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Modelli dei 5 poliedri platonici

I poliedri regolari sono il punto d'arrivo degli Elementi di Euclide e trovano la loro continuazione nei poliedri tronchi di Archimede.
In questo laboratorio di matematica ricreativa rappresentano invece il punto di partenza per introdurre lo studio della geometria solida in 3° media.

Ecco 5 solidi particolari.
Volete imparare a costruirli con il cartoncino?

tetraedro

esaedro o cubo

ottaedro

dodecaedro

icosaedro

Le fasi della costruzione del cubo
Ciascuna fase richiede e sviluppa abilità specifiche: tagliare, piegare, incollare, risolvere problemi tecnici, essere precisi e avere una certa dose di pazienza.
Si percepiranno con il tatto gli elementi principali dei poliedri: facce, spigoli, vertici.

1. Ritagliare	2. Piegare
3. Incollare	4. Perfezionare i particolari

Ed ecco il risultato finale!

I cinque poliedri platonici in cartoncino

Il linguaggio dei poliedri
Ora è necessario indagare sulle proprietà dei solidi che abbiamo costruito imparando le parole adatte a descrivere gli oggetti e le loro proprietà.

Definizione di poliedro
Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di poligoni piani, detti facce del poliedro.

Definizioni di spigolo e vertice
In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro.
Ogni vertice di una faccia è vertice di altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro.
Si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo comune.
Due facce adiacenti formano un angolo che si chiama diedro.

Definizioni di poliedro convesso e poliedro concavo
In parole approssimative, un poliedro è concavo se ha delle rientranze, è convesso se non ne ha.
Se vogliamo essere più "matematici", possiamo dire:
Un poliedro è convesso se ha le seguenti proprietà:

ogni spigolo è comune esattamente a due facce
il piano di ciascuna faccia lascia tutte le rimanenti facce in uno dei due semispazi che individua.

Altrimenti è concavo.

Definizione di vertice regolare
Consideriamo un vertice V di un poliedro e gli spigoli in esso incidenti; in genere questi spigoli hanno lunghezze diverse e serve denotare con m la minima di esse; prendiamo su ogni spigolo un punto che disti da V una lunghezza uguale a m. Collegando questi punti otteniamo il "poligono associato al vertice": se questo poligono è regolare si dice che V è un vertice regolare.

Ad esempio, nella figura qui sopra, V è un vertice regolare perché, presi VA = VB = VC, si ha che ABC è un poligono regolare (triangolo equilatero)

Definizione di poliedro regolare
Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e uguali e i cui vertici sono tutti dotati di poligoni associati uguali e regolari, non necessariamente convessi.
Esistono 5 poliedri regolari convessi e 4 poliedri regolari concavi.

I solidi platonici
I solidi platonici, sono poliedri convessi le cui facce sono poligoni convessi, regolari e uguali.
Esistono esattamente 5 poliedri di questo tipo: il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.
Le costruzioni dei cinque poliedri regolari sono dimostrate nel libro 13° e ultimo degli Elementi di Euclide.

Le proprietà principali dei solidi platonici
I solidi platonici hanno le seguenti proprietà:

le facce sono tutte poligoni regolari uguali;
i vertici giacciono tutti su una sfera;
gli angoli diedri sono tutti uguali;
tutti i vertici sono circondati dallo stesso numero di facce.

Contiamo le facce, gli spigoli e i vertici

Solido	facce (F)	spigoli (S)	vertici (V)
tetraedro	4	6	4
cubo	6	12	8
ottaedro	8	12	6
dodecaedro	12	30	20
icosaedro	20	30	12

La formula di Eulero
Osservando i dati della tabella, si ricava facilmente la seguente relazione:
V = S - F + 2
che è detta formula di Eulero, dal nome Leonard Euler, il grande matematico svizzero del 1700.

Più in generale, la formula di Eulero afferma che per l'intera classe dei poliedri convessi, ma anche per la più vasta gamma dei poliedri a superficie semplicemente connessa (detto banalmente, quei poliedri che non presentano "buchi" o "manici"), vale l'uguaglianza:
F - S + V = 2

Un metodo semplice per contare e calcolare facce, spigoli e vertici

icosaedro

un possibile sviluppo sul piano dell'icosaedro

Consideriamo ad esempio l'icosaedro. Non è facile contare le facce, gli spigoli e i vertici direttamente sul solido. Si corre il rischio di perdere il conto o di dimenticare qualche elemento.
Se invece osserviamo lo sviluppo sul piano possiamo seguire tre fasi.

Prima fase: contare le facce.
Nel nostro caso sono 20 triangoli;
Seconda fase: calcolare il numero degli spigoli.
Calcoliamo il numero totale dei lati di 20 triangoli: 20*3 = 60 lati
Osserviamo che in ogni spigolo vengono a coincidere 2 lati, perciò gli spigoli sono 60/2 = 30.
In generale: num. spigoli = num. lati/2.
Terza fase: calcolare il numeri dei vertici.
Si applica la formula di Eulero:
V = S - F + 2

Una curiosità: i prefissi dei nomi dei poliedri

num. facce	prefisso	num. facce	prefisso
1	mono	16	hexakaideca
2	di	17	heptakaideca
3	tri	18	octakaideca
4	tetra	19	enneakaideca
5	penta	20	icosa
6	hexa	24	icositetra
7	hepta	30	triconta
8	octa	40	tetraconta
9	ennea	50	pentaconta
10	deca	60	hexeconta
11	hendeca	70	heptaconta
12	dodeca	80	octaconta
13	triskaideca	90	enneaconta
14	tetrakaideca	100	hecato
15	pentakaideca

Le idee di Platone sui cinque poliedri regolari
Il filosofo greco Platone utilizzò i 5 poliedri regolari convessi nel suo libro intitolato Timeo, del 350 a.C., per spiegare il mondo naturale. Per questo essi sono anche chiamati figure cosmiche.
Platone associò quattro poliedri a quelli che al suo tempo erano ritenuti i quattro elementi fondamentali della natura, acqua, aria, terra, fuoco:

l'icosaedro all'acqua;
l'ottaedro all'aria;
il cubo alla terra;
il tetraedro al fuoco.

Il suo solido preferito era il dodecaedro del qual scrisse: “Restava una quinta combinazione e il Demiurgo (Dio) se ne giovò per decorare l’universo.”

La scoperta di questa figura risale almeno al VI sec. a. C., poiché oggetti a forma di dodecaedro appartenenti a quel periodo, sono stati rinvenuti in vari siti archeologici; i cristalli di pirite, che hanno forma dodecaedrica quasi perfetta, che si potevano rinvenire facilmente in molte zone della Magna Grecia, possono essere stati la fonte di ispirazione.

Cristalli di pirite (ferro) in forma cubica

Cristalli di pirite (ferro) in forma dodecaedrica

Materiali

Griglie per la costruzione dei 5 poliedri regolari
Suggerimenti per l'uso (testati con Internet Explorer);
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A questo punto avete varie scelte, ad esempio:
1) stampate la pagina, ritagliate le figure e fotocopiatele ingrandite su cartoncino colorato; ingranditele in modo che ciascuna occupi interamente un foglio di formato A4; io ho usato cartoncino per fotocopie da 140 gr;
Attenzione: se nella stampa le immagini risultano tagliate, cliccate su File-Imposta pagina e impostate Orientamento Orizzontale.

2) fate una copia e incolla su Word (o altro elaboratore testi) e ingranditele in modo che occupino l'intera pagina; quindi stampatele su cartoncino colorato, meglio se con stampante laser;

settembre 2005

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