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L'epantema di Timarida

ovvero, la "florida sententia", o ancora "the bloom" di Thymaridas
Questo problema potrebbe stare nelle ricreazioni pitagoriche

Quanto pesano i ragazzi?
Aldo, Baldo, Carlo, Diego e Franco pesano assieme 213 kg.
Aldo e Baldo pesano assieme 78 kg
Aldo e Carlo pesano assieme 84 kg
Aldo e Diego pesano assieme 67 kg
Aldo e Franco pesano assieme 89 kg

Quanto pesa ciascuno di essi?

Nota storica.
I testi di questa nota sono tratti (e parzialmente rielaborati) da: Pitagorici - Testimonianze e frammenti, a cura di Maria Timpanaro Cardini, Fasc. I, II, III, La nuova Italia, Firenze, 1973.

Giamblico, Vita di Pitagora)
Allo stesso modo si racconta che anche Testore di Posidonia, avendo saputo solo per udito dire che Timarida era uno dei Pitagorici di Paro, quando gli accadde di cadere nell'indigenza da una condizione di grande ricchezza, si recò a Paro con una grossa somma di denaro e gli ricuperò i suoi beni.

(Giamblico, In Nichomacus)
L'unità è il minimo di quantità; o anche: la parte prima e comune della quantità; o anche: il principio della quantità; secondo poi Timarida, l'unità è la "quantità terminante"..., i moderni poi la definiscono come ciò per cui ogni singola cosa è detta uno.

(Giamblico, In Nichomacus)
Da qui anche è stato ricavato il procedimento dell'epantema di Timarida.
Se delle grandezze determinate (di numero) ma incognite si sono spartite una grandezza determinata, e una qualsiasi di esse è stata sommata con ciascuna delle rimanenti, la somma che si ottiene unendo insieme le singole somme parziali, dopo averne sottratto la grandezza determinata iniziale, spetta per intero alla grandezza sommata con ciascuna delle rimanenti, se le grandezze sono tre; se sono quattro, la metà; se sono cinque, la terza parte; se sono sei, la quarta parte, e cosi di seguito, sempre mostrandosi la differenza di due rispetto al numero delle grandezze parziali e alla denominazione della singola parte.
Trovati dunque i numeri a coppie, ma non ancora distinti a uno a uno, la conoscenza dell'epantema di Timarida ci offre la via per la loro distinzione. Infatti, se sommiamo i numeri delle singole coppie, cioè 80, 90 e 96, il tutto sarà 266. Ora sottraggo il numero dato all'inizio come diviso nei quattro termini (le quattro incognite), cioè 120, e mi resta 146, di cui la metà, poiché i termini parziali sono quattro, apparterrà al primo termine della prima coppia.
E poiché la metà è 73, e 80 meno 73 dà 7, 7 sarà il secondo termine.
Poi, essendo la seconda coppia costituita del numero 90, sottraggo di nuovo dal 90 il 73, e resta 17, che dico essere il terzo termine.
Infine, poiché la terza coppia è 96, ne sottraggo di nuovo 73, e il resto, 23, lo assegno al quarto termine.
E cosi il primo termine, 73, è, si può dire, la guida all'identificazione delle coppie, in modo da ritrovare i quattro termini distinti uno per uno, che sono in ordine, 73, 7, 17, 23, i quali insieme fanno 120... Pertanto questi sono i numeri primi e radicali che, in unità intere, presentano i suddetti rapporti.

L'ultimo brano, in linguaggio moderno, può essere espresso così.
x + x1 = 80
x + x2 = 90
x + x3 = 96
x + x1 + x2 = 120

Si trova subito la x, con la formula:

e così via...

Probabilmente Timarida scrisse un trattato di aritmetica.
Il Tannery, che insieme col Nesselmann ha studiato più a fondo Timarida, ritiene che egli avesse composto un vero e proprio trattato di aritmetica, il quale doveva avere una forma tutta diversa da quella consacrata da Euclide nei libri aritmetici degli Elementi (VII, VIII, IX). (Anche a Democrito, del resto, era attribuito un libro sui Numeri). Al trattato sarebbe appartenuto l'epantema.

Timarida fu un pitagorico antico (e non una falsificazione neo-pitagorica)
Ma se l'esistenza di un vero e proprio trattato, allo stato attuale delle conoscenze, non può essere più che un'ipotesi, quello che mi pare non possa escludersi è che Timarida appartenesse al pensiero matematico dell'età compresa tra Filolao e Archita, quando dalla speculazione quasi esclusivamente geometrica l'aritmetica ritorna in onore, anche per merito della filosofia atomistica.

Che cosa significa la parola "epantema"?
Resta da dire per ultimo che il nome "epantèma", anche se fu invenzione di Timarida, non si applicò esclusivamente al suo metodo, ma lo troviamo in Giamblico usato in generale per designare le aggiunte alla lntroductio arithm. di Nicomaco o per gli sviluppi relativi alle proprietà dei numeri. Tannery pensa che ci fosse, al tempo di Nicomaco, sotto il nome di epantemi una specie di raccolta che servisse di completamento aIl'introductio: "c'étaient, pour ainsi dire, les matières non exigées du programme de l'arithmétique pour les étudiants de philosophie" Questo, forse, è un po' troppo precisare.
Stando al significato del termine in senso traslato, epantèma doveva significare una concatenazione, o germogliazione in serie, di risultati, o come conseguenza ed estensione di un risultato iniziale, il quale poteva rappresentare un caso particolare, il cui sviluppo consisteva in una generalizzazione progressiva, o come sviluppo in varie direzioni di un risultato raggiunto. L'epantema dI Timarida , à un esempio del primo caso, e tale era anche il teorema dei numerI poligonali.

Quest'ultima considerazione apre un nuovo tema: che relazione c'è fra l'epantema di Timarida e i numeri poligonali?

Risposte & riflessioni

Chiamo x, x1, x2, x3, x4 rispettivamente i pesi di Aldo, Baldo, Carlo, Diego e Franco.

L'epantema di Timarida è una regola che mi permette di calcolare subito la soluzione del problema.

Peso di Aldo = x = (78 + 84 + 67 + 89 - 213)/3 = 35 kg

A questo punto è facilissimo calcolare i pesi degli altri ragazzi.

Peso di Baldo = 78 - 35 = 43 kg

Peso di Carlo = 84 - 35 = 49 kg

Peso di Diego = 67 - 35 = 32 kg

Peso di Franco = 89 - 35 = 54 kg

In generale l'epantema di Timarida serve per risolvere i problemi che si esprimono con sistemi del tipo:

x + x1 = a1
x + x2 = a2
x + x3 = a3
...
x + xn = an
x + x1 + x2 + x3 + ... + xn = a

Si trova subito la x, con la formula:

scrittura lineare: x = (a1 + a2 + a3 + ... + an - a)/(n-1)

Trovata la x, è facilissimo calcolare le altre incognite.

Come si può dimostrare la "Florida sententia" di Timarida?

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