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Il problema dello stipendio

1. L'aumento di stipendio
E' meglio un aumento dello stipendio di 50 euro ogni 6 mesi o un aumento di 200 euro ogni anno?

Il problema, espresso così, è ambiguo, perciò è opportuno chiarire quanto segue:

in entrambi i casi lo stipendio viene percepito ogni sei mesi;
nel primo caso, lo stipendio aumenta di 50 euro ogni volta che viene percepito;
nel secondo caso invece, esso aumenta di 100 euro ogni volta che viene percepito, il che corrisponde, per l'appunto, a 200 euro all'anno.

2. Incredibile ma vero!
E' meglio un aumento di 1 euro ogni giorno o un aumento di 35 euro ogni settimana?

Nota:

la settimana si intende di 6 giorni lavorativi;
nel primo caso, lo stipendio S viene percepito ogni giorno con l'aumento di 1 euro al giorno;
nel secondo caso invece, lo stipendio 6S viene percepito una volta alla settimana, il sabato, con l'aumento di 35 euro ogni settimana.

3. I due giovani commessi
Di due commessi, l'uno riceve L. 1000 alla fine di ogni mese con l'aumento di L. 20 dopo ogni mese di servizio.
Un altro riceve L. 500 ogni 15 giorni con l'aumento di L. 5 ogni quindicina.
Chi guadagna di più?
(Peano 1925)

4. Il giovane impiegato
Un giovanotto fu assunto in un ufficio all'età di 15 anni e con uno stipendio di 40 sterline all'anno. Ogni anno il suo stipendio veniva aumentato di 12 sterline.
Quanto guadagnò in 30 anni di lavoro?
Quanto avrebbe guadagnato in tutto se il suo stipendio fosse stato aumentato di 1 sterlina al mese?

Nota storica
Una delle prime versioni di questo problema si trova in Ball. MRE, 3rd ed., 1896.
Una delle ultime in Stuart E. Mills. Dollars and sense. CMJ 24 (1993)

Risposte & riflessioni

1. L'aumento di stipendio
La seguente tabella ci può aiutare a comprendere la soluzione.
Chiamiamo S lo stipendio iniziale.

Intervalli di tempo di 6 mesi	Aumento di 50 euro ogni 6 mesi	Aumento di 200 euro ogni anno
1	S	S
2	S+50	S
3	S+100	S+100
4	S+150	S+100
5	S+200	S+200
6	S+250	S+200
7	S+300	S+300
8	S+350	S+300

Si capisce che con il primo metodo si guadagnano 50 euro in più ogni anno.

2. Incredibile ma vero!
Anche in questo caso ci sarà utile una tabella.

Scorrere del tempo in giorni lavorativi	Aumento di 1 euro al giorno	Aumento di 35 euro ogni settimana
1 L	S
2 M	S+1
3 M	S+2
4 G	S+3
5 V	S+4
6 S	S+5	6S
Tot. settimana 1	6S+15	6S
7 L	S+6
8 M	S+7
9 M	S+8
10 G	S+9
11 V	S+10
12 S	S+11	6S+35
Tot. settimana 2	6S+51	6S+35
13 L	S+12
1 4 M	S+13
1 5 M	S+14
16 G	S+15
17 V	S+16
18 S	S+17	6S+70
Tot. settimana 3	6S+87	6S+70

Si capisce che il primo guadagna più del secondo.
Per la precisione, alla settimana n-esima il primo guadagna 15+(n-1) euro del secondo.

3. I due giovani commessi
Ogni mese il secondo commesso guadagna L. 5 più del primo.

4. Il giovane impiegato
Indichiamo con S lo stipendio base (nel nostro caso 40 sterline) e con n la numerazione (partendo da 1) degli anni di lavoro.

Prima modalità di pagamento.
Stipendio base totale (Stot) percepito in n anni
Stot = 40n
In 30 anni si ha Stot = 1200 sterline
Gli aumenti formano una successione aritmetica di ragione 12:
0 - 12 - 24 - 36 - ... - 12(n-1) in n anni.
La somma di tale successione è: 12n(n-1)/2= 6n^2 - 6n
Per n = 30, si ha il seguente totale aumenti (Sau1)
Sau1 = 6 x 900 + 6 x 30 = 5580 sterline.
Guadagno complessivio in 30 anni = 1200 + 5580 = 6780 sterline.

Seconda modalità di pagamento.
Gli aumenti formano una successione aritmetica di ragione 1 e di periodicità pari ad un mese.
0 - 1 - 2 - 3 - 4 - ... - (n-1) in n mesi
La somma di tale successione è: n(n-1)/2 = (n^2-n)/2
Per n = 360 (numero di mesi in 30 anni), si ha il seguente totale aumenti (Sau2)
Sau2 = (360^2 - 360)/2 = 64620 sterline.
Guadagno complessivio in 30 anni = 1200 + 64620 = 65820 sterline.

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