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I numeri poligonali


I numeri triangolari
Si chiamano numeri triangolari i numeri formati come indicato nella figura seguente.

Interi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    2+1 3+3 4+6 5+10 6+15 7+21 8+28 9+36 10+45
Triangolari 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

Il numero triangolare n-esimo, Tn, :

Tn = n(n+1)/2


I numeri quadrati
Si chiamano numeri quadrati i numeri formati come indicato nella figura seguente.

Dispari 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    3+1 5+4 7+9 9+16 11+25 13+36 15+49 17+64 19+81
Quadrati 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Il numero quadrato n-esimo, Qn, :

Qn = n^2


Marco Pellegrini ci invia alcune dense e significative riflessioni sulle relazioni fra i numeri triangolari e tetraedrici (o piramidali) e il triangolo di Tartaglia.

Generalizzando il discorso dei numeri triangolari e quadrati, si puo' parlare dei numeri cubici (ovviamente l'n-simo numero cubico e' n^3) e di numeri tetraedrici Tn, definiti da me (e non so se anche da altri) come segue: Tn e' la somma dei primi n numeri triangolari.
Per cui: T1=1; T2=1+3=4; T3=1+3+6=10; T4=1+3+6+10=20; etc.

64 = 4^3 un esempio di numero cubico

20 = 1+3+6+10 un esempio di numero piramidale

Non e' difficile dimostrare per induzione che:
Tn=(n+2)*(n+1)*n/6.
Tra l'altro questa formula e' il coefficiente binomiale (n+2 su 3), quindi troviamo tutti i numeri tetraedrici ben allineati nel triangolo di Tartaglia.
Osservo che anche la formula dei numeri triangolari e' un coefficiente binomiale (n+1 su 2), e quindi anche i numeri triangolari si trovano tutti ben allineati nel triangolo di Tartaglia.



Risposte & riflessioni

 


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