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I gatti di Ahmes

Il primo matematico di cui si conosce il nome

Il problema n.79 del Papiro di Rhind

I sette gatti di Ahmes
In una proprietà ci sono 7 case.
In ogni casa ci sono 7 gatti.
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe.
Ogni spiga dà 7 heqat di grano.
Quante cose ci sono in tutto in questa storia?

Nota: l'heqat era misura di capacità pari a circa 4,785 litri.
(Papiro di Ahmes o di Rhind, 1650 a.C.)

Uno scriba egizio al lavoro

Uno dei più antichi documenti matematici conosciuti è un rotolo egizio lungo circa 5 m e alto circa 30 cm. Lo scrisse Ahmes nel 1650 a.C. ricopiandolo in parte da testi di tre secoli prima. L'egittologo scozzese Henry Rhind lo acquistò a Luxor, sul Nilo, nel 1858. Per questo si chiama Papiro di Rhind o Papiro di Ahmes. Attualmente è conservato al British Museum.
Ahmes, il figlio della luna, è il primo matematico che scrisse il proprio nome su un documento giunto fino a noi.

Una citazione di Ahmes.
Accurate reckoning: the entrance into knowledge of all existing things and all obscure secrets.
Calcolo esatto: l'accesso alla conoscenza di tutte le cose esistenti e di tutti gli oscuri misteri.
Tratto da A. B. Chase, Rhind Mathematical Papyrus (Reston Va. 1967)

Thot, il dio che insegnò agli uomini la scrittura, la magia e la scienza.
Per favore! Non ditemi che le parole "Totale", abbreviato "Tot", derivano dal nome di questa divinità!

In realtà, il problema 79 del Papiro di Rhind è più misterioso e più complesso della nota filastrocca. Presenta soltanto le seguenti informazioni.

Che cosa poteva significare questa scrittura misteriosa? E per di più, c'è un errore! Dov'é?

Sette vecchie in viaggio per Roma
Ci sono sette vecchie in viaggio per Roma
Ognuna di esse ha sette muli
Ogni mulo porta sette sacchi
Ogni sacco contiene sette pagnotte
In ogni pagnotta ci sono sette coltelli
Ogni coltello è in sette foderi
Donne, muli, sacchi, pagnotte, foderi,
in quanti viaggiano per Roma?
(Fibonacci, 1202)

L'enigma di St. Ives
Mentre andavo a St. Ives
Incontrai un uomo con sette mogli.
Ogni moglie aveva sette sacchi,
Ogni sacco aveva sette gatti,
Ogni gatto aveva sette mici;
Mici, gatti, sacchi e mogli,
In quanti andavano a St. Ives?

Data creazione: febbraio 2005

Ultimo aggiornamento: novembre 2018

Risposte & riflessioni

I sette gatti di Ahmes
Case 7¹ = 7
Gatti 7² = 49
Topi 7³ = 343
Spighe 7⁴ = 2.401
Heqat 7⁵ = 16.807
Totale 19.607
Qualcuno potrebbe obiettare che all'inizio si parla anche di una proprietà, perciò le cose di cui si parla in questa storia sarebbero: 19.607+1 = 19.608.

Ma ora esaminiamo meglio questa tabella (nella quarta riga, seconda colonna, il numero esatto è 2401):

Nella seconda colonna c'è la sequenza delle prime 5 potenze di 7. Si tratta di una progressione geometrica di ragione 7.
In fondo è scritto il totale.
Qual è la formula che usiamo oggi per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione r?
S = r + r² + ... + rⁿ = r(rⁿ-1)/(r-1)

Nel nostro caso r=7, n=5 quindi:
S = 7(7⁵-1)/(7-1) = 19614

Possiamo scrivere la somma anche così:
7 + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵

7(1 + 7 + 7² + 7³+7⁴) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = 7 * 2801

Ma che cosa significano i numeri scritti nella terza e nella quarta colonna?
Ora, se osserviamo attentamente la seconda parte del testo di Ahmes ci rendiamo conto che è proprio la moltiplicazione di 2801 per 7, eseguita col metodo egizio.
2801 * 7 = 19607

Infatti, siccome 7 = 1 + 2 + 4, per moltiplicare un qualsiasi numero per 7 si possono addizionare il numero stesso, il suo doppio e il suo quadruplo (ovvero il doppio del doppio).

Quindi la terza e la quarta colonna potrebbero rappresentare una verifica del calcolo eseguito nella prima colonna o addirittura una formula per il calcolo della somma di una serie geometrica.

Sette vecchie in viaggio per Roma
Se vogliamo calcolare il totale di tutte le cose di cui si parla, allora la soluzione è:
7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵ + 7⁶ = 137.256
Se invece facciamo attenzione alla domanda, che chiede il totale dei "muli, sacchi, pagnotte, foderi", non dobbiamo contare i coltelli, perciò la soluzione è:
7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁶ =  120.449

L'enigma di St. Ives
Attenzione, questo è un indovinello col trucco! La risposta è 1.
La storia comincia così: "Mentre ANDAVO a St. Ives, incontrai un uomo..." Solo io andavo a St.Ives perché gli altri li incontrai, quindi loro VENIVANO da St.Ives. Ma esistono altre risposte altrettanto valide: una, ad esempio, potrebbe essere 2802.

Potete trovare altre informazioni sul St.Ives Riddle in questa pagina: The St. Ives riddle.

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