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Cerchi magici

Cerchi magici 1
Nella figura vedete 4 circonferenze, ciascuna delle quali interseca le altre tre in 6 punti.
I punti di intersezione sono contrassegnati dai numeri da 1 a 12 in modo tale che le somme dei numeri su ciascuna circonferenza siano tutte uguali, e per la precisione, valgano 39.
Una costruzione di questo tipo è un insieme di cerchi magici.
La somma costante dei numeri su ciascuna circonferenza si chiama costante magica.

Cerchi magici 2
Un altro tipo di cerchio magico è quello illustrato nella figura a fianco.
I criteri di costruzione sono i seguenti:
  • si tracciano n circonferenze concentriche, con n numero pari (nella figura sono 4);
  • si tracciano n diametri regolarmente distanziati;
  • i punti di intersezione dei diametri con le circonferenze individuano 2n punti su ciascuna circonferenza e 2n punti su ciascun diametro;
  • i diametri si intersecano in un ulteriore punto al centro.

Per ottenere una struttura di cerchi magici si devono scrivere i numeri da 1 a 2n2 + 1 in corrispondenza dei punti d'intersezione in modo tale che:

  • le somme dei numeri lungo ogni circonferenza siano tutte uguali e siano uguali alle somme dei numeri su ogni diametro, escludendo il numero centrale.
  • ripeto che il numero posto al centro deve essere ignorato ai fini dei calcoli.

Figure tratte da:
Eric W. Weisstein. "Magic Circles."
From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MagicCircles.html

Cerchio magico possibile?
E' possibile costruire un cerchio magico con due circonferenze?

Cerchio magico fuori standard
Inserire i numeri da 1 a 10 nelle caselle quadrate in modo tale che, escludendo il numero centrale, le somme dei numeri su ciacun raggio e su ciascuna circonferenza siano tutte uguali.

 

Tre cerchi magici
Nella figura vedete tre circonferenze che si intersecano in sei punti.
Ogni punto d’intersezione è segnato da un bollino quadrato.
Il vostro compito è quello di sistemare le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6 nei quadrati in modo che le somme dei numeri su ciascuna circonferenza siano tutte uguali.

Tre cerchi
Scrivete le cifre da 1 a 6 nei quadrati in modo che le somme dei numeri su ciascuna circonferenza siano tutte uguali. Quante soluzioni diverse riuscite a trovare?

Una ruota numerica
Sistemate i numeri da 1 a 9 nei cerchi in modo che le somme dei numeri su ciascuna linea siano tutte uguali. Per questo problema esiste una semplice strategia che permette di trovare tutte le soluzioni possibili. Quante sono?

Un consiglio: prima di tutto decidete quale numero deve essere messo nel cerchio centrale.

Girotondo (non politico)
Un certo numero di ragazzi, disposti in cerchio, stanno facendo un girotondo. Essi sono posti ad uguale distanza l’uno dall’altro e si sa che il terzo è diametralmente opposto all’undicesimo.
Quanti sono in tutto i ragazzi?

La figura è soltanto un esempio che illustra la situazione nel caso di otto ragazzi.

Ultimo aggiornamento gennaio 2005

Risposte &riflessioni

Cerchio magico possibile?

Le condizioni da rispettare sono:
a+b+c+d = e+f+g+h
d+e+a+h = f+b+g+c
a+b+c+d = f+b+g+c

Che equivalgono a:
a+c = f+h
b+d = e+g

Il problema ha 3072 soluzioni

Eccone alcune (sono indicati il numero progressivo della soluzione, i valori di a, b, c, d, e, f, g, la somma costante e il numero da porre nella casella al centro:
n. 1 - 1 2 7 8 4 3 6 5 - S = 18 - x = 9
n. 89 - 1 4 9 5 3 2 6 8 - S = 19 - x = 7
n. 13 - 1 2 8 9 4 3 7 6 - S = 20 - x = 5
n. 73 - 1 4 7 9 5 2 8 6 - S = 21 - x = 3
n. 409 - 2 4 9 7 3 5 8 6 - S = 22 - x = 1

E questa è l'ultima:
n. 3072 - 9 8 3 2 6 7 4 5 - S = 22 - x = 1

Ho trovato le soluzioni con il seguente programma in Decimal Basic.

