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Il teorema di nonno Gauss

La legge della reciprocità quadratica che Gauss chiamava "Aureum Theorema"

Consideriamo le seguenti due congruenze quadratiche:

x² = q (mod p)

x² = p (mod q)

dove p e q sono due numeri primi dispari distinti.

Il teorema stabilisce che:

• se almeno uno dei due numeri primi p, q è della forma 4k+1 allora entrambe le congruenze sono risolvibili;
• se i numeri primi p, q sono entrambi della forma 4k+3 allora una delle due congruenze è risolvibile e l'altra no.

• i divisori primi >2 dei numeri della forman²+1 sono della forma 4k+1;
• i divisori primi >2 dei numeri della forman²-2 sono della forma 8k+1 or 8k-1;
• i divisori primi >3 dei numeri della forman²-3 sono della forma 12k+1 or 12k-1;
• i divisori primi >5 dei numeri della forman²-5 sono della forma 20k+1, 20k-1, 20k+9 oppure 20k-9;

In generale:

• i divisori primi p dei numeri della forma n²-q sono della forma 4qk+b² oppure 4qk-b² per qualche b dispari.

Questa è la Legge della Reciprocità Quadratica, dimostrata per la prima volta da Gauss nel 1798.

Nota storica.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ci teneva molto a questo teorema, tant'è che lo chiamò "teorema fondamentale" o "Aureum Theorema"e ne diede ben otto dimostrazioni diverse.
Il teorema si trova nelle sue Disquisitiones Arithmeticae, scritte in latino classico e terminate verso la metà del 1800.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Le Disquisitiones Arithmeticae sono divise in sette capitoli, che Gauss chiama sezioni, secondo l'uso latino. Le prime tre hanno carattere introduttivo e riguardano:
I] Numeri congrui in generale;
II] Congruenze di primo grado;
III] Residui di potenze.
Gauss sistematizza la teoria delle radici primitive dei numeri primi e quella degli indici, con cui risolve le congruenze.
Le sezioni IV, V e VI rappresentano la parte centrale dell'opera e trattano:
IV] Congruenze di secondo grado, in cui il risultato più importante è dato dal teorema fondamentale -come lo chiama Gauss- ovvero, dalla legge di reciprocità quadratica.
V] Forme ed equazioni indeterminate di secondo grado, in cui Gauss espone sistematicamente la teoria delle forme quadratiche binarie, raccogliendo i risultati dovuti ad Euler, Lagrange e Legendre e introducendo molti concetti nuovi, come quelli di ordine, carattere, genere, e numero di classe. Questa è la parte più difficile di tutto il libro, ma segnerà in maniera programmatica lo sviluppo futuro della Teoria dei numeri.
VI] Varie applicazioni delle discussioni precedenti.

VII] Equazioni che definiscono le sezioni di un cerchio. La sezione VII, che è in realtà una monografia, descrive la sua grande scoperta sulla costruzione con riga e compasso del poligono regolare di 17 lati, mettendo in relazione i cosiddetti numeri di Fermat con il problema della costruibilità dei poligoni regolari risalente all'antichità greca.

Dirichlet meditò sulle Disquisitiones per tutta la vita, tenendo la sua copia gelosamente sempre a portata di mano (addirittura anche sotto il cuscino del letto) e portandosela anche quando viaggiava.

Ultimo aggiornamento: aprile 2005

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