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Pesi e bilance

 Tutti i problemi di questa sezione hanno qualcosa a che fare
con la misura del peso o della massa

1. Dividere lo zucchero
Si ha una bilancia a bracci uguali e due soli pesi, uno di 10 g e l'altro di 40 g.
Con 3 sole pesate di deve separare 1800 grammi di zucchero in due parti rispettivamente di 400 e 1400 grammi.

2. Con soli 4 pesi
Le bilance a bracci uguali sono corredate da una serie di pesi-campione che permettono di misurare tutti i pesi degli oggetti in un dato intervallo e con una certa precisione. Se si perde uno solo di questi pesi campione... sono guai. Quindi, meno ce ne sono e meglio è.
Un commerciante fece costruire 4 pesi-campione con i quali poteva misurare tutti i pesi, chilo per chilo (cioè con la precisione di 1 kg) da 1 a 40 chili.
Quanto pesava ciascuno dei 4 pesi campione?

3. Monete false (un vero classico)
Ci sono 10 pacchetti da 10 monete ciascuno.
Uno di essi contiene solo monete false mentre gli altri contengono monete vere.
Una moneta vera pesa 10 grammi, mentre una moneta falsa pesa 9 g.
è possibile, con una bilancia ad ago di precisione e una sola pesata, scoprire qual è il pacchetto delle monete false?
E se i pacchetti fossero stati 11?

4. Monete di cioccolato avvelenate
Abbiamo 5 sacchetti di monete di cioccolato da 1,1 kg ciascuno.
Alcuni sacchetti sono pieni di monete avvelenate, altri invece contengono soltanto monete buone. Ma non sappiamo né quanti, né quali.
Sappiamo, però che le monete buone pesano 10 g ciascuna mentre quelle avvelenate pesano 11 grammi.
Inoltre abbiamo una bilancia digitale che ha una portata massima di 5 kg e indica i pesi in grammi.
Com'è possibile, con una sola pesata scoprire quali sono i sacchetti pieni di monete avvelenate e quelli pieni di monete buone?

5. Risparmiare soldi con la bilancia automatica
Tre ragazzi A, B, C vogliono pesarsi con una bilancia automatica spendendo solo una moneta.
Salgono tutti e tre sulla bilancia e inseriscono la moneta.
La bilancia segna un peso di 117 kg. Per un pelo! Infatti la portata massima della bilancia è 120 kg.
Scende A e l'ago scende a 79 kg.
Scende B e l'ago scende a 45 kg.
Quanto pesa ciascuno dei tre ragazzi?
Facile vero?

6. La bilancia squilibrata
Un oggetto messo sul piatto destro di una bilancia a bracci (quasi) uguali pesa 5 g mentre se viene messo sul piatto sinistro pesa 9 g. Quanto pesa l'oggetto?

7. La bilancia e la frutta
Tre mele e una pera pesano quanto 10 prugne. Sei prugne e una mela pesano come una pera. Quante prugne sono necessarie per equilibrare una pera?

8. Le 3 palline
Si hanno 3 palline simili, una delle quali pesa leggermente di più delle altre. Come trovarla con una pesata comparativa su una bilancia a bracci uguali e senza pesi?

9. Le 27 palline
Si hanno 27 palline simili, una delle quali pesa leggermente di più delle altre. Come trovarla con tre pesate comparative su una bilancia a bracci uguali e senza pesi?

10. Le 9 palline e la bilancia romana
Abbiamo 9 palline che sembrano identiche.
Però non lo sono: una di esse ha un peso diverso dalle altre. Non sappiamo qual è e neppure se è più pesante o più leggera.
Abbiamo, inoltre, una bilancia romana, che ha un solo piatto e indica in grammi i pesi degli oggetti.
La domanda è: come facciamo per scoprire la pallina diversa con 3 pesate?

11. Le 12 palline
Abbiamo 12 palline che sembrano identiche ma non lo sono. Una di esse ha un peso diverso dalle altre ma non sappiamo qual è e neppure se è più pesante o più leggera delle altre. Originale, vero?
Dobbiamo scoprire qual è con 3 pesate comparative utilizzando una bilancia a bracci uguali.
Ah, dimenticavo: non abbiamo i pesi.

12. Mettere in ordine di peso
Cinque oggetti, aventi pesi diversi, si devono ordinare per pesi crescenti, cioè dal più leggero al più pesante.
Si ha a disposizione una bilancia a bracci uguali.
Come si possono ordinare correttamente i 5 oggetti con 7 pesate al massimo?

13. Pesi rossi, bianchi e blu
In passato sono stati proposti molti problemi concernenti pesi e bilance...Questo però è un po' particolare.
Avete sei pesi; due rossi,due bianchi,due blu (se non vi piacciono i colori sceglieteli voi).
In ogni paio uno dei due pesi è tre volte più dell'altro, ma le dimensioni sono le stesse (quindi non riconoscibili a vista) .
I tre pesi maggiori (uno per ogni colore)hanno lo stesso peso e altrettanto vale per i tre pesi minori.
In due pesate separate con una bilancia a piatti come è possibile identificare il peso maggiore di ogni paio?
Buon divertimento!
(proposto da Ronfo al Forum, 07/05/04)

14. Nuovo ed interessante problema su: Pesi e bilance
(Inviato al Forum da Alex, 13/06/04 19:28)
Per gli appassionati di problemi su pesi e bilance, ecco un problema impegnativo.

Ho 100 pesi, di cui 50 pesano esattamente 750 grammi mentre gli altri 50 sono di peso ignoto (ma non hanno tutti lo stesso peso).
Come posso trovare, con una bilancia a 2 piatti, ALMENO UNO TRA tutti i pesi che pesano esattamente 750 grammi con il minimo numero di pesate?
Spero di essere stato chiaro; anche perché questo problema a me è piaciuto molto.

Precisazione
Tra gli oggetti che hanno peso differente da 750 grammi 2 (o più) dei 50 potrebbero avere lo stesso peso, ma ve ne sono almeno 2 con peso differente tra loro.
Si potrebbe scrivere cosi: il peso=750 grammi è il peso che capita con maggiore frequenza nell'insieme (ed ha frequenza minima 50%).
Spero che cosi sia più chiaro.

Risposte & riflessioni

1. Dividere lo zucchero

• 1ª pesata: Si dividono i 1.800 grammi in due parti di 900 g. ciascuna.
• 2ª pesata: Una parte di 900 g. si divide in due parti di 450 g. ciascuna.
• 3ª pesata: Utilizzando i due pesi (40 + 10 = 50 g) si tolgono 50 g da una delle parti da 450 g, la quale rimane da 400 g. Il resto dello zucchero pesa 1400 g.

2. Con soli 4 pesi
Osserviamo dapprima che se abbiamo un insieme di pesi che ci permette di pesare da 1 a n chilogrammi, allora con un nuovo peso p=2n+1 kg possiamo arrivare a pesare fino a 3n+1 kg.

• Poniamo quindi: 3n+1 = 40 e otteniamo:
  n = 13
  p = 2n+1 = 27
  Il quarto peso è 27 kg e gli altri tre devono permetterci di pesare da 1 a 13 kg.
• Poniamo allora: 3n+1 = 13 e otteniamo:
  n = 4
  p = 2n+1 = 9
  Il terzo peso è 9 kg e gli altri due devono permetterci di pesare da 1 a 4 kg.

Procedendo analogamente, troviamo che gli ultimi due pesi sono di 3 e 1 kg.
In definitiva, i quattro pesi cercati sono: 1, 3, 9, 27 kg.

3. Monete false (un vero classico)
è sufficiente pesare un mucchio di monete così formato:
1 moneta dal primo pacchetto;
2 monete dal secondo pacchetto;
3 monete dal terzo pacchetto;
... e così via...
10 monete da decimo pacchetto.
Se tutte le monete fossero buone, il mucchio peserebbe:
10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 550 g
Se manca 1 g allora le monete false si trovano nel primo pacchetto.
Se mancano 2 g allora le monete false si trovano nel secondo pacchetto.
Se mancano 3 g allora le monete false si trovano nel terzo pacchetto.
...
Se mancano 10 g allora le monete false si trovano nel decimo pacchetto.

4. Monete di cioccolato avvelenate
Prendiamo:

• 1 moneta dal primo sacchetto
• 2 dal secondo
• 4 dal terzo
• 8 dal quarto
• 16 dal quinto
• 32 dal sesto

Pesiamo tutte le 63 monete assieme.
Se fossero tutte buone dovrebbero pesare 630 g.
Le monete di cioccolato avvelenate fanno aumentare il peso di 1 g ciascuna.
Ciascun sacchetto dà un aumento di peso che permette di individuarlo univocamente.
Ad esempio:

• se pesano 1 g in più allora le monete avvelenate stanno solo nel sacchetto 1
• se pesano 2 g in più, stanno solo nel sacchetto 2
• se pesano 3 g in più, stanno nei sacchetti 1 e 2
• se pesano 13 g in più, stanno nei sacchetti 1, 3, 4 perché 13 può essere ottenuto in un solo modo, sommando numeri presi dalla sequenza 1, 2, 4, 8, 16, 32, e cioè: 1 + 4 + 8. Tali numeri corrispondono ai sacchetti 1, 3, 4.
• e così via.

5. Risparmiare soldi con la bilancia automatica
117-79
79-45
45

6. La bilancia squilibrata
La situazione è la seguente:

P----a----F--------b--------5

9----a----F--------b--------P

dove F è il fulcro della bilancia, P il peso incognito, a, b le misure dei bracci.

Ringrazio Alessandro Venturi che ha inviato la soluzione corretta.
Se indico con:

P   (peso incognito)
a   (braccio corto)
b   (braccio lungo)
k<1 a/b (rapporto tra i bracci)

P*a = b*5
P*b = a*9

Questo sistema che impone l'uguaglianza dei momenti dei due bracci consente di risolvere il problema.

P = 5/k
P = 9*k

Ricavo k
9k = 5/k
9k^2 = 5
k = +-sqrt(5/9)

Ricavo P (sostituendo il valore positivo di k)
P = 9*sqrt(5/9) = 6,71

7. La bilancia e la frutta
Immaginiamo di mettere tutti i frutti su una bilancia:

• 3 mele + 1 pera + 6 prugne + 1 mela = 10 prugne + 1 pera

Togliamo 6 prugne e 1 pera da entrambi i piatti. La bilancia rimarrà in equilibrio.

• 4 mele = 4 prugne

Deduciamo che una mela pesa tanto quanto una prugna.
Sostituiamo nel secondo dato del problema le mele con altrettante prugne.

• 6 prugne + 1 prugna = 1 pera
• 7 prugne = 1 pera

Quest'ultima è la risposta.

8. Le 3 palline
Si confrontano due palline a caso.
Se la bilancia rimane in equilibrio, la pallina più pesante è la terza.
Se la bilancia non rimane in equilibrio, si può individuare qual è la pallina più pesante.

9. Le 27 palline

• Prepariamo tre gruppi di 9 palline ciascuno.
  1° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 9 palline) si trova la pallina più pesante.
• Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 3 palline ciascuno.
  2° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 3 palline) si trova la pallina più pesante.
• Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 1 pallina ciascuno.
  3° pesata: confrontando due di queste palline possiamo individuare qual è la pallina più pesante.

10. Le 9 palline e la bilancia romana
... in attesa di soluzione

11. Le 12 palline
Soluzione inviata da Alberto Fabrizi
Definiamo BUONE le 11 palline di eguale peso e <D> la pallina di peso diverso.
Osserviamo preliminarmente che:
osservazione 1) avendo una riserva di "buone" è possibile individuare <D> fra due palline mediante il confronto di una di esse con una delle buone;
osservazione 2) qualora si sapesse che <D> abbia peso maggiore (o minore) basterebbe una sola pesata per individuarla fra tre palline.

Si proceda dunque nel modo seguente.
Si pongano su ciascuno dei due piatti quattro palline.
Possono verificarsi due casi:
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.

Esaminiamo ora i due casi possibili.

1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
Se hanno peso uguale, abbiamo costituito una riserva di otto buone, e <D> sta tra le altre quattro. Confrontiamo due di quest'ultime con due buone: se il peso è uguale, <D> starà fra le due palline mai pesate, altrimenti è una di queste due; la terza pesata, per l'osservazione 1, la individuerà.

2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Se dalla prima pesata il piatto sinistro risulta più pesante del destro, abbiamo una riserva di quattro buone. Dette SSSS le palline che sono state pesate nel piatto sinistro, DDDD quelle pesate nel piatto destro e BBBB quelle buone, operiamo la seconda pesata nel seguente modo: DSSS - SBBB (abbiamo scambiato di piatto due palline e sostituito tre palline del piatto
destro con tre buone).

A questo punto si hanno 3 sotto-casi.

• 1) Se il piatto sinistro continua a essere più pesante, sappiamo che <D> è una delle tre SSS dello stesso piatto, e sappiamo anche che la falsa è più pesante; con la terza pesata possiamo individuarla (per l'osservazione 2).
• 2) Se invece i piatti alla seconda pesata registrano lo stesso peso, sappiamo che <D> è una delle tre DDD sostituite sul piatto destro con tre buone, e sappiamo anche che <D> è più leggera; perciò <D> può essere individuata con la terza pesata (osservazione 2).
• 3) Se infine il piatto sinistro diviene più leggero, <D> è una delle due palline scambiate da un piatto all'altro, e anche in questo caso la terza pesata può individuarla (osservazione 1).

Soluzione di Dario Uri
Si hanno 12 palline apparentemente tutte uguali, tuttavia è presente una pallina difettosa, più leggera o più pesante delle altre.
Avendo a disposizione una bilancia a doppio piatto, individuarla e determinare se sia più pesante o più leggera delle altre.
Questo problema, dove originariamente c'erano monete al posto delle palline, apparve per la prima volta nel 1945.

Identifico le palline con le lettere dalla A alla N, la difettosa con la X.
Prima Pesata = ABCD EFGH

Primo caso, scende un piatto (senza perdere di generalità diciamo quello di sinistra), sappiamo subito che X è in ABCD più pesante oppure in EFGH più leggera.
Seconda Pesata = ABCE DLMN.
Sappiamo che LMN sono regolari, allora ecco i tre casi possibili:
1) Scende ABCE, X è fra ABC ed è più pesante, in questo caso la terza pesata sarà confrontare A con B, se c'e equilibrio la pallina cercata è la C.
2) C'è equilibrio, allora X è fra FGH ed è più leggera. Terza pesata, confronto F con G.
3) Scende DLMN, allora X=D più pesante oppure X=E più leggera. La terza pesata sarà confrontare una di queste, diciamo D con una sicuramente regolare.

Secondo caso, i piatti restano in equilibrio. X è fra ILMN.
Seconda Pesata = ILM ABC.
Dato che ABC sono tutte regolari, se c'è equilibrio, X=N, e la terza pesata consiste nel confrontare N con A.
Se ILM è più pesante o più leggero, con la terza pesata , verranno testate I con L.

12. Mettere in ordine di peso
Premessa.
Disponendo di una bilancia a bracci uguali (comparativa):

• 2 oggetti si possono ordinare per peso con una sola pesata comparativa;
• 3 oggetti A, B, C, richiedono al massimo 3 pesate: la prima determina se A è più pesante di B; la seconda determina se B è più pesante di C; se B è più pesante di C, il problema è risolto, se invece C è più pesante di B occorre confrontare C con A.
• 4 oggetti richiedono al massimo 5 pesate;
• 5 oggetti richiedono al massimo 7 pesate.

Vediamo come.
Per semplicità indichiamo con A, B, C, D, E i pesi dei 5 oggetti.

• 1° Si confrontano A e B; supponiamo che A<B
• 2° Si confrontano C e D; supponiamo che C<D
• 3° Si confrontano B e D; supponiamo che B<D. A questo punto abbiamo gli elementi per ordinare due gruppi di 3 pesi:
  C<B<D
  A<B<D
• 4° Si confronta E con B.
• 5° Se E>B, confrontiamo E con D. Se E<B, confrontiamo E con A. In ogni caso, con questa pesata possiamo ordinare 4 pesi. Supponiamo che sia:
  A<E<B<D
• 6° Per la pesata 2, sappiamo la relazione che c'è fra C e D (C<D). Dobbiamo quindi soltanto conoscere la relazione tra C e gli altri 3 pesi. Confrontiamo dapprima C con E.
• 7° Se C>E, si confronta C con B. Se C<E, si confronta C con A. Con quest'ultima pesata possiamo mettere in ordine i 5 pesi dati.

13. Pesi rossi, bianchi e blu
Ho trovato questa possibile soluzione:
Chiamando R1 e R2 i 2 pesci rossi, BLU1 e BLU2 i due pesci blu, B1 e B2 i 2 pesci bianchi.
Su un piatto della bilancia pongo R1 e BLU1, sull'altro BLU2 e B1.
Ci sono 3 possibilità:

A)
1) R1 + BLU1 = BLU2 + B1
In questo caso basta confrontare BLU1 con BLU2
2) Se BLU1>BLU2 i tre pesi maggiori sono: BLU1, B1 e R2
2) Se BLU2>BLU1 i tre pesi maggiori sono: BLU2, B2 e R1

B)
1) R1 + BLU1 > BLU2 + B1
In questo caso basta confrontare R1+B1 con R2+B2
2) Se R1 + B1 > R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU1, B1 e R1
2) Se R1 + B1 = R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU1, B2 e R1
2) Se R1 + B1 < R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU1, B2 e R2

C)
1) R1 + BLU1 < BLU2 + B1
In questo caso basta confrontare R1+B1 con R2+B2
2) Se R1 + B1 > R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU2, B1 e R1
2) Se R1 + B1 = R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU2, B1 e R2
2) Se R1 + B1 < R2 + B2 i tre pesi maggiori sono: BLU2, B2 e R2

Soluzione inviata da Alex

14. Nuovo ed interessante problema su: Pesi e bilance
???

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