Numeri amici

Una domanda a Pitagora
Un giorno chiesero a Pitagora: "Chi è un amico?"
Egli rispose: "Colui che è l'altro me stesso."
E portò come esempio i numeri 220 e 284. Sono due numeri amici perché ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori propri dell'altro.
Un divisore proprio di un numero è un divisore minore del numero stesso.

Il sultano e il matematico
C'era una volta un sultano che si considerava un grande solutore di problemi.
Le guardie gli dissero che uno dei suoi prigionieri era un matematico.
Il giorno seguente il sultano andò a far visita al prigioniero e gli lanciò la sfida seguente:
"Puoi scegliere se rimanere in prigione per tutta la vita o darmi un problema da risolvere. Ma deve essere un problema veramente difficile perché ti lascerò libero finché non troverò la soluzione, ma appena avrò trovato la soluzione ti farò tagliare la testa."
Il prigioniero accettò la sfida senza esitazione.
Diede al sultano il seguente problema:

"La somma di tutti i divisori di 200, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
e la somma di tutti i divisori di 284, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.
Trova un'altra coppia di numeri come questi."

Ispirato ad un racconto di Titu Andreescu, Illinois Mathematics and Science Academy.

Il prigioniero di questa storia se ne andò libero e morì a tarda età con la testa sul collo perché il sultano non fu mai capace di risolvere il problema che egli gli diede.

Quanti calcoli avrebbe dovuto fare per scoprire la successiva coppia di numeri amici, che è 1184, 1210?

La coppia di numeri amici (17.296 ; 18.416), spesso attribuita a Fermat, in realtà è stata scoperta dall'arabo al-Banna nel XIII secolo.

Thabit ibn Qurra scoprì una formula per calcolare coppie di numeri amici.
Se si riesce a trovare un numero n che rende primi i numeri a,b,c delle espressioni seguenti:

sono amici.
Per n=2 si ottiene la coppia 220, 284, per n=4 si ottiene la coppia 17.296, 18.416, per n=7si ottiene 9.363.584 and 9.437.056, rispettivamente le coppie di Pitagora, al-Banna e Descartes.

Tra 0 e 100.000.000 esistono 236 coppie di numeri amici. Nella seguente tabella riporto le prime 10 e l'ultima.

n°	m		n
1	220	22 * 5 * 11	284	22 * 71
2	1.184	25 * 37	1.210	2 * 5 * 112
3	2.620	22 * 5 * 131	2.924	22 * 17 * 43
4	5.020	22 * 5 * 251	5.564	22 * 13 * 107
5	6.232	23 * 19 * 41	6.368	25 * 199
6	10.744	23 * 17 * 79	10.856	23 * 23 * 59
7	12.285	33 * 5 * 7 * 13	14.595	3 * 5 * 7 * 139
8	17.296	24 * 23 * 47	18.416	24 * 1151
9	63.020	22 * 5 * 23 * 137	76.084	22 * 23 * 827
10	66.928	24 * 47 * 89	66.992	24 * 53 * 79
236	97.041.735	3 * 3 * 5 * 7 * 71 * 4339	97.945.785	3 * 3 * 5 * 7 * 239 * 1301

Un programma in DECIMAL BASIC per trovare tutte le coppie di numeri amici in un dato intervallo.

DECLARE EXTERNAL FUNCTION f
FOR n=1 TO 10000
LET m=f(n)
if n<m AND n=f(m) THEN PRINT n,m
NEXT n
END

EXTERNAL FUNCTION f(n)
LET s=1
FOR i=2 TO SQR(n )
IF MOD(n,i)=0 THEN
IF i=n/i THEN LET s=s+i ELSE LET s=s+i+(n/i)
END IF
NEXT i
LET f=s
END FUNCTION

Ringrazio Scripter per il seguente programma in C
#include <stdio.h>
#define LIMITE 10000

int main()
{
int numero, amico;
for (numero = 2; numero <= LIMITE; numero++) {
amico = somma_divisori(numero);
if (somma_divisori(amico) == numero) {
printf("%d %d\n", numero, amico);
}
}
return 0;
}

int somma_divisori(int n)
{
int i, totale = 0;
for (i = 1; i < n; i++) {
if (n % i == 0) {
totale += i;
}
}
return totale;
}

Ultimo aggiornamento: marzo 2005

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