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Il teorema di Tritagora

Estensioni del teorema di Pitagora

Elfo4, che saluta con la simpatica espressione "Trick-track", ha proposto al Forum il seguente problema.

Dimostrare che in un triangolo rettangolo il triangolo equilatero costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei triangoli equilateri costruiti sui cateti.

Prendo lo spunto da questa proposta per farvi conoscere un simpatico libretto di Victor Simonetti, Ciao Pitagora, Simonsegni, 2002 (stampato presso le Officine Grafiche Canessa, Rapallo, Ge).
In questo libretto, in cui ogni pagina è un gioco di immagini, Victor Simonetti trasforma il Teorema di Pitagora in un viaggio attraverso le possibilità formali, gli effetti visivi e le estensioni del teorema stesso, svelandocene i segreti e invogliandoci a scoprire il piacere di giocare con esso.

Risposte & riflessioni

Re: Teorema di Tritagora -- sprmnt21, 10:14:42 03/01/04 Mon [1]
E' vero piu' in generale, per forme qualsiasi purche' simili.

Re: Teorema di Tritagora -- Pasquale, 00:18:56 03/02/04 Tue [1]
Detti a,b i due cateti e c l'ipotenusa, bisogna dimostrare che:
sqr(3)*a^2/4 + sqr(3)*b^2/4 = sqr(3)*c^2/4
da cui:
a^2 + b^2 = c^2 (sappiamo che è vero)

E ora eccoci al libro di Victor Simonetti, dal quale ho tratto le seguenti immagini.

Avete riconosciuto il triangolo di Dudeney? Attraverso una dissezione in 4 parti, un triangolo equilatero può essere trasformato in un quadrato equivalente. Non dimentichiamo che il lato del quadrato è un po' più corto di quello del triangolo.
Grazie a questa dissezione, qualunque esempio del teorema di Pitagora basato sui quadrati può essere trasformato in un esempio basato sui triangoli equilateri. E viceversa.
Dunque questa è una bella soluzione del problema di Elfo4.

Ripetendo ricorsivamente la costruzione si ottengono delle sequenze pitagoriche ad albero che sono dei veri e propri oggetti frattali.

Avete riconosciuto la dimostrazione grafica di Henry Perigal?
L'equivalenza pitagorica rimane valida anche in questi esempi estrosi in cui le figure assumono forme diverse.
In particolare il teorema di Pitagora vale anche se al posto dei quadrati si costruiscono dei semicerchi sui lati di un triangolo rettangolo.

Marzo 2004

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