!'Cerchi magici concentrici
!'a,b,c,d,e,f,g,h
!'a+c=f+h
!'b+d=e+g

LET mn=1
LET mx=9


DIM n(mx)
FOR a=mn TO mx
LET n(1)=a
FOR b=mn TO mx
LET n(2)=b
FOR c=mn TO mx
LET n(3)=c
FOR d=mn TO mx
LET n(4)=d
FOR e=mn TO mx
LET n(5)=e
FOR f=mn TO mx
LET n(6)=f
FOR g=mn TO mx
LET n(7)=g
FOR h=mn TO mx
LET n(8)=h
 !'Verifica che siano tutti diversi
LET ob=1
FOR i=1 TO 7
FOR j=i+1 TO 8
IF n(i)=n(j) THEN
LET ob=0
GOTO 10
END IF

NEXT j
NEXT i

IF ob=1 THEN
!'Verifica le condizioni
IF a+c=f+h AND b+d=e+g THEN
LET cont=cont+1
PRINT "n.";cont;" -";
FOR i=1 TO 8
PRINT n(i);
NEXT i
PRINT " - S=";n(1)+n(2)+n(3)+n(4);
PRINT
END IF
END if
10
NEXT h
NEXT g
NEXT f
NEXT e
NEXT d
NEXT c
NEXT b
NEXT a

END

Cerchio magico fuori standard

Le condizioni sono:
a+b+c = i+h+g = f+e+d = a+i+d = b+h+e = c+g+f

La struttura corrisponde ad un quadrato semimagico di ordine 3

a b c
d e f
i h g

Esso ha come soluzione, ad esempio:

9 1 5
2 6 7
4 8 3

Cerchi magici

Le condizioni sono:
a,b,c,d,e,f
a+b+d+e = c+b+f+e = a+f+d+c
Fissati a, b, d, f, si trova che:
c = a+d-b
e = a+d-f

Il problema ha 32 soluzioni diverse.
Nell'ordine sono indicati i valori di:
a,b,f,c,d,e e la somma costante, che è sempre 14.

1 2 6 5 3 4 S= 14
1 2 6 5 4 3 S= 14
1 3 6 4 2 5 S= 14
1 3 6 4 5 2 S= 14
1 4 6 3 2 5 S= 14
1 4 6 3 5 2 S= 14
1 5 6 2 3 4 S= 14
1 5 6 2 4 3 S= 14
2 1 5 6 3 4 S= 14
2 1 5 6 4 3 S= 14
2 3 5 4 1 6 S= 14
2 4 5 3 1 6 S= 14
3 1 4 6 2 5 S= 14
3 1 4 6 5 2 S= 14
3 2 4 5 1 6 S= 14
3 5 4 2 1 6 S= 14
4 1 3 6 2 5 S= 14
4 1 3 6 5 2 S= 14
4 2 3 5 1 6 S= 14
4 5 3 2 1 6 S= 14
5 1 2 6 3 4 S= 14
5 1 2 6 4 3 S= 14
5 3 2 4 1 6 S= 14
5 4 2 3 1 6 S= 14
6 2 1 5 3 4 S= 14
6 2 1 5 4 3 S= 14
6 3 1 4 2 5 S= 14
6 3 1 4 5 2 S= 14
6 4 1 3 2 5 S= 14
6 4 1 3 5 2 S= 14
6 5 1 2 3 4 S= 14
6 5 1 2 4 3 S= 14

Tre cerchi

Una ruota numerica

Il problema ha 3 soluzioni.
Nel cerchi centrale possono stare i numeri 1, 5, 9.

Girotondo (non politico)
Il diametro che congiunge il 7° ragazzo con il 56° divide il girotondo in due parti uguali.
La metà dei ragazzi in circolo sono quindi: 56 - 7 = 49.
Se ne conclude che i ragazzi sono in tutto: 49 x 2 = 98.

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