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La legge della reciprocità quadratica che Gauss chiamava "Aureum Theorema"
Consideriamo le seguenti due congruenze quadratiche:
x2 = q (mod p)
x2 = p (mod q)
dove p e q sono due numeri primi dispari distinti.
Il teorema stabilisce che:
In generale:
Questa è la Legge della Reciprocità Quadratica, dimostrata per la prima volta da Gauss nel 1798.
Nota storica.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) ci teneva molto a questo teorema, tant'è che lo chiamò
"teorema fondamentale" o "Aureum Theorema"e
ne diede ben otto dimostrazioni diverse.
Il teorema si trova nelle sue Disquisitiones Arithmeticae,
scritte in latino classico e terminate verso la metà del 1800.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Le Disquisitiones
Arithmeticae sono divise in sette capitoli, che Gauss chiama sezioni,
secondo l'uso latino. Le prime tre hanno carattere introduttivo e riguardano:
I] Numeri congrui in generale;
II] Congruenze di primo grado;
III] Residui di potenze.
Gauss sistematizza la teoria delle radici primitive dei numeri primi e quella
degli indici, con cui risolve le congruenze.
Le sezioni IV, V e VI rappresentano la parte centrale dell'opera e trattano:
IV] Congruenze di secondo grado, in cui il risultato più importante è
dato dal teorema fondamentale -come lo chiama Gauss- ovvero, dalla legge di
reciprocità quadratica.
V] Forme ed equazioni indeterminate di secondo grado, in cui Gauss espone
sistematicamente la teoria delle forme quadratiche binarie, raccogliendo i
risultati dovuti ad Euler, Lagrange e Legendre e introducendo molti concetti
nuovi, come quelli di ordine, carattere, genere, e numero di classe. Questa è
la parte più difficile di tutto il libro, ma segnerà in maniera programmatica
lo sviluppo futuro della Teoria dei numeri.
VI] Varie applicazioni delle discussioni precedenti.
VII] Equazioni che definiscono le sezioni di un cerchio. La sezione VII,
che è in realtà una monografia, descrive la sua grande scoperta sulla
costruzione con riga e compasso del poligono regolare di 17 lati, mettendo in
relazione i cosiddetti numeri di Fermat con il problema della costruibilità dei
poligoni regolari risalente all'antichità greca.
Dirichlet meditò sulle Disquisitiones per tutta la vita, tenendo la sua copia gelosamente sempre a portata di mano (addirittura anche sotto il cuscino del letto) e portandosela anche quando viaggiava.
Ultimo aggiornamento: aprile 2005
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