[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Le radici quadrate di un numero complesso

Quali sono le radici quadrate di 5+12i?

Risposte & riflessioni

Più avanti c'è un breve ripasso. Qui c'è la soluzione.

Il metodo applicato a questo esempio si può applicare in ogni caso.

Nei numeri complessi come anche in quelli reali, vale la seguente:

Definizione. Una radice quadrata di un numero complesso a + bi è un numero complesso x + yi che elevato al quadrato dà come risultato a + bi.

(x + yi)² = a + bi

---

Troviamo le radici quadrate di 5 + 12i

1. Dobbiamo trovare un numero tale che:

   (x + yi)² = 5 + 12i

2. Espandiamo il quadrato:

   x² − y² + 2xyi = 5 + 12i

3. Uguagliamo la parte reale e la parte immaginaria delle due espressioni:

   x² − y² = 5

   2xy = 12

4. Dalla seconda equazione ricaviamo:
   
5. Sostituiamo nella prima equazione e ordiniamo:
   

   

6. Risolviamo il sistema ottenendo:

   [x=−2i, y=3i], [x=2i, y=−3i], [x=−3, y=−2], [x=3, y=2]

7. Ci sono 4 soluzioni. Possiamo prenderle tutte o anche solo quelle reali. In ogni caso otterremo DUE radici del numero iniziale.

   (3 + 2i), (−3 − 2i)

   In conclusione:

   √(5 + 12i) = ±(3 + 2i)

Ogni numero complesso diverso da 0 ha due radici quadrate.

Un breve ripasso

Nei numeri reali

Definizione. Una radice quadrata di un numero reale n è un numero x che elevato al quadrato dà come risultato n.

x² = n

Troviamo la (o le) radici quadrate di 25.

Chiediamoci: quale (o quali) numeri reali elevati al quadrato danno come risultato 25?

E' facile trovare due numeri, 5 e −5, infatti:

5² = 25

(−5)² = 25

Le due radici di un numero reale positivo n sono due numeri opposti e si indicano:

√n, −√n

Tornando all'esempio:

√25 = 5, −√25 = −5

Si può anche scrivere:

±√25 = ±5

Attenzione: √25 = ±5 è una scrittura sbagliata perché √25 indica la sola radice positiva.

L'unità immaginaria

La radice di un numero negativo non esiste nei numeri reali.

√−25 = ?

Non esiste un numero reale x tale che:

x² = −25

Se vogliamo dare un valore alle radici quadrate dei numei negativi è sufficiente che diciamo qual è la radice quadrata di −1.

√−1 = i

Con la lettera i si indica l'unità immaginaria.

Allora possiamo scrivere, per esempio:

√−25 = √25 · √−1 = 5·i = 5i

C'e anche l'altra soluzione:

−√−25 = −√25 · √−1 = −5 · i = −5i

Una proprietà di i

Usando la definizione di i si ottiene:

i = √−1

i² = −1

i³ = i² · i = −i

i⁴ = i² · i² = 1

i⁵ = i⁴ · i = i

e così via...

Ma anche:

i⁻¹ = 1 / i = i / i² = −i

i⁻² = i / i³ = −1

e così via...

---

Salvo errori e omissioni

---

Pace e bene a tutti.

Data creazione: febbraio 2020

Ultimo aggiornamento: febbraio 2020

xhtml 1.1

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo