[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Comprare 100 pennuti con 100 denari

Comprare 100 pennuti con 100 denari
Un gallo costa 5 denari, una gallina 3 denari e 3 pulcini 1 denaro.
Con 100 denari compriamo 100 di questi pennuti.
Quanti galli, galline e pulcini abbiamo comprato?
(468, Chang Ch'iu-Chin [= Zhang Qiujian]: Chang Chhiu-Chien Suan Ching [= Zhang Qiujian Suan Jing])

Acquisto di galline
Un gruppo di persone compra contemporaneamente delle galline.
Se ogni persona pagasse 9 wen rimarrebbero 11 wen dopo l'acquisto.
Se ogni persona desse solamente 6 wen, ci sarebbe un ammanco di 16 wen.
Quante persone ci sono nel gruppo e qual il costo totale delle galline?
(100, Chiu Chang)

Ultimo aggiornamento: luglio 2005


Risposte & riflessioni

Comprare 100 pennuti con 100 denari
Il problema, cos come formulato, potrebbe avere molte soluzioni.

Denoto con:

x il numero dei galli;
y il numero delle galline;
z il numero dei pulcini.

Dai dati del problema ricavo le seguenti equazioni:
x + y + z = 100 pennuti
5x + 3y + z/3 = 100 denari

E' un sistema in 3 incognite e 2 equazioni che ha infinite soluzioni.
Per chi conosce bene l'algebra lineare possiamo dire che il sistema compatibile, ha rango 2, e, avendo 3 incognite, ha infinite soluzioni.

Eccole:
x = -100 + (4/3)k
y = 200 - (7/3)k
z = k
dove k un numero intero.

Dobbiamo per cercare soltanto le soluzioni intere e positive.

Dunque, il numero dei pulcini deve essere un multiplo di 3 compreso fra 75 e 85, cio 78, 81, 84, da cui si ricavano le tre soluzioni:
4 galli, 18 galline e 78 pulcini;
8 galli, 11 galline e 81 pulcini;
12 galli, 4 galline e 84 pulcini.

Acquisto di galline
Soluzione di Pasquale al Forum.

Per il secondo problema cinese, direi che le galline costano 9x-11 oppure 6x+16, dove x il numero di persone. Da cui si ricava: 9 persone e 70 galline.

Soluzione di Peppe al Forum.
La soluzione (con relativa spiegazione) del 2 quesito dimostra che, gi all'inizio dell'era cristiana, in Cina si conosceva una variante alla regola di Cramer, per risolvere sistemi di due equazioni a due incognite,sebbene non ci sia nulla in questo trattato n in alcuno dei commenti successivi che accenni a una conoscenza della regola per sistemi di tre equazioni a tre incognite o alla regola generale per sistemi di p equazioni a p incognite.
Sfuggito evidentemente all'attenzione dei matematici cinesi,il concetto di determinante fu ripreso dal giapponese Seki Kowa nel 1683, vale a dire dieci anni prima di Leibniz, al quale gli storici della matematica attribuiscono la scoperta dei determinanti.

Soluzione proposta.
opportuno esporre la regola per la soluzione come viene data nel testo (con minime modificazioni per chiarezza): ordinate i due tipi di contributi fatti dai componenti del gruppo per l'acquisto delle galline nella prima riga. L'eccesso e il difetto risultanti vengono ordinati in una riga sotto la prima, che contiene i contributi dei membri. Moltiplicateli diagonalmente tra loro. Sommate i prodotti e chiamate la somma shih. Sommate l'eccesso e la mancanza e chiamate la somma fa. Se una frazione compare sia in shih che in fa, fate diventare i loro denominatori uguali. Dividete shih per la differenza tra i due contributi per ottenere il costo totale delle galline. Dividete fa per la differenza tra i contributi per ottenere il numero delle persone del gruppo.

Espressa in termini algebrici,l'applicazione della regola semplice. Siano i due contributi a e a' e l'eccesso e la mancanza b e b' rispettivamente:


Sito Web realizzato da Gianfranco Bo