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Una successione molto istruttiva

Con quali numeri proseguirà la seguente successione numerica?

1; 2; 4; 8; 16; 31; ...

Grazie a Ivana Niccolai per aver inviato questo problema al Forum.

Agosto 2005

Risposte & riflessioni

MaMo risponde subito che il termine generale ella successione è:
a_n = (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24

Beh, è senz'altro una risposta esatta, ma i numeri scritti da Ivana sono l'inizio di una successione che ha diverse straordinarie interpretazioni legate in un certo senso alla realtà che ci circonda.
E' una successione capace di collegare diversi argomenti matematici apparentemente lontani fra di loro, come ad esempio corde di cerchio che si intersecano e triangolo di Tartaglia.

Una soluzione legata ai numeri perfetti
Ma prima vorrei dire che la sequenza potrebbe essere questa:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Fine.

Sono tutti i divisori di 496, il terzo numero perfetto, dopo 6 e 28.
Ho trovato questa sequenza nella pagina di BASE Cinque dedicata ai numeri perfetti.
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/numperfetti.htm

Una soluzione ottenuta con le differenze finite
Se calcoliamo le differenze finite della successione, aggiungendo anche l'ultimo numero scritto da Ivana, otteniamo:

Oh, finalmente siamo arrivati a 1, 2, 3, 4, ...
Questa è una successione canonica e viene istintivo pensare che continui così:
..., 5, 6, 7, 8, ...

Procedendo a ritroso, possiamo estendere la successione iniziale:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, ...
1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, ...
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Che cosa possono significare queste sequenze?

Un'interpretazione geometrica negli spazi a n dimensioni
a) 1, 2, 3, 4, 5, ...
Parto da una retta (1).
Se ci segno 1 punto è divisa in 2 parti (2).
Se ci segno 2 punti è divisa in 3 parti (3).
E così via, 4, 5, 6, ...

b) 1, 2, 4, 7, 11, ...
Parto da un piano (1).
Se ci segno 1 retta, è diviso in 2 parti (2).
Se ci segno 2 rette che si intersecano, è diviso in 4 parti (4).
Se aggiungo un'altra retta che interseca tutte quelle già disegnate, è diviso in 7 parti (7).
E così via.

c) 1, 2, 4, 8, 15, ...
Parto da uno spazio (1)
Un piano lo divide in due parti (2).
Aggiungendo un altro piano che interseca il precedente, lo spazio è diviso in 4 parti (4).
Aggiungendo un 3° piano che interseca tutti i precedenti, lo spazio è diviso in 8 parti (8).
Aggiungendo un 4° piano che interseca tutti i precedenti, formando un tetraedro lo spazio è diviso in 15 parti.
E così via.

0 piani - 1 regione	1 piano - 2 regioni	2 piani - 4 regioni

3 piani - 8 regioni Nella figura, 4 in vista e 4 dietro.	4 piani - 15 regioni Nella figura, 7 in vista, 7 dietro e 1 che è il tetraedro che si forma all'intersezione dei piani. Questa figura non è del tutto adatta in quanto i 4 piani sembrano intersecarsi in un unico punto.

(Queste ultime figure sono tratte da: http://www.codefun.com/Geometry_quantum.htm)

d) 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, ...
E ora siamo finalmente alla serie di Ivana.
Se procediamo con la stessa logica precedente, dovremmo passare all'iperspazio, ovvero allo spazio a 4 dimensioni.
Non riesco ad immaginarmelo, ma mi viene da dire così:
Uno spazio a 3D divide uno spazio 4D in 2 parti.
Se aggiungo uno spazio 3D che interseca il primo (immagino che l'intersezione sia un piano nello spazio a 4D), l'iperspazio è diviso in 4 parti.
E così via, 8, 16, 31, 57, 99, ...

Un'interpretazione geometrica sul cerchio

1 punto - 1 regione	2 punti - 2 regioni	3 punti - 4 regioni
4 punti - 8 regioni	5 punti - 16 regioni	6 punti - 31 regioni

Un'interpretazione sul triangolo di Tartaglia
Date un'occhiata alla somma delle varie righe e particolarmente ai numeri non in grassetto...

Un collegamento fra le regioni nel cerchio e il triangolo di Tartaglia

Immagine	punti	segmenti	triangoli	quadrilateri	pentagoni	esagoni	eptagoni
	1
	2	1
	3	3	1
	4	6	4	1
	5	10	10	5	1
	6	15	20	15	6	1
	7	21	35	35	21	7	1

(Figure tratte da: http://www.rain.org/~mkummel/stumpers/01nov02a.html)

Ed infine: la formula!

Lavori in corso...

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