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1. Una cisterna e due rubinetti
Un rubinetto, quando viene
completamente aperto, riempie una cisterna in 30 minuti.
Un secondo rubinetto riempie la cisterna in 20 minuti.
Quanto tempo impiegano a riempire la cisterna i due
rubinetti, se vengono aperti assieme?
(Lucca,1754)
2. Con tre rubinetti
Tre rubinetti, se vengono
aperti singolarmente, riempiono una vasca rispettivamente
in 6 ore, 4 ore, 2 ore.
Quanto tempo impiegano a riempire la vasca se vengono
aperti tutti assieme?
(Metrodorus, 135)
3. Un problema inverso
Due rubinetti aperti
assieme riempiono una vasca in 36 minuti. Il primo
rubinetto da solo, impiega 60 minuti per riempire la
vasca.
Quanto tempo impiega il secondo rubinetto da solo?
4. Un leone, un leopardo e un
orso
Un leone, un leopardo e un
orso hanno catturato una pecora e la stanno mangiando
assieme.
Il leone da solo impiega 4 ore per mangiare una pecora,
il leopardo impiega 5 ore e l'orso 6 ore.
Quanto impiegheranno, assieme, a mangiare la loro preda?
(Fibonacci, 1202)
5. Se tu mi dai una mano...
C'è da tosare l'erba
di un prato.
Il padre dice al figlio: "Se mi aiuti per 8 minuti,
riuscirò a tosare il prato in 20 minuti."
Il figlio risponde: "Se mi aiuti per 10 minuti,
riuscirò a tosare il prato in 15 minuti."
Quanto tempo impiega ciascuno di essi a tosare il prato
da solo?
(Chuquet. 1484)
6. Erbivori al lavoro...
Se 10 mucche oppure 14 pecore riescono a brucare
l'erba di un parco in 174 giorni, quanto
impiegheranno 4 mucche e 6 pecore?
(Eadon. Repository. 1794)
7. Uno strano rubinetto
Due rubinetti aperti
assieme riempiono una vasca in 9 minuti. Il primo
rubinetto da solo impiega 6 minuti per riempire la vasca.
Quanto tempo impiega il secondo rubinetto da solo?
Come si spiega il risultato?
(BR)
8. Sempre più difficile
Abbiamo tre rubinetti. Il
primo riempie una vasca in un certo tempo. Il secondo
riempie la vasca in metà tempo rispetto al primo. Il
terzo riempie la vasca in un terzo del tempo rispetto al
primo.
I tre rubinetti, aperti assieme, riempiono la vasca in 2
minuti.
Quanto tempo impiega ciascun rubinetto singolarmente?
9. Due pompe svuotano una vasca
Una pompa svuota una vasca
in un certo tempo. Una seconda pompa svuota la stessa
vasca impiegando 5 minuti di meno rispetto alla prima.
Le due pompe, funzionando assieme, svuotano la vasca in
12 minuti.
Quanto tempo impiega ciascuna pompa singolarmente?
10. Costruire dei mattoni
In un giorno un uomo può scavare 1/3 sar di
terra oppure può impastare 1/6 sar di terra oppure può
costruire 1/3 sar in mattoni, con la terra impastata.
Si sa che da 1 sar di terra si ricavano 1620 mattoni.
Quanti mattoni può produrre in un giorno una squadra di
tre uomini?
Nota: il sar è una unità di misura di massa.
(antico problema babilonese dalla tavoletta di Tell
Haddad -1770)
11. Demolire un muro
Un uomo può demolire 1/15
sar di muro in 1/5 di una giornata di lavoro. Egli può
inoltre portare via 1/12 sar di detriti in un giorno.
Quanti sar di muro può demolire e portare via in un
giorno?
Quale frazione di giorno dedicherà a ciascuno dei due
compiti?
Nota: il sar è una unità di misura di massa.
(antico problema babilonese?? -1800)
Nota storica
Le prime versioni del
problema della cisterna risalgono alla civiltà
babilonese, circa 1800 a.C.
Risposte & riflessioni
1. Una cisterna e due rubinetti
Ogni minuto il primo
rubinetto riempie 1/30 di cisterna.
Ogni minuto il secondo rubinetto riempie 1/20 di cisterna.
Ogni minuto i due rubinetti assieme riempiono:
1/30 + 1/20 = 1/12 di cisterna.
Perciò per riempire la cisterna impiegano 12 minuti.
2. Con tre rubinetti
I tre rubinetti in un'ora
riempiono:
1/6 + 1/4 + 1/2 = 11/12 di cisterna.
Quindi in 1/11 di ora riempiono 1/12 di cisterna.
Perciò per riempire la cisterna impiegano 1 ora + 1/11
di ora, cioè poco più di 1h 5min.
3. Un problema inverso
Il secondo rubinetto da solo, ogni minuto
ogni minuto riempie:
1/36 - 1/60 = 1/90 di vasca.
Perciò impiega 90 min per riempire la vasca.
4. Un leone, un leopardo e un
orso
I tre predatori assieme,
in un'ora mangiano:
1/4 + 1/5 + 1/6 = 74/120 di pecora.
Per mangiare tutta la pecora impiegano: 1 ora + 46/120 di
ora, cioè 1h 23min.
5. Se tu mi dai una mano...
Poniamo che:
Si può impostare il seguente sistema:
20/x + 8/y = 1
15/y + 10/x = 1
da cui si ottiene:
6. Erbivori al lavoro...
Il problema si risolverebbe così:
Da ciò si ricava che 4 mucche e 6
pecore brucano l'intero prato in 210 giorni.
Per fortuna l'erba ricresce continuamente e il prato non
sarà mai brucato interamente!
7. Uno strano rubinetto
Il secondo rubinetto, ogni
minuto riempirebbe:
1/9 - 1/6 = -1/18 di vasca.
Quindi riempirebbe la vasca in -18 minuti.
Il risultato si può spiegare affermando che non si
tratta di un rubinetto ma di una pompa che aspira acqua
dalla vasca.
8. Sempre più difficile
di Alan Viezzoli
Il primo rubinetto riempie la vasca in x
minuti, il secondo in x/2 e il terzo in x/3. In un minuto
essi riempiono 1/x+2/x+3/x=6/x di vasca. Poiché per
riempirla tutta impiegano 2 minuti, possiamo scrivere (6/x)*2=1.
Risolvendo si ottiene x=12, perciò il primo rubinetto
riempie la vasca in 12
minuti, il secondo in 6 e il terzo in 4.
9. Due pompe svuotano una vasca
10. Costruire dei mattoni
Per "rimanere in pari" con i tre tipi
di lavoro, l'uomo deve dedicare:
Visto che la somma è 4x, l'uomo dovrà dedicare, ogni giorno:
In definitiva, egli potrà costruire 1/3 * 1/4 = 1/12 sar di mattoni, pari a:
1620 * 1/12 = 135 mattoni.
Tre uomini costruiranno 405 mattoni.
11. Demolire un muro
In un giorno, l'uomo può demolire (1/15)/(1/5)
= 1/3 sar di muro.
In un giorno, l'uomo può portar via 1/12 sar di detriti.
Per "rimanere in pari" con i due
tipi di lavoro, egli dovrà dedicare 3 unità di tempo a
demolire e 12 unità di tempo a trasportare.
In definitiva, l'uomo potrà "lavorare" 1/15
sar di muro al giorno.
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