 3^n
Facendo tesoro del problema precedente e procedendo per induzione si può dimostrare che: n pesate comparative sono sufficienti per determinare l'unica moneta falsa fra 3^n sapendo se essa è più pesante o più leggera delle altre.

3. La moneta falsa: una possibile generalizzazione del problema
Un particolare ringraziamenti a Giorgio Tumelero, autore della soluzione che segue.

Sia M = {1, 2, ..., n} un insieme di n monete, uguali all'apparenza ma di cui una, chiamata x, pesa leggermente di meno, chiameremo potenza di M (e scriveremo potM = n) il numero di elementi contenuti in M. Sia data una partizione di M in tre sottoinsiemi M1, M2 e M3, senza elementi in comune, tali che

potM1 = potM2 = m<= n/2

potM3 = n - 2m

e

M1 + M2 + M3 = M.

Sia ancora P = M1 - M2 l'equazione di una pesata quando sul braccio di una bilancia vengono poste le m monete di M1 e sull'altro le m monete di M2. Avremo allora tre risultati possibili:

P = +

P = -

P = 0

a indicare che, rispettivamente, M1 pesa di più, di meno, lo stesso, di M2, ovvero che x appartiene, rispettivamente, a M2, a M1 o a M3.

Sia data infine la Legge del Peggior Caso LPC, che dice: qualsiasi pesata P ci farà trovare x nel sottoinsieme che ha il maggior numero di elementi.

CASO 1. Sia n = 2, M = {1, 2} . Avremo M1 = {1} , M2 = {2} e se

P = + allora x = 2

P = - allora x = 1

Basta una pesata per trovare x.

CASO 2. Sia n = 3, M = {1, 2, 3} . Avremo M1 = {1} , M2 = {2} , M3 = {3} e se

P = + allora x = 2

P = - allora x = 1

P = 0 allora x = 3

Basta una pesata per trovare x.

CASO 3. Sia n = 4, M = {1, 2, 3, 4} , abbiamo due partizioni possibili di M:

M1 = {1} , M2 = {2} da cui

P = 0 per la LPC e x appartiene a M3 = {3, 4} .

M1 = {1, 2} , M2 = {3, 4} da cui

P = + oppure P = - e x appartiene a M1 o a M2, comunque a un sottoinsieme Mi di M con 2 elementi e dunque una pesata non basta. Ma se potMi = 2 possiamo fare come nel CASO 1 e dunque per n = 4 bastano due pesate. Ragionando per induzione, vediamo addirittura che finché potMi <=3 per ogni indice i, possiamo usare il CASO 1 o il CASO 2 per trovare x in due pesate, ovvero due pesate bastano per un massimo numero di monete dato da

potM1 = potM2 = potM3 = 3

ovvero per n = 3 + 3 + 3 = 9

CASO 4. Sapendo ora come usare solo due pesate per trovare x se 3<potM<=9, se M ha più di 9 monete ma può essere partizionato in tre sottoinsiemi Mi tali che potMi<=9 per ogni indice i, con la prima pesata si scopre in quale Mi sta x, poi usando il ragionamento del CASO 3 si scopre quale moneta è la x.

Bastano tre pesate per trovare x.

CASO 4. Sapendo ora come usare solo tre pesate...

CONCLUSIONE. Se le monete sono in numero n>3p, ma n<=3p+1, bastano p+1 pesate per trovare x

4. Il problema più difficile: quello delle 12 monete
Un particolare ringraziamento ad Alberto Fabrizi, autore della soluzione che segue.

Definiamo BUONE le 11 palline di eguale peso e <D> la pallina di peso diverso.
Osserviamo preliminarmente che:
osservazione 1) avendo una riserva di "buone" è possibile individuare <D> fra due palline mediante il confronto di una di esse con una delle buone;
osservazione 2) qualora si sapesse che <D> abbia peso maggiore (o minore) basterebbe una sola pesata per individuarla fra tre palline.

Si proceda dunque nel modo seguente.
Si pongano su ciascuno dei due piatti quattro palline.
Possono verificarsi due casi:
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.

Esaminiamo ora i due casi possibili.

1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
Se hanno peso uguale, abbiamo costituito una riserva di otto buone, e <D> sta tra le altre quattro. Confrontiamo due di quest'ultime con due buone: se il peso è uguale, <D> starà fra le due palline mai pesate, altrimenti è una di queste due; la terza pesata, per l'osservazione 1, la individuerà.

2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Se dalla prima pesata il piatto sinistro risulta più pesante del destro, abbiamo una riserva di quattro buone. Dette SSSS le palline che sono state pesate nel piatto sinistro, DDDD quelle pesate nel piatto destro e BBBB quelle buone, operiamo la seconda pesata nel seguente modo: DSSS - SBBB (abbiamo scambiato di piatto due palline e sostituito tre palline del piatto
destro con tre buone).

A questo punto si hanno 3 sotto-casi.

• 1) Se il piatto sinistro continua a essere più pesante, sappiamo che <D> è una delle tre SSS dello stesso piatto, e sappiamo anche che la falsa è più pesante; con la terza pesata possiamo individuarla (per l'osservazione 2).

• 2) Se invece i piatti alla seconda pesata registrano lo stesso peso, sappiamo che <D> è una delle tre DDD sostituite sul piatto destro con tre buone, e sappiamo anche che <D> è più leggera; perciò <D> può essere individuata con la terza pesata (osservazione 2).

• 3) Se infine il piatto sinistro diviene più leggero, <D> è una delle due palline scambiate da un piatto all'altro, e anche in questo caso la terza pesata può individuarla (osservazione 1).

5. Sei palline colorate
Divido le 6 palline in 2 gruppi di 3.

• 1° gruppo: Rossa1 - Verde1 - Blu1
• 2° gruppo: Rossa2 - Verde2 - Blu2

Etichetto le palline nel seguente modo:
R1 - V1 - B1 - R2 - V2 - B2

1° pesata: metto i due gruppi sui due piatti della bilancia.
Si verifica uno dei seguenti casi. (+ significa "pallina più pesante", - significa "pallina meno pesante", < e > indicano lo stato della bilancia)

Considero soltanto i 4 casi in cui lo stato della bilancia è > perché gli altri si trattano allo stesso modo per simmetria, ovvero guardando la bilancia dalla parte opposta. E, naturalmente scambiando le etichette!
In pratica, concentro l'attenzione su questi 4 casi.

2° pesata: scambio sui piatti della bilancia B1 con B2.
Ho due sottocasi:

2a) lo stato della bilancia si conserva (>).
Questo avviene se e solo se originariamente avevo:

2b) lo stato della bilancia non si conserva (<).
Questo avviene se e solo se originariamente avevo:

3° pesata: rimetto B1 e B2 al loro posto e scambio R1 e R2.
Ho due sottocasi:

3a) lo stato della bilancia si conserva (>).
Questo avviene se e solo se originariamente avevo:

3b) lo stato della bilancia non si conserva (<).
Questo avviene se e solo se originariamente avevo:

E ora siamo alla resa dei conti.
Ma prima rimettiamo R1 e R2 al loro posto.
In base allo stato della bilancia nella 2° e nella 3° pesata, posso determinare che cosa c'è sul piatto sinistro e di conseguenza anche sul piatto destro.
Ecco la situazione:

Salvo errori ed omissioni...

Ringrazio Egidio Dell'Atti per questa risposta semplice e luminosa.
Mi sembra che sia possibile risolvere il caso in modo banale.
Notiamo che: due palline rosse pesano quanto due verdi e anche quanto due blu.
Quindi le 3 pesate sono:
R1,R2,V1 -------!------- B1,B2,V2
da cui si deduce quale pallina verde pesa di più.
Analogamente si procede per determinare le altre palline più pesanti.
R1,R2,B1 -------!------- V1,V2,B2
da cui si deduce quale pallina blu pesa di più.
V1,V2,R1 -------!------- B1,B2,R2
da cui si deduce quale pallina rossa pesa di più.

6. Cinque palline
Chiamo A, B, C, D, E le cinque palline.
Chiamo inoltre:

• n una pallina normale
• + la pallina più pesante
• - la pallina più leggera.

1° pesata: confronto AB con CD.
Ho 2 sottocasi possibili: hanno lo stesso peso oppure no.
1a) AB = CD
1b) AB > CD
Se AB < CD cambio le etichette.

Caso 1a) Sicuramente nel guppo ci sono le due palline incriminate. Ho 2 possibilità:
1a1) A+ B-
1a2) C+ D-
Gli altri 2 casi sono simmetrici, ovvero scambio le etichette.
2° e 3° pesata: con altre 2 pesate al massimo confronto A con B e C con D e determino chi è + e chi è -

Caso 1b)
Ho tre possibilità, a meno di simmetrie
1b1) An B+ > C- Dn
1b2) An Bn > C- Dn: in questo caso E+
1b3) An B+ > Cn Dn: in questo caso E-

2° pesata: confronto A con B.
Se A = B sono nel caso 1b2) perciò deduco che E+ e con la 3° pesata confronto C con D.
Se uno dei due è maggiore, poniamo B, deduco che B+ e con la 3° pesata confronto C con D: ho ancora due sottocasi: se sono uguali sono nel caso 1b3) perciò deduco che E-, se invece uno dei due è maggiore, poniamo D, deduco che C-.

