[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Un uomo scava un pozzo
Un uomo viene assunto per scavare un pozzo per acqua profondo 10
m.
Si stabilisce che il compenso per il lavoro sarà 1000 Euro.
Tuttavia già a 5 m di profondità si trova una falda d'acqua,
perciò lo scavo viene terminato.
L'uomo chiede quindi una ricompensa di 500 Euro, la metà di
quanto pattuito.
Viene chiamato un esperto, il quale dice che quella non è la
giusta ricompensa.
Allora, qual è?
E se lo scavo si fosse interrotto a 9 m, quale sarebbe stata la ricompensa?
(Al Qazwînî, c1260)
Note (tratte da David
Singmaster)
c1260 al-Qazwini: (The Book of the) Wonders
of the Creation and Unique [Phenomena] of the Existence =
Prodigies of Things Created and Miraculous Aspects of Things
Existing = The Cosmography) - first Man Digging a Well and
Stopping Short.
Novembre 2004
Soluzioni
Per scavare un pozzo bisogna portare fuori la terra.
Al primo metro di profondità la terra dovrà essere sollevata di un metro. Al secondo, di due metri. Al terzo, di tre metri, e così via, fino alla fine.
Dunque scavare un pozzo è facile all'inizio ma via via che si procede diventa sempre più faticoso.
La fatica è proporzionale alla profondità e così deve essere anche la paga.
Possiamo supporre che sia direttamente proporzionale.
Gli autori medioevali risolvevano il problema così.
Stabiliamo che la "fatica" per scavare il primo metro sia 1. Allora per i metri successivi sarà 2, 3, 4, ...
Dunque la "fatica" per scavare un pozzo di 10 m sarà:
1+2+3+4+...+10 = 55
Se l'uomo ha scavato soltanto 5 m, la sua fatica è stata:
1+2+3+4+5 = 15
Egli si è fermato ai 15/55 della fatica necessaria per fare lo scavo pattuito all'inizio.
Dunque riceverà i 15/55 del compenso:
1000*15/55 = 274 Euro circa.
Se si fosse fermato a 9 m di profondità, avrebbe ricevuto i 45/55 del compenso, pari a 818 Euro circa.
La strategia medioevale
La sequenza dei primi n numeri interi è una progressione aritmetica e la somma si trova con la seguente formula:
1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Indichiamo con Tn tale numero (T sta per triangolare).
Se indichiamo con:
allora la formula per trovare il compenso effettivo, cb è:
Tp:Tb = c:cb
cb = Tb*c/Tp = (p(p+1)c)/(b(b+1))
La strategia moderna
Se la "fatica" f è proporzionale alla profondità x, allora:
f = kx
integrando otteniamo
L = kx2/2
L esprime la quantità di "lavoro" svolto scavando fino alla profondità x.
Vogliamo che il compenso C sia proporzionale a tale lavoro svolto.
Possiamo quindi scrivere:
C = hx2/2, dove h è una costante opportuna.
Dobbiamo ora trovare il valore di h.
Per farlo, teniamo conto che ad un pozzo profondo p corrisponde un compenso pattuito c.
Ciò significa che nell'espressione:
C = hx2/2
Per x = p, il compenso C vale c.
Sostituendo:
c = hp2/2
da cui si ricava:
h = 2c/p2
Finalmente, sostituendo, possiamo esprimere il valore di C in funzione della profondità effettivamente scavata.
C = c(x2/p2)
Con questa procedura, la ricompensa per metà scavo è:
1000(25/100) = 250 Euro
Per 9 metri scavo è:
1000(81/100) = 810 Euro
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo