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Passeggiate pitagoriche

1. Passeggiata triangolare
Pitagora ed Euclide, dopo aver a lungo discusso sulle rette parallele, si salutano.
Pitagora, il più lento, si dirige ad est.
Euclide, il più veloce, cammina verso nord ad una velocità pari a 3/2 di quella di Pitagora.
Dopo 5 minuti, Euclide si ricorda che deve dire una cosa a Pitagora, perciò si volta e si dirige esattamente verso quello che sarà il loro punto d'incontro.
Dopo quanto tempo si incontreranno?

2. Passeggiata triangolare (caso generale)
Due amici, dopo aver a lungo discusso sulle rette parallele, si salutano.
Il più lento, si dirige ad est alla velocità v.
Il più veloce, cammina verso nord alla velocità V.
Dopo un certo tempo t, Euclide si ricorda che deve dire una cosa a Pitagora, perciò si volta e si dirige esattamente verso quello che sarà il loro punto d'incontro.
Dopo quanto tempo si incontreranno?
Mahavira, 850 (con varianti)

3. I due stiliti
Due asceti, stanno meditando in cima ad una colonna alta 12 m.
Ad un certo punto scorgono un bellissimo fungo porcino distante 48 m dal piede della colonna.
Il Maestro, essendo capace di volare, ascende di X metri poi vola in linea retta verso il fungo.
Il discepolo, invece, scende scivolando lungo la colonna e va a piedi verso il fungo.
I due asceti viaggiano alla stessa velocità e raggiungono il fungo contemporaneamente.
Di quanti metri è asceso il Maestro?
Chaturveda, 860 (con varianti)

Risposte & riflessioni

1. Passeggiata triangolare
Applicando la formula trovata nella soluzione del caso generale (n. 2.)
T = 2tR²/(R²- 1)
si ha che:
T = 2*5*(9/4)/(9/4-1) = (90/4)/(5/4) minuti = 18 minuti.

2. Passeggiata triangolare (caso generale)
Indichiamo con T il tempo cercato, cioè quello dopo il quale si incontreranno.
La passeggiata avviene lungo il perimetro di un triangolo rettangolo di lati:

cateto1 (percorso dal più lento): vT
cateto2 (percorso dal più veloce): Vt
ipotenusa (percorsa dal più veloce): V(T-t)

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

v²T² + V²t² = V²T² + V²t² - 2V²Tt

Semplifichiamo:

v²T = V²T - 2V²t

Ricaviamo T:

T = 2tV²/(V² - v²)

E ora viene il bello.
Se conosciamo il rapporto tra le velocità, possiamo porre, ad esempio:
R = v/V; v = RV
ottenendo:

T = 2tR²/(R²- 1)

Questa formula ci permette di trovare T conoscendo soltanto t e il rapporto fra le velocità.

3. I due stiliti
Il discepolo percorre 12+48 metri in un tempo t1=60/v
Il maestro percorre uno spazio
x+SQRT(x^2+24x+144+2304)
in un tempo
t2=(x+SQRT(x^2+24x+144+2304))/v Siccome i tempi e le velocità sono uguali otteniamo: 60-x=SQRT(x^2+24x+144+2304) x^2-120x+3600=x^2+24x+2448 quindi x=1152/144=8 metri Non avendo notizie sul tempo impiegato per raggiungere il fungo, non possiamo stabilire a quale velocità andassero gli stiliti.

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