7. Nove palline
Un particolare ringraziamento a Giorgio Tumelero, che ha inviato una soluzione incredibilmente ingegnosa di questo problema.
Riporto qui di seguito la lunga e-mail con le spiegazioni dell'autore, al quale vanno i nostri complimenti e la nostra ammirazione.
Alla e-mail segue una tabella riassuntiva.

Se mettiamo n palline a, b, ... nel piatto sinistro di una bilancia e altre n palline h, i, ... nel piatto destro, possiamo scrivere l'equazione di una pesata P in questo modo:

P = ab... - hi...

Se ora con con a, b, ecc. intendiamo i pesi delle palline a, b, ecc. possiamo altresi' scrivere:

P = (a+b+...) - (h+i+...)

e scriveremo P = + se le palline a sinistra pesano piu' di quelle a destra, ovvero se la somma algebrica P = (a+b+...) - (h+i+...) ha valore positivo.
Similmente scriveremo P = - se e' il contrario, oppure P = 0 se ambo le parti hanno lo stesso peso. Ora, distinguiamo le palline assegnando loro i numeri da 1 a 9, mentre assegneremo il valore-peso di 0 (zero) alle sette palline di ugual peso e valori-peso +1 e -1 alle due palline che pesano rispettivamente di piu' e di meno delle altre.
Per comodita' scriveremo inoltre ab = (1, -1) per dire che a=+1 e b=-1.
Siano ora le prime due pesate:

P1 = 123 - 456
P2 = 147 - 258

Sostituendo in esse i valori di tutte le possibili combinazioni formate dalla coppia pesante-leggera:
12 = (1, -1), 13 = (1, -1), ..., 19 = (1, -1),
23 = (1, -1), ..., 29 = (1, -1),
...
89 = (1, -1),
21 = (1, -1), 31 = (1, -1), ..., 91 = (1, -1),
32 = (1, -1),..., 92 = (1, -1),
...
98 = (1, -1),
otteniamo 72 coppie di risultati (P1, P2) cosi' suddivise:
nove coppie (+, 0)
nove coppie (0, +)
nove coppie (+, +)
nove coppie (+, -)
nove coppie (-, 0)
nove coppie (0, -)
nove coppie (-, -)
nove coppie (-, +)
Per esempio, se 18 = (1, -1):
P1 = (1 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 1 = +
P2 = (1 + 0 + 0) - (0 + 0 - 1) = 2 = +
dunque la coppia 18 e' una delle nove coppie di tipo (+, +)

Cominciamo con le nove coppie (+, 0). Scriviamo (+, 0) == (14, 25, 36, 39, 74, 85, 17, 28, 96) per dire che con 14 = (1, -1), 25 = (1, -1), ... le pesate P1 e P2 danno sempre + e 0 come risultato. Quindi, se con le prime due pesate otteniamo
(+, 0), ne deduciamo che la pallina pesante e' la 1 e quella leggera e' la 4, oppure la pesante e' la 2 e la leggera la 5, oppure...
Supposto dunque di avere (+, 0) come risultato di P1 e P2, ora facciamo:

P3 = 1245 - 3678

e sostituendo il numero della pallina con il suo valore otteniamo dalle nove
coppie i nove risultati:
P3 = 0, 0, 0, -, -, -, +, +, +
Per esempio, con 14 = (1, -1) allora
P3 = (1 + 0 + -1 + 0) - (0 + 0 + 0 + 0) = 0 = 0
Per esempio, con 74 = (1, -1) allora
P3 = (0 + 0 - 1 + 0) - (0 + 0 + 1 + 0) = -2 = -.
Scriviamo dunque:
(+, 0, 0) == (14, 25, 36)
(+, 0, -) == (39, 74, 85)
(+, 0, +) == (17, 28, 96)
Quindi, se con la terza pesata otteniamo 0, ne deduciamo che la coppia
pesante-leggera e' la 14, o la 25, o la 36, cioe' e' nella prima terna; se
P3 = -, ne deduciamo che e' nella seconda terna, se P3=+ e' nella terza
terna.
A questo punto facciamo le ultime pesate:

Se P3 = 0 allora:
(+, 0, 0) == (14, 25, 36) allora:
P4 = 1 - 2
e sostituendo il numero della pallina con il suo valore otteniamo i tre
risultati:
P4 = +, -, 0
ovvero se
P4 = + allora 12 = (1, -1);
P4 = - allora 25 = (1, -1);
P4 = 0 allora 36 = (1, -1).

