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La radice quadrata

Rilassatevi, questo algoritmo è una ciliegina!

La stima iniziale L'algoritmo Un altro esempio Spiegazione dell'algoritmo I consigli di Rafael Bombelli I consigli di Enrico Delfini

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Esiste un metodo semplice per calcolare "a mano" la radice quadrata di un numero?

Ne esistono diversi, ma non si può dire che siano semplicissimi.
Il procedimento che viene ancora oggi insegnato nella scuola media è lo stesso che Rafael Bombelli presentò nella sua Opera su Algebra del 1550.

Questo algoritmo è difficile da ricordare soprattutto se viene imparato meccanicamente, senza capirne le motivazioni. Gli strumenti per capirlo si acquisiscono nel primo anno della scuola superiore, con lo studio del calcolo letterale e dei cosiddetti prodotti notevoli.
Gli antichi hanno faticato a lungo per costruire le tavole delle radici quadrate e i moderni hanno inventato le calcolatrici tascabili.
Se il vostro obiettivo è risolvere dei problemi allora è meglio utilizzare le tavole o la calcolatrice.
Se il vostro obiettivo è capire l'algoritmo allora questa pagina fa per voi!

I consigli di Delfini e di Bombelli, comunque, sono e saranno sempre utili per tutti.

La stima iniziale

Dato un qualunque numero intero è facile stimare immediatamente da quante cifre è composta la parte intera della sua radice quadrata e qual è la sua prima cifra.
Esempio:
la radice quadrata (Rad) di 268745 inizia per 5 ed è formata da 3 cifre.
Rad(268745) = 5 _ _.
In effetti Rad(268745) = 518,406...

Come si fa per eseguire questa stima?
Si divide il numero in gruppi di 2 cifre partendo da destra.
26.87.45
- I gruppi sono 3 e perciò la radice quadrata ha 3 cifre.
- Il primo gruppo è 26. La radice quadrata di 26 approssimata per difetto a meno di una unità è 5 e perciò la radice quadrata del numero inizia per 5.

Come si giustificano queste regole?
- La stima del numero di cifre deriva da una caratteristica della nostra notazione in base 10.
Se 0 < a < 10 allora 0 < a² < 100,
Se 10 < a < 100 allora 100 < a² < 10 000,
Se 100 < a < 1000 allora 10 000 < a² < 1 000 000,
.
.
.
- La stima della prima cifra deriva da un ragionamento sui quadrati dei numeri da 1 a 9.
In questo caso:
5² = 25 - 6² = 36
50² = 2500 - 60² = 3600
500² = 250000 - 600² = 360000
.
.
.
Dato che:
250000 < 268745 < 360000
Si ha che:
500 < Rad(268745) < 600
Dunque la prima cifra è 5.

Esercizi:
Trova la prima cifra ed il numero di cifre delle seguenti radici quadrate:
Rad(534) = Rad(5.34) = 2 _ _
Rad(9876) = Rad(98.76) = 9 _
Rad(1111111) = Rad(1.11.11.11) = 1 _ _ _

L'algoritmo

Estraiamo la radice quadrata di 7548
- Consideriamo il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata:
7548
- Dividiamolo in gruppi di 2 cifre a partire da destra
75.48
- Possiamo subito dire che la radice è:
Rad(75.48) = 8? + resto (? è la seconda cifra della radice di 7548)

Scriviamo 8 nello spazio del risultato e 64 (=8^2) sotto il 75.
Eseguiamo quindi la sottrazione 75 - 64 e scriviamo il risultato sotto il 64.

Abbassiamo accanto al resto il secondo gruppo di cifre, 48.

Moltiplichiamo per 20 la prima cifra del risultato (8*20=160) e la trascriviamo nello spazio calcoli, aggiungiamo un +, uno spazio, un x, uno spazio e un =.
Chiediamoci: qual è il numero n tale che (16 + n) * n è il più vicino possibile per difetto a 1148?
Bisogna procedere per tentativi!

Il numero cercato è 6. E' la seconda cifra del risultato! Trascriviamolo vicino all'8!
Trascriviamolo inoltre negli spazi, eseguiamo i calcoli e trascriviamo il risultato sotto il 1148.

Calcoliamo la differenza 1148-996 e trascriviamola sotto il 996. Questa è il resto della radice!

In conclusione:
Rad(7548) = 86 con il resto di 152.
Ovvero 7548 = 86² + 152.

Un altro esempio

Dài, su, ci ho preso gusto! Proviamo con un numero più lungo.
Estraiamo la radice quadrata di 1432542
- Consideriamo il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata:
1432542
- Dividiamolo in gruppi di 2 cifre a partire da destra
1.43.25.42
- Possiamo subito dire che la radice è:
Rad(1.43.25.42) = 1??? + resto

Ecco i primi due passaggi, effettuati come nel caso precedente.

Il procedimento continua ripetendo gli stessi passaggi fino ad esaurire tutte le coppie di cifre che compongono il numero di partenza.

Note.
Perché ho scritto 220? Perché 200 = 11*20
Perché ho scritto 2380? Perché 2380 = 119*20

In conclusione:
Rad(1432542) = 1196 con il resto di 2126.
Ovvero 1432542 = 1196² + 2126.

E se volessimo calcolare anche i decimali della radice quadrata?
Facile: dobbiamo continuare il procedimento aggiungendo due zeri alla volta. Ogni coppia di 0 aggiunti permette di trovare un decimale nella radice.

Spiegazione dell'algoritmo

Per capire il funzionamento dell'algoritmo sono necessari almeno due prerequisiti.

1) La notazione posizionale in base 10 e la scrittura dei numeri in forma polinomiale.
Noi scriviamo i numeri utilizzando il sistema posizionale in base dieci.
Quando scriviamo il numero 2358 attribuiamo un significato preciso alla posizione di ciascuna cifra. Siamo in grado di dire che il numero 2358 è composto da 2 migliaia, 3 centinaia, 5 decine e 8 unità.
Ogni numero intero può essere quindi scritto in una forma detta forma polinomiale percé si tratta di un vero e proprio polinomio.

2358 = 1000*2+ 100*3+ 10*5+ 8

2) La formula per il calcolo del quadrato di un binomio
Consideriamo il caso di un binomio.
(a + b)² = a² + b² + 2ab

Applicando questa formula per calcolare il quadrato di un numero intero di 2 cifre scritto in forma polinomiale, si ottiene, ad esempio:

34² = (10*3 + 4)² = 100*3² + 2*3*4*10 + 4² = 100*3² + 4*(20*3 + 4)

In generale:

(10*a + b)² = 100*a² + b*(20*a + b)

Detto questo, provo a spiegare l'algoritmo partendo da un esempio.

Calcoliamo la Radq(7589) = 87,11

Chiamiamo:
N = 7589 (il radicando)
G = 75 (il primo gruppo di cifre del radicando)
g = 89 (il secondo gruppo di cifre del radicando)
n = 87 (la parte intera della radice)
a = 8 (la prima cifra della radice, che si trova subito)
b = 7 (la seconda cifra della radice, che si trova in seguito)

Possiamo scrivere:
N = 100*G + g
(75.89 = 100*75 + 89)

n = 10*a + b
(87 = 10*8 + 7)

N = n² + resto

Sostituendo:
(1) (100*G + g) = (10*a + b)² + resto

E, in base a questa uguaglianza:
(10*a+b)² = 100*a² + b*(20*a+b)

Si ha che:
(2) (100*G + g) = 100*a² + b*(20*a + b) + resto

Ricavando il resto dalla (1) e dalla (2) e uguagliando, si ha che:
(3) (100*G + g) - (10*a + b)² = (100*[G - a²] + g) - b*(20*a + b)

Ora, quando noi, nel primo passaggio, eseguiamo la sottrazione:
75 - 64 = 11
e trasportiamo 89 accanto a 11,
otteniamo 1189
che cosa abbiamo fatto?
11 = G - a²
89 = g
1189 = (100*[G - a2] + g)

Quando invece cerchiamo un numero opportuno (7) e calcoliamo:
167*7 = 1169
in modo che il risultato (1169) minimizzi il resto,
che cosa abbiamo fatto?
167*7 = 7*(160 + 7) = b*(20*a + b)

Guarda caso!
1189 - 1169 = (100*[G - a²] + g) - b*(20*a + b)
che è il nuovo resto!

Ma questo resto, per l'uguaglianza (3) è proprio uguale a:
(100*G + g) - (10*a + b)²

Cioè, risalendo alle definizioni originali, è uguale a:
N = n²

Concludendo!
Ripetendo questo procedimento, ad ogni passaggio otterrò una nuova cifra della radice e, avendo minimizzato il resto, sarò sicuro che quella è la cifra giusta!

Se il numero avesse un'altra coppia di cifre, dovrei trascriverla accanto all'ultimo resto (20) e il procedimento andrebbe avanti sostituendo:
G con 100*G+g
a con10*a+b
e così via.

I consigli di Rafael Bombelli

I numeri NON-QUADRATI: se li conosci li eviti

A conoscere li numeri quadrati per pratica.

"Molte volte accade nell'operare di havere a trovare il lato di un numero (= la radice quadrata), che non havendo lato, l'operante non se ne ha a servire; e assai volte accade ne i numeri grandi, poi che si è affaticato assai invano, si trova tal numero non haver lato, per non essere quadrato, e hassi gettato il tempo e l'opera; però, per fuggire questo inconveniente, ho pensato di dar certe regole che assai facilitaranno la strada a conoscere quali siano li numeri quadrati."
Rafael Bombelli, Opera su Algebra, 1550.

Ecco alcune delle regole date da Bombelli.

• Tutti i numeri quadrati finiscono in una delle seguenti cifre: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

• Se un numero termina in: 2, 3, 7, 8 non può essere un quadrato.

• Se si applica la prova del 9 ad un numero e il risultato è uno di questi: 1, 4, 7, 0, allora il numero non è un quadrato.

• Se un quadrato termina per 5 allora ma il 5 non è preceduto da un 2 e il due non è a sua volta preceduto da una cifra pari, allora non è un quadrato.

• Se un numero che termina in 9 oppure 1 e la penultima cifra non è un numero pari allora non è un quadrato.

• Se un numero termina in 4 ma il 4 non è perceduto da una cifra pari, allora non è un quadrato.

• Se un numero termina in 6 ma il 6 non è preceduto da una cifra dispari, allora non è un quadrato.

• Se un numero termina in 0 ma gli zeri terminali sono in numero dispari, allora non è un quadrato.

I consigli di Enrico Delfini

Come esponente della M.A. (matematica approssimativa), ti propongo un sistema assolutamente impreciso, ma, con un poco di pratica, molto rapido per avere un'idea del valore approssimato.
Ciò è utile, sia per "avere un'idea" del risultato, sia per controllare, una volta ottenuto quello "preciso" con i calcoli, a mano o a macchina, se il risultato è "compatibile".
Il procedimento ricalca, in modo grossolano, quello "ufficiale", ma si fa a mente, nel tempo che si impiega a scrivere il numero o a batterlo sulla tastiera.

Si contano le cifre del numero e da questo si scopre di quante cifre è composta la radice:
fino a due cifre-la radice è di una cifra;
3 o 4 cifre-la radice è di 2 cifre;
4 o 5 cifre- la radice è di 3 cifre eccetera.

Ora si guarda solo il primo gruppetto( di una o due cifre) che rimane a sinistra, una volta raggruppate tutte le cifre a due a due, iniziando da destra.

Ora bisogna individuare tra quali "quadrati perfetti" si situa questo numerino; per es. se il numero è 345.823, lo raggruppo a due a due: 34.58.23; il primo gruppetto è 34, che sta fra 25 (^2) e 36 (6^2); posso ora dire che la radice cercata è un numero di 3 cifre che comincia per 5, cioè compreso fra 500 e 599; ora per approssimazione, vedendo che 34 è molto più vicino a 36 che a 25, posso prevedere che la radice sarà più vicina a 599 che a 500; sparo un 580; il vero risultato è 588,xxx, ma col mio sistema lo posso dire prima di aver finito di scrivere; in effetti, una volta contate le cifre, dopo aver scritto le prime due, si può già sparare un valore, approssimato sì, ma mai del tutto sbagliato.