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Quadrati straordinariamente magici

Vi presento 3 quadrati magici che hanno qualcosa in più...

Che cosa è un quadrato magico? Un piccolo pro-memoria.
Nel quadrato qui sotto sono scritti i numeri 1,2,3, ...9. Si verifichi che la somma dei numeri scritti su una stessa orizzontale, o su una stessa verticale, o su una delle due diagonali, è sempre 15, e cioè:
2 + 7 + 6 = 9 + 5 + 1 = 4 + 3 + 8 = 2 + 9 + 4 = 7 + 5 + 3 = 6 + 1 + 8 = 2 + 5 + 8 = 4 + 5 + 6 = 15.

In generale un quadrato magico si costruisce disponendo tutti i numeri interi da 1 a n² in una griglia di n*n caselle in modo tale che la somma dei numeri di ogni riga, di ogni colonna e di ogni diagonale sia sempre la stessa. Il numero di righe (e di colonne) si chiama ordine del quadrato, mentre la somma di una riga (o colonna o diagonale) si chiama costante magica.
Quello dell'esempio è un quadrato magico di ordine 3 e la sua costante magica è 15.

Alcuni quadrati magici però, hanno qualcosa in più...

Un gioco di prestigio con un quadrato più-che-magico

• Prendete un foglio di carta, formato A4, e ritagliate un quadrato di circa 21x21 cm.
• Piegate il quadrato a metà per quattro volte di seguito in modo da ottenere una griglia di 4*4 caselle. Le pieghe devono essere nette e precise.
• Aprite il foglio e copiate i numeri del seguente quadrato magico nelle 16 caselle.

• Con le forbici tagliate il foglio lungo le pieghe, dove volete. Attenti però a non staccare parti di foglio. Il foglio deve rimanere unito. Ad esempio, nella figura qui sotto, le linee rosse indicano come potrebbero essere effettuati i tagli.

• Adesso ripiegate le varie sezioni del foglio seguendo le pieghe già fatte, in qualunque modo volete. Continuate a piegare il foglio su se stesso fino ad ottenere un pacchetto grande come una singola casella. Sempre a titolo di esempio, le due immagini qui sotto illustrano la procedura che si dovrebbe seguire.

Ci tengo a precisare nuovamente che le figure sono soltanto un esempio. In realtà voi potete tagliare e piegare il foglio in modo diverso da quanto indicato. Anzi, vi invito a fare le cose nel modo più complicato possibile!

• Tenendo saldamente il pacchetto tra il pollice e l'indice, ritagliate quattro sottili strisce di carta lungo i bordi in modo da separare i quadretti che formano le 16 caselle.
• Fatto questo, posate i quadretti di carta sul tavolo, uno per volta senza capovolgerli. Alcuni di essi saranno con la faccia in su ed altri con la faccia in giù.
• Addizionate i numeri che si leggono nei quadretti con la faccia in su.

In qualunque modo voi abbiate ritagliato e ripiegato il foglio, otterrete sempre la stessa somma.
Quale?
Chi sa spiegare come mai il quadrato ha questa straordinaria proprietà?
Ci sono altri quadrati magici per i quali vale la stessa proprietà?

Un altro quadrato più-che-magico
Osservate il seguente quadrato magico.
Quali proprietà riuscite a individuare?

Un potentissimo quadrato magico di 3000 anni fa
Nel TA CHUAN, il grande Trattato che spiega i fondamenti e l'uso dello I CHING, compare un disegno molto simile a quello qui sotto. I cerchi bianchi e neri potrebbero essere nodi fatti su una corda per rappresentare dei numeri.

Il Lo Shu

Il Lo Shu interpretato come un quadrato magico

Se disponiamo i numeri in una griglia di 3*3 caselle, otteniamo il più antico quadrato magico di cui si abbia notizia. Risale probabilmente al III millennio a.C. ed è noto col nome di Lo Shu che significa "lo scritto del fiume Lo". Secondo la leggenda fu copiato dall'imperatore cinese Yu dal disegno che vide sul dorso di una tartaruga sacra trovata nel Lo, un affluente del Fiume Giallo.

Per gli antichi Cinesi il Lo Shu era molto di più che un esercizio di aritmetica. Era un simbolo potentissimo di cui si diceva: "E' questo ciò che compie le alterazioni e le trasformazioni e mette in moto demoni e dèi".

E noi, oggi, cosa possiamo trovare (o ritrovare) di speciale in questo quadrato?

A chi desidera saperne di più sullo I CHING e sulla matematica cinese antica, consiglio i seguenti libri:

• I CHING, Il Libro dei Mutamenti, a cura di Richard Wilhelm, con la prefazione di Carl Gustav Jung, Adelphi;
• Elena Judica Cordiglia, I CHING, il libro dei mutamenti, Mediterranee;
• George Gheverghese Joseph, C'era una volta un numero, Il Saggiatore.

Pubblicato: febbraio 2004

Risposte & riflessioni

Un gioco di prestigio con un quadrato più-che-magico
Otto quadretti sono sempre a faccia in su e la loro somma è sempre 68. Diviso per 2 fa 34. Assolutamente incredibile!

Un altro quadrato più-che-magico
L'ordine del quadrato è 4 e la costante magica 34.

Ma c'è qualcosa di più:

• la somma dei 4 numeri agli angoli è 34;
• la somma dei 4 numeri centrali è 34;
• il quadrato può essere diviso in 4 sotto-quadrati 2x2, (ad es. 7+12+2+13) i cui numeri danno sempre come somma 34;
• anche tutti gli altri sotto-quadrati 2x2 (ad. es. 12+1+13+8) danno lo stesso risultato.

Mi viene in mente una domanda: in quanti modi 34 può esprimersi come somma di 4 numeri naturali compresi fra 1 e 16?

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