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L'eredità dei gemelli postumi

1. Due gemelli postumi
Un uomo muore lasciando sua moglie incinta e un foglio in cui spiega come andrà suddivisa l'eredità nel caso nasca un figlio maschio oppure una femmina.

Le regole sono queste:
a) se nasce una femmina, la madre prenderà il doppio della figlia;
b) se nasce un maschio, la madre prenderà la metà del figlio.

La proporzione può anche essere espressa così:
figlio : madre = madre : figlia = 2 : 1

La moglie invece, partorisce due gemelli, un maschio e una femmina.
Come si dovrà suddividere l'eredità?

2. Varianti all'eredità dei gemelli postumi
Le varianti riguardano principalmente le frazioni di eredità che toccano alla madre, al figlio, alla figlia.
Ad esempio in Alcuino da York (Propositiones, prob. 35) la proporzione é:
figlio : madre = 3 : 1
madre : figlia = 5 : 7

3. Il caso generale
figlio : madre = a : b
madre : figlia = c : d

4. L'eredità di tre gemelli
Le proporzioni sono:
figlio : madre = 2 : 1
madre : figlia = 2 : 1
Nascono tre gemelli, due maschi e una femmina.

5. Gemelli con ermafrodita
Le proporzioni sono:
figlio : madre = 3 : 1
madre : figlia = 2 : 1
Nascono tre gemelli, un maschio, una femmina e un ermafrodita.
Jacob Vander Schuere. Arithmetica, oft Reken-const. G. Kooman, Haarlem, 1600. (David Singmaster)

6. Quanto costa la fattoria?
Tre persone, A, B, C pensano di comprare una fattoria.
Si accordano così:
a) se A e B comprano assieme allora A paga i 2/5 e B i 3/5;
a) se B e C comprano assieme allora B paga i 2/5 e C i 3/5;
Alla fine comprano la fattoria tutti e tre in società.
Per pagare seguono l'accordo preso e C paga 500 dollari più di A.
Quanto costa la fattoria?
Edward Brooks. The New Normal Mental Arithmetic: A Thorough and Complete Course by Analysis and Induction. Sower, Potts & Co., Philadelphia, 1873. (David Singmaster)

Nota storica (David Singmaster)
Moritz Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Vol. 1, 3rd ed., Teubner, Leipzig, 1907. Pp. 561-563 sketches the history of this problem. This is the basis of Smith's discussion below. This asserts that the problem is based on Roman Lex Falcidia of -40 which required that at least 1/4 of an estate should go to the legal heir. He says it first appears in the works of Celsus and quotes Julianus. He also cites Caecilius Africanus (c100) and Julius Paulus (3C). Describes the common case and says that if the will was invalidated, then only the children would inherit.
D. E. Smith. Op. cit. in 3. Based on Cantor, cites Lex Falcidia, Celsus, Julianus, Africanus. He cites 22 medieval references, including Vander Schuere and Recorde of those below.
Juventius Celsus. De istituzione uxoris et postumi et postumae. c75.
Salvianus Julianus. c140. Lex 13 principio. Digestorum lib. 28, title 2.
Caecilius Africanus. c150. Lex 47 §1. Digestorum lib 28, title 5.
Julius Paulus. 3C. Lex 81 principio. Digestorum lib. 28, title 5.

Risposte & riflessioni

1. Due gemelli postumi
Un uomo muore lasciando sua moglie incinta e un foglio in cui spiega come andrà suddivisa l'eredità nel caso nasca un figlio maschio oppure una femmina.

Le regole sono queste:
a) se nasce una femmina, la madre prenderà il doppio della figlia;
b) se nasce un maschio, la madre prenderà la metà del figlio.

La proporzione può anche essere espressa così:
figlio : madre = madre : figlia = 2 : 1

La moglie invece, partorisce due gemelli, un maschio e una femmina.
Come si dovrà suddividere l'eredità?

Le proporzioni dovranno essere:
figlio : madre : figlia = 4 : 2 : 1
Perciò al figlio toccheranno i 4/7 dell'eredità, alla madre i 2/7 e alla figlia 1/7.

2. Varianti all'eredità dei gemelli postumi
Le varianti riguardano principalmente le frazioni di eredità che toccano alla madre, al figlio, alla figlia.
Ad esempio in Alcuino da York (Propositiones, prob. 35) la proporzione é:
figlio : madre = 3 : 1
madre : figlia = 5 : 7

Le proporzioni dovranno essere:
figlio : madre : figlia = 15 : 5 : 7
Perciò al figlio toccheranno i 15/27 dell'eredità, alla madre i 5/27 e alla figlia i 7/27.

Alcuino lo risolve dividendo la prima metà dell'eredità e in 3 : 1 e la seconda metà in 5 : 7 perciò le proporzioni gli vengono:
figlio : madre : figlia = 9 : 8 : 7
Evidentemente teneva per le donne!

3. Il caso generale
figlio : madre = a : b
madre : figlia = c : d

Le proporzioni dovranno essere:
figlio : madre : figlia = (a/b)*c : c : d

4. L'eredità di tre gemelli
Le proporzioni sono:
figlio : madre = 2 : 1
madre : figlia = 2 : 1

Le proporzioni dovranno essere:
figlio1 : figlio2 : madre : figlia = 4 : 4 : 2 : 1

5. Gemelli con ermafrodita
Le proporzioni sono:
figlio : madre = 3 : 1
madre : figlia = 2 : 1
Nascono tre gemelli, un maschio, una femmina e un ermafrodita.
Jacob Vander Schuere. Arithmetica, oft Reken-const. G. Kooman, Haarlem, 1600.

Un possibile ragionamento: l'ermafrodita è sia maschio che femmina, perciò riceverà la somma delle quote maschio + femmina.
figlio : madre = 3 : 1
figlia : madre = 0,5 : 1
ermafrodita: madre = 3,5 : 1

Le proporzioni dovranno essere:
figlio : madre : figlia : ermafrodita = 6 : 2 : 1 : 3,5 = 12 : 4 : 2 : 7

6. Quanto costa la fattoria?
Tre persone, A, B, C pensano di comprare una fattoria.
Si accordano così:
a) se A e B comprano assieme allora A paga i 2/5 e B i 3/5;
a) se B e C comprano assieme allora B paga i 2/5 e C i 3/5;
Alla fine comprano la fattoria tutti e tre in società.
Per pagare seguono l'accordo preso e C paga 500 dollari più di A.
Quanto costa la fattoria?
Edward Brooks. The New Normal Mental Arithmetic: A Thorough and Complete Course by Analysis and Induction. Sower, Potts & Co., Philadelphia, 1873.

A : B = 2 : 3
B : C = 2 : 3
A : B : C = (2/3)*2 : 2 : 3 = 4 : 6 : 9

Perciò:
A paga i 4/19 del totale.
B paga i 6/19 del totale.
C paga i 9/19 del totale.

Siccome:
C - A = 5/19 che corrispondono a 500 dollari, si può dedurre che 1/19 corrisponde a 100 dollari.

In conclusione, la fattoria costa: 100 * 19 = 1900 dollari.