Se P3 = - allora:
(+, 0, -) == (39, 74, 85) allora:
P4 = 3 - 7
e sostituendo il numero della pallina con il suo valore otteniamo i tre
risultati:
P4 = +, -, 0
ovvero se
P4 = + allora 39 = (1, -1);
P4 = - allora 74 = (1, -1);
P4 = 0 allora 85 = (1, -1).

Se P3 = + allora:
(+, 0, +) == (17, 28, 96) allora:
P4 = 1 - 2
e sostituendo il numero della pallina con il suo valore otteniamo i tre
risultati:
P4 = +, -, 0
ovvero se
P4 = + allora 17 = (1, -1);
P4 = - allora 28 = (1, -1);
P4 = 0 allora 96 = (1, -1).

Se con == intendiamo "le possibili coppie pesante-leggera sono", potremmo
sinteticamente scrivere tutte queste riflessioni cosi':

(P1, P2) = (+, 0) == (14, 25, 36, 39, 74, 85, 17, 28, 96)
(P1, P2, 1245-3678) = (+, 0, 0) == (14, 25, 36)
(P1, P2, 1245-3678) = (+, 0, -) == (39, 74, 85)
(P1, P2, 1245-3678) = (+, 0, +) == (17, 28, 96)
(P1, P2, 0, 1-2) = (+, 0, 0, +) == (14)
(P1, P2, 0, 1-2) = (+, 0, 0, -) == (25)
(P1, P2, 0, 1-2) = (+, 0, 0, 0) == (36)
(P1, P2, -, 3-7) = (+, 0, -, +) == (39)
(P1, P2, -, 3-7) = (+, 0, -, -) == (74)
(P1, P2, -, 3-7) = (+, 0, -, 0) == (85)
(P1, P2, +, 1-2) = (+, 0, +, +) == (17)
(P1, P2, +, 1-2) = (+, 0, +, -) == (28)
(P1, P2, +, 1-2) = (+, 0, +, 0) == (96)

Fine delle pesate per la coppia (P1, P2) = (+, 0).
Passiamo a (P1, P2) = (0, +):

(P1, P2) = (0, +) == (12, 45, 78, 32, 65, 79, 13, 46, 98)
(P1, P2, 1245-3678) = (0, +, 0) == (12, 45, 78)
(P1, P2, 1245-3678) = (0, +, -) == (32, 65, 79)
(P1, P2, 1245-3678) = (0, +, +) == (13, 46, 98)
(P1, P2, 0, 1-4) = (0, +, 0, +) == (12)
(P1, P2, 0, 1-4) = (0, +, 0, -) == (45)
(P1, P2, 0, 1-4) = (0, +, 0, 0) == (78)
(P1, P2, -, 3-6) = (0, +, -, +) == (32)
(P1, P2, -, 3-6) = (0, +, -, -) == (65)
(P1, P2, -, 3-6) = (0, +, -, 0) == (79)
(P1, P2, +, 1-4) = (0, +, +, +) == (13)
(P1, P2, +, 1-4) = (0, +, +, -) == (46)
(P1, P2, +, 1-4) = (0, +, +, 0) == (98)

Fine delle pesate per la coppia (P1, P2) = (0, +).
Passiamo a (P1, P2) = (+, +):

(P1, P2) = (+, +) == (19, 95, 15, 38, 75, 35, 18, 76, 16)
(P1, P2, 159-236) = (+, +, 0) == (19, 95, 15)
(P1, P2, 159-236) = (+, +, -) == (38, 75, 35)
(P1, P2, 159-236) = (+, +, +) == (18, 76, 16)
(P1, P2, 0, 15-24) = (+, +, 0, +) == (19)
(P1, P2, 0, 15-24) = (+, +, 0, -) == (95)
(P1, P2, 0, 15-24) = (+, +, 0, 0) == (15)
(P1, P2, -, 35-24) = (+, +, -, +) == (38)
(P1, P2, -, 35-24) = (+, +, -, -) == (75)
(P1, P2, -, 35-24) = (+, +, -, 0) == (35)
(P1, P2, +, 16-24) = (+, +, +, +) == (18)
(P1, P2, +, 16-24) = (+, +, +, -) == (76)
(P1, P2, +, 16-24) = (+, +, +, 0) == (16)

Fine delle pesate per la coppia (P1, P2) = (+, +).
Passiamo a (P1, P2) = (+, -):

(P1, P2) = (+, -) == (29, 94, 24, 37, 84, 34, 27, 86, 26)
(P1, P2, 249-136) = (+, -, 0) == (29, 94, 24)
(P1, P2, 249-136) = (+, -, -) == (37, 84, 34)
(P1, P2, 249-136) = (+, -, +) == (27, 86, 26)
(P1, P2, 0, 24-15) = (+, -, 0, +) == (29)
(P1, P2, 0, 24-15) = (+, -, 0, -) == (94)
(P1, P2, 0, 24-15) = (+, -, 0, 0) == (24)
(P1, P2, -, 34-15) = (+, -, -, +) == (37)
(P1, P2, -, 34-15) = (+, -, -, -) == (84)
(P1, P2, -, 34-15) = (+, -, -, 0) == (34)
(P1, P2, +, 26-15) = (+, -, +, +) == (27)
(P1, P2, +, 26-15) = (+, -, +, -) == (86)
(P1, P2, +, 26-15) = (+, -, +, 0) == (26)

Fine delle pesate per la coppia (P1, P2) = (+, -).

Per quanto riguarda le altre quattro coppie (P1, P2), si ottengono dalle
prime quattro gia' fatte scambiando tutti i segni + col segno - (e
viceversa) e scambiando ab con ba nelle coppie pesante-leggera.
Per esempio, il primo caso
(P1, P2) = (+, 0) == (14, 25, 36, 39, 74, 85, 17, 28, 96)
diventa
(P1, P2) = (-, 0) == (41, 52, 63, 93, 47, 58, 71, 82, 69)
(P1, P2, 1245-3678) = (-, 0, 0) == (41, 52, 63)
(P1, P2, 1245-3678) = (-, 0, +) == (93, 47, 58)
(P1, P2, 1245-3678) = (-, 0, -) == (71, 82, 69)
(P1, P2, 0, 1-2) = (-, 0, 0, -) == (41)
(P1, P2, 0, 1-2) = (-, 0, 0, +) == (52)
(P1, P2, 0, 1-2) = (-, 0, 0, 0) == (63)
(P1, P2, +, 3-7) = (-, 0, +, -) == (93)
(P1, P2, +, 3-7) = (-, 0, +, +) == (47)
(P1, P2, +, 3-7) = (-, 0, +, 0) == (58)
(P1, P2, -, 1-2) = (-, 0, -, -) == (71)
(P1, P2, -, 1-2) = (-, 0, -, +) == (82)
(P1, P2, -, 1-2) = (-, 0, -, 0) == (96)

La seguente tabella riassume la soluzione di Giorgio Tumelero.
In sintesi la tabella è così strutturata.

Sezione A
Elenco di tutti i 72 casi possibili in cui le due palline pesante-leggera possono essere distribuite in un insieme ordinato di 9 palline.

• Le palline sono numerate da 1 a 9.
• La posizione della pallina più pesante è indicata con il numero 1.
• La posizione della pallina più leggera è indicata con il numero -1.

Sezione B
Le prime 2 pesate permettono di dividere i 72 casi possibili in 8 gruppi di 9 casi ciascuno in base alle coppie di stati della bilancia.
Con l'espressione: Pesata abc...-def... si intende la pesata comparativa che si effettua mettendo le palline abc... sul piatto destro della bilancia e le palline def... sul piatto sinistro.
Lo stato della bilancia è indicato con tre simboli:

• 0 significa che la bilancia è in equilibrio;
• + significa che le palline a sinistra pesano più di quelle a destra;
• - significa che le palline a destra pesano più di quelle a sinistra.

Sezione C
La terza pesata, diversa a seconda dei casi, permette di dividere ciascun gruppo di 9 casi in 3 sottogruppi di 3 casi ciascuno.

Sezione D
La quarta pesata, infine, permette di capire quale dei tre casi individuati con la pesata precedente, corrisponde alla situazione in cui ci troviamo.
Di conseguenza, consultando la riga corrispondente nella sezione A, è possibile individuare la pallina più pesante e quella più leggera.
Ad esempio, se gli esiti delle 4 pesate, effettuate come indicato nella tabella, sono rispettivamente:

• pesata 1: +
• pesata 2: 0
• pesata 3: +
• pesata 4: -

questa sequenza è unica e corrisponde al caso 23.
Andiamo a consultare la Sezione A al caso 23 e sapremo che la pallina più pesante è la 2 mentre quella più leggera è la 8.

Salvo errori e/o omissioni...

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