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Comprare 100 pennuti con 100 denari
Un gallo costa 5 denari, una gallina 3 denari e 3 pulcini 1 denaro.
Con 100 denari compriamo 100 di questi pennuti.
Quanti galli, galline e pulcini abbiamo comprato?
(468, Chang Ch'iu-Chin [= Zhang Qiujian]: Chang Chhiu-Chien Suan
Ching [= Zhang Qiujian Suan Jing])
Acquisto di galline
Un gruppo di persone compra contemporaneamente delle galline.
Se ogni persona pagasse 9 wen rimarrebbero 11 wen dopo l'acquisto.
Se ogni persona desse solamente 6 wen, ci sarebbe un ammanco di 16 wen.
Quante persone ci sono nel gruppo e qual è il costo totale delle galline?
(100, Chiu Chang)
Ultimo aggiornamento: luglio 2005
Comprare 100 pennuti con 100 denari
Il problema, così come è formulato, potrebbe avere molte soluzioni.
Denoto con:
x il numero dei galli;
y il numero delle galline;
z il numero dei pulcini.
Dai dati del problema ricavo le seguenti equazioni:
x + y + z = 100 pennuti
5x + 3y + z/3 = 100 denari
E' un sistema in 3 incognite e 2 equazioni che ha infinite soluzioni.
Per chi conosce bene l'algebra lineare possiamo dire che il sistema è
compatibile, ha rango 2, e, avendo 3 incognite, ha infinite soluzioni.
Eccole:
x = -100 + (4/3)k
y = 200 - (7/3)k
z = k
dove k è un numero intero.
Dobbiamo però cercare soltanto le soluzioni intere e positive.
Il numero di pulcini, z, può variare da 1 a 300.
Il numero di galline, y, è intero positivo se il numero dei pulcini è multiplo di 3 ed è minore di 85.
Il numero dei galli, x, è intero positivo se il numero dei pulcini è multiplo di 3 ed è maggiore di 75.
Dunque, il numero dei pulcini deve essere un multiplo di 3 compreso fra 75 e
85, cioè 78, 81, 84, da cui si ricavano le tre soluzioni:
4 galli, 18 galline e 78 pulcini;
8 galli, 11 galline e 81 pulcini;
12 galli, 4 galline e 84 pulcini.
Acquisto di galline
Soluzione di Pasquale al Forum.
Per il secondo problema cinese, direi che le galline costano 9x-11 oppure 6x+16,
dove x è il numero di persone. Da cui si ricava: 9 persone e 70 galline.
Soluzione di Peppe al Forum.
La soluzione (con relativa spiegazione) del 2° quesito dimostra che, già
all'inizio dell'era cristiana, in Cina si conosceva una variante alla regola di
Cramer, per risolvere sistemi di due equazioni a due incognite,sebbene non ci
sia nulla in questo trattato né in alcuno dei commenti successivi che accenni a
una conoscenza della regola per sistemi di tre equazioni a tre incognite o alla
regola generale per sistemi di p equazioni a p incognite.
Sfuggito evidentemente all'attenzione dei matematici cinesi,il concetto di
determinante fu ripreso dal giapponese Seki Kowa nel 1683, vale a dire dieci
anni prima di Leibniz, al quale gli storici della matematica attribuiscono la
scoperta dei determinanti.
Soluzione proposta.
È opportuno esporre la regola per la soluzione come viene data nel testo (con
minime modificazioni per chiarezza): ordinate i due tipi di contributi fatti dai
componenti del gruppo per l'acquisto delle galline nella prima riga. L'eccesso e
il difetto risultanti vengono ordinati in una riga sotto la prima, che contiene
i contributi dei membri. Moltiplicateli diagonalmente tra loro. Sommate i
prodotti e chiamate la somma shih. Sommate l'eccesso e la mancanza e
chiamate la somma fa. Se una frazione compare sia in shih che in fa,
fate diventare i loro denominatori uguali. Dividete shih per la
differenza tra i due contributi per ottenere il costo totale delle galline.
Dividete fa per la differenza tra i contributi per ottenere il numero
delle persone del gruppo.
Espressa in termini algebrici,l'applicazione della regola è semplice. Siano i
due contributi a e a' e l'eccesso e la mancanza b e b' rispettivamente:
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