[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Numero razionale o irrazionale?

Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale

Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:

"L'essenza e il significato dei numeri" (Was sind und was sollen die Zahlen), e
"Continuità e numeri irrazionali" (Stetigkeit und irrationale Zahlen),

ma come al solito il tempo è tiranno.

Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.

(con n>2, intero)

sin 1°

cos 1°

tan 1°

(vero o falso?)

(per quali valori interi di n ?)

Vi saluto con un detto Pitagorico.

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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.

Risposte & riflessioni

Troppo facile

$\large\sqr{10}^{\log_{10} 9}=\\$

$\large=10^{\frac{1}{2}\cdot2\log_{10} 3}\\$

$\large=10^{\log_{10} 3} = \\$

E qui viene il punto: che cosa è ${\log_{10} 3}$ ?

Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.

Dunque:

$\large10^{\log_{10} 3} = 3\\$

Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?

Più in generale, le espressioni di questa forma:

$\large\sqr{a}^{\log_{a} b^2} = b\\$

Se b è razionale e a... allora sono numeri razionali.

$\large\log_{\script 100}\/ \sqrt[\script n]{\sqrt[\script n-1]{\sqrt[\script n-2]{\/...\/\sqrt[\script 3]{10}}}}$

è del tipo:

$\large\log_{100}10^{\frac{1}{3k}}=\\$

$\large=\frac{1}{3k}\cdot\log_{100}10=\\$

$\large=\frac{1}{3k}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6k}\\$

che è un numero razionale, essendo k intero.

sin 1° è irrazionale

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:

$\sin(3x) = 3\sin x-4sen^3x$

$\sin(5x) = 5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x$

Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:

SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)

vedi: http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html

Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:

sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:

SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma $\sin 45 = \frac{\sqr2}{2}$ è irrazionale.

Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?

cos 1° è irrazionale

Dimostrazione simile alla precedente.

tan 1° è irrazionale

La dimostrazione è di Tino

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.

Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.

(vero o falso?)

Da scrivere qui.

(per quali valori interi di n ?)

Da scrivere qui.

Data creazione: agosto 2007

Ultimo aggiornamento: agosto 2007

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