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Matrici Magiche

anche chiamate Forcing Matrices

Ho trovato in un mio vecchio quaderno di appunti la seguente matrice:

C'è scritto che ha la seguente proprietà:

1) Scegliete un numero a caso fra quelli scritti.
2) Scrivete il numero e cancellate la riga e la colonna a cui appartiene.
3) Scegliete un altro numero fra quelli rimasti.
4) Scrivete il numero e cancellate la riga e la colonna a cui appartiene.
Procedete allo stesso modo fino a quando avrete scritto 5 numeri e cancellato tutti gli altri numeri della matrice.
Ad esempio: sono stati scelti successivamente i numeri 18, 9, 22, 20, 9

5) Addizionate i cinque numeri che avete scritto.

• Otterrete sempre lo stesso totale: quale?
• Qualcuno conosce l'origine di questo gioco?
• Come è stata costruita la matrice?
• Se ne possono costruire altre con la stessa proprietà?

Nota Storica
Ne parla M. Gardner nel suo "Enigmi e giochi matematici 1", capitolo secondo, intitolato appunto "Magia con le matrici". Afferma di non sapere l'origine del gioco; il più vecchio riferimento da lui trovato risale a un libro del Kraitchik del 1942.
(giobimbo)

Il concetto di forcing matrix fu descritto per la prima volta da Walter Gibson, nel 1938. In seguito fu ripreso da Maurice Kraitchik e da altri matematici, come Mel Stover, Stewart James, Martin Gardner, Howard Lyons, Leslie May, Sam Dalal, Paul Hallas, Max Maven, and Richard Busch.
(Doug Dyment)

Ultimo aggiornamento: febbraio 2005

Risposte & riflessioni

Un modo di giocare ideato da Max Maven
Considerate, ad esempio, la seguente tabella

Prendete 5 matite colorate di 5 colori diversi:

• tracciate cinque linee di colori diversi lungo le colonne;
• tracciate altre 5 linee di colori diversi lungo le righe;
• sommate i numeri delle caselle in cui si intersecano linee dello stesso colore.

Nell'esempio, avete ottenuto: 8+7+11+17+14=57, che è la somma forzata.

Un modo di giocare ideato da Doug Dyment
Scegliete una parola di 5 lettere, ad esempio CUORE.
Scrivete le lettere nell'ordine che desiderate, sia in orizzontale che in verticale, come nella figura qui sotto.

Nell'esempio, avete ottenuto: 11+4+10+23+9=57, che è ancora la somma forzata.

Come si costruisce una matrice magica?
Ecco come costruire una matrice magica 5x5 in cui la somma forzata sia 57
Questo metodo, con semplici modifiche è valido per qualsiasi matrice e qualsiasi somma forzata (che sia lecita).
Scegliete 10 numeri qualsiasi la cui somma dia 57. Questi numeri sono i semi della matrice magica. I semi possono essere numeri di tutti i tipi: interi, razionali, irrazionali e lo stesso seme può essere ripetuto più volte.
Ad esempio: 6 + 1 + 4 + 7 + 12 + 7 + 3 + 4 + 11 + 2.
Scriveteli ai bordi di una matrice vuota, come illustrato qui sotto. Cinque numeri in orizzontale e cinque in verticale.

	6	1	4	7	12
7
3
4
11
2

Riempite quindi la matrice scrivendo in ogni casella la somma dei due numeri che ne individuano la riga e la colonna.
Praticamente è una tabella della somma.

Alla fine eliminate i numeri che sono serviti da semi per costruire la matrice magica. La matrice è pronta!

Perché funziona?
Cavolo! Ma perché una cosa così semplice è anche così magica?

• Ogni numero della matrice è la somma di due semi.
• Quando scelgo un numero e cancello la riga e la colonna che lo individuano, in pratica conservo la somma di due semi ed elimino tutte le altre somme che contengono uno dei due semi. In questo modo sono sicuro che non saranno più contati.
• Procedendo in questo modo, i cinque numeri che scelgo sono la somma di cinque differenti coppie di semi.
• La loro somma è quindi la somma di tutti i semi, che è proprio la somma forzata che ho stabilito all'inizio!

Mago Merlino
Che ne dite di questa matrice:

Oltre ad essere una matrice magica ha altre proprietà:

• utilizza solo le 9 cifre, usando 1 volta la cifra 1, 2 volte la cifra 2, 3 volte la cifra 3, 4 volte la cifra 4, 5 volte la cifra 5;
• 1 volta la cifra 9, 2 volte la cifra 8, 3 volte la cifra 7, 4 volte la cifra 6;
• la somma dei 5 numeri trovati sarà sempre uguale al numero degli elementi della matrice.

Pasquale
A prima vista sembra incredibile, ma poi ci si accorge che di matrici di questo tipo ce ne sono infinite e che si costruiscono in quattro e quattr'otto ad occhio:

La matrice più semplice:

0-0-0-0-0
0-0-0-0-0
0-0-0-0-0
0-0-0-0-0
0-0-0-0-0

A parte la semplice osservazione della matrice proposta, considerando ogni casella come un'incognita (a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,......,e5), esistono 120 possibilità diverse di scegliere le 5 caselle da sommare.
Esempio:

a1+b2+c3+d4+e5
a1+b2+c3+d5+e4
a1+b2+c4+d3+e5
a1+b2+c4+d5+e3
........
........

Volendo costruire una matrice come quella descritta, due diverse somme devono essere uguali, cioè sono uguali fra loro tutte le 120 somme.
Confrontandole fra loro a 2 a 2, otteniamo 7140 equazioni: una sorta di megasistema.
Dalle 4 somme di gui sopra, ad esempio otteniamo:

a1+b2+c3+d4+e5 = a1+b2+c3+d5+e4
a1+b2+c4+d3+e5 = a1+b2+c3+d4+e5

da cui:

d4+e5 = d5+e4
d3+e5 = d5+e3

Per farla breve, si trova che in qualsiasi quadrato o rettangolo inscritto nella matrice, la somma dei 2 numeri
posti agli estremi di una diagonale (nelle caselle d'angolo) deve essere uguale alla somma dei 2 numeri posti agli estremi dell'altra diagonale.

Una volta capito questo, è facile verificarlo sulla matrice (magari non si nota a prima vista) e di conseguenza è facile costruire qualsiasi matrice, iniziando da due caselle d'angolo sulla stessa diagonale con due numeri qualsiasi, facendo in modo da inserire nelle caselle d'angolo dell'altra diagonale due numeri diversi che abbiano la stessa somma: volendo anche i numeri negativi possono far gioco.
Pian, piano si riempie tutta la matrice.

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