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un singolare esercizio di criptaritmetica
Nella sordida periferia numerica di Parigi, in rue Bourbaki, è
stata commessa una orribile divisione.
La vittima, il dividendo, è stato ridotto al quoto, a suon di sottrazioni.
Il colpevole, il divisore, non gli ha lasciato neppure un po' di resto per
tornare a casa in autobus.
Il Commissario Maigret deve risolvere il caso, cioè deve trovare il divisore e
il dividendo.
L'unico reperto di cui dispone è una fotografia del luogo del delitto.
Un particolare ringraziamento a Ivana Niccolai per aver inviato questo problema al Forum. Un prezioso omaggio per BASE Cinque!
Ultimo aggiornamento: luglio 2005
Le tracce sono minime, ma Maigret non si dispera.
Prima di tutto segna in rosso alcuni elementi importanti sulla fotografia.
DVD = dividendo, DVR = divisore, Q = quoto.
M1, M2, M3, M4, sono tutti multipli del divisore.
R1, R2, R3, sono resti parziali.
Traccia 1:
il divisore (DVR) è di 3 cifre mentre il dividendo (DVD) inizia con la cifra 5,
perciò il divisore (DVR) è compreso fra 100 e 598.
Traccia 2:
c'è una sottrazione di questo tipo:
R1 * * * * - M2 * * * = __________ R2 5
Maigret riflette. Questo è un indizio potente.
Il minuendo che è anche il resto parziale 1 (R1) deve essere compreso fra 1000
e 1004
Il sottraendo, che è un multiplo del divisore (M2) deve essere compreso fra 995
e 999.
Ciò significa che il divisore (DVR) deve avere un multiplo molto vicino a 1000,
per la precisione distante non più di 5 unità da 1000.
In termini matematici questo indizio si può scrivere così:
1000 MOD divisore < 6
A questo punto Maigret telefona all'ispettore Sikuro Toshiba, il suo collega
giapponese, e gli chiede: "Toshiba, potrebbe farmi avere la lista dei
numeri n compresi fra 100 e 598 tali che 1000 MOD n < 6?
Toshiba, che è un ottimo calcolatore, gli risponde immediatamente:
100, 111, 125, 166, 199, 200, 249, 250, 332, 333, 498, 499, 500.
Maigret è soddisfatto. La lista dei sospetti si è ridotta a 13 numeri.
Traccia 3:
Ma vi è ancora una traccia importante. Il resto parziale 3 (R3), assieme al
fatto che il resto della divisione è 0 indica che il divisore (DVR) ha un
multiplo di 4 cifre la cui seconda cifra è un 5.
A questo punto Maigret ha scoperto il colpevole.
Ma per sicurezza, convoca tutti i sospetti e li interroga.
Tutti hanno un alibi, tranne il 199.
100: se io fossi colpevole, la prima cifra di R3 sarebbe 0.
111: ho un alibi: i miei primi 9 multipli sono tutti di 3 cifre, quindi non
possono stare in M4.
125, 166: noi non abbiamo multipli di 4 cifre la cui seconda cifra sia 5.
199: mi rifiuto di rispondere.
200: se io fossi colpevole, il primo resto parziale (R1) sarebbe formato da più
di una cifra.
249: io non ho multipli di 4 cifre la cui seconda cifra sia 5.
250: se io fossi colpevole, la prima cifra di R3 sarebbe 0.
332, 333: se noi fossimo colpevoli R1 sarebbe formato da più di una cifra.
498, 499: noi non abbiamo multipli di 4 cifre la cui seconda cifra sia 5.
500: se io fossi colpevole, la prima cifra di R3 sarebbe 0.
Le prove contro il 199 sono ormai schiaccianti.
Maigret esegue pochi facili calcoli, trova il povero dividendo e il quoto.
Effettuata la divisione in tutti i dettagli, risulta che 199 è l'unico
colpevole.
Viene immediatamente moltiplicato per il quoto e così il dividendo può
tornarsene a casa integro e felice.
Ecco la soluzione completa, fornita a tempo di record da
Pasquale:
598000572 : 199 = 3005028
La soluzione di Bruno D'Amore e Paolo Oliva, inviata da Ivana
Niccolai
(http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/damore_numeri.htm)
Nella criptoaritmetica le divisioni sono sempre eseguite con l'algoritmo
"a danda larga", per poter visualizzare le sottrazioni eseguite.
Sì, bisognava osservare con attenzione la seconda sottrazione: poiché la
differenza è 5, il minuendo deve essere compreso tra 1000 e 1004 inclusi e il
sottraendo fra 995 e 999 inclusi.
Si esaminano le scomposizioni di questi numeri in cui compaiono numeri di tre
cifre, che potrebbero essere il divisore:
995 = 5*199
996 = 2*498 = 4*249
997 è un numero primo
998 = 2*499
999 = 3*333= 9*111
Soltanto 111 e 199 potrebbero andar bene, perché sono gli unici che possono
dare un numero di tre cifre che inizia per 5 (come visualizziamo all'inizio
della divisione).
Il numero 111 va scartato perché non può dare un prodotto di quattro cifre,
come nell'ultima sottrazione.
Il divisore è dunque 199.
Nota.
Riporto l'elenco di tutti i fattori dei numeri da 995 a 999.
Elenco tutti i fattori dei numeri da 995 a 999, ottenuti con il programma che
trovate qui:
Numeri primi e fattorizzazione
Inizio...
995: 1-5-199-995
------------
996: 1-2-3-4-6-12-83-166-249-332-498-996
------------
997: 1-997
------------
998: 1-2-499-998
------------
999: 1-3-9-27-37-111-333-999
------------
Fine.
Complimenti a Pasquale per aver superato la complessità combinatoria di questo esercizio, creando in un tempo brevissimo un programma capace di risolverlo quasi istantaneamente.
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