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La grande sfida

Algebrista contro abacista
Uomo contro computer

Abacist vs. Algorismist
da Gregor Reisch, Margarita Philosophica
Strassbourg, 1504

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Ringrazio Sprmnt21 dalle cui lettere ho estratto il seguente problema.

Computer contro uomo
Nell'ultimo numero (l'ottavo) del giornalino delle olimpiadi della matematica sul sito della Normale vi e' un problema che chiede di calcolare la somma dei valori che una funzione assume in una serie di punti.

In particolare:

dato f(x)=4^x/(4^x+2)

si chiede di determinare il valore di f(1/2003)+f(2/2003)+...+f(2002/2003).

Ovviamente il conto puo' essere fatto a mano e viene un numero "buono": in caso contrario non sarebbe stato dato in questo tipo di contesto.

La cosa offre pero' lo spunto ad interessanti considerazioni.

Ho fatto alcuni esperimenti numerici usando il programma Mathematica per fare il calcolo in questione anche nel caso di molti meno termini dei 2002 del problema. Ebbene per n >10 il programma non ce la fa piu' a trovare un numero "buono".

La considerazione (che vale anche come suggerimento)interessante che si puo' fare a questo punto e' che:
SI E' VERO CHE CAMBIANDO L'ORDINE DEGLI ADDENDI LA SOMMA NON CAMBIA, MA PUO' CAMBIARE, E DI MOLTO, IL TEMPO NECESSARIO A FARLA.

In effetti il punto che impegna "mathematica" per un tempo lunghissimo non e' il calcolo (numerico) della somma in questione (non ho provato ma credo che in frazioni di secondo "mathematica" sbrogli il tutto).

Io ho chiesto al programma di fare il conto esatto usando le regole dell'algebra e in pochi decimi di secondo infatti tira fuori un'espressione piena di frazioni ed esponenziali lunga molte pagine.

Di questa espressione ho richiesto una semplificazione (perche' risolvendo il problema a mano ho ottenuto un numero "buono") tipo quelle che si fanno ai primi anni delle superiori e su questo punto il PC 'unciafa'.
(N.d.R: 'unciafa' = 'non ce la fa')

Risposte & riflessioni

Gianfranco Bo
In effetti questo semplice programmino in BASIC (onore e gloria a Kemeny e Kurtz) trova la soluzione, che è 1001, in un tempo decisamente inferiore al decimo di secondo.
E il programma si può progettare e scrivere in meno di 3 minuti.

s = 0
FOR x = 1 TO 2002
s = s + 4 ^ (x / 2003) / (4 ^ (x / 2003) + 2)
NEXT
PRINT s

Però la domanda è: può l'astuto algebrista trovare la soluzione scrivendo qualche simbolo?
O anche: può il valido abacista trovare la soluzione muovendo qualche pietruzza?

Simone Gammeri
Da amante dell'algebra (algebrista?!?) non ho potuto che accettare la sfida...

se si considera che 4x = 22x

allora dividendo numeratore e denominatore per 22x si ha:

Si consideri ora la somma da eseguire:

Si tenga anche conto che per commutatività:

Nello specifico si hanno 1001 coppie di valori:

Da qui il noto risultato:

Si noti che la dimostrazione portata vale evidentemente per ogni funzione del tipo

Dal Giornalino delle Olimpiadi della Matematica n. 